沪教版（上海）初中数学八年级第一学期 19.2 证 明 举 例（5） 教案

课题：
证
明
举
例（5）
教学目标：
1、继续学习几何证明过程的分析方法，进一步学习证明角相等、线段相等的常用方法。
2、初步学会添加一条辅助线来进行几何证明。
3、继续引导学生正确、规范地书写证明过程。
4、掌握几何证明的推理步骤和推理过程、以及几何证明中有关演绎推理的思想方法。
5、培养学生一题多解的灵活的解题思路，在自主学习、小组讨论和交流中提高学生分析问题、解决问题的能力。
教学重点、难点：
重点：通过添加辅助线构造有效的基本图形，证明角度或线段相等。
难点：辅助线怎么添，添在哪里
教学过程：
一、问题引入：你知道的证明角度相等或线段相等的方法有哪些？其中用得较多的有哪些？
二、新课：
（一）问题：如图，AB=AC，DB=DC。
求证∠B=∠C，
1、前面所回忆的方法在此似乎都用不上，如何解决这样的问题？
①添加辅助线的必要性
②如何添？添在哪里呢？为什么这样添线？
③如果这样添加的话，用的是什么方法证明角度相等？
这里投影出整个过程，尤其辅助线的叙述要引导学生说准确。
2、能否换一种思路添加辅助线？如何添？那样添加的话，又是利用什么解决问题？
小结：为什么会产生这样不同的添线的方法？不同的方法形成不同的证明思路，学会比较，尽量选择更为直接、简便的方法。
（二）
1、例8
已知
：如图
AD与BC相交于O，AB=CD，AD=BC
求证：
∠A?
=?
∠C
这里学生比较容易先想到△ABO和△CDO全等，通过分析发现AD=BC这个条件用不上，如何构造全等三角形？
①连接BD②连接AC两种办法均一起书写论证过程，进行比较，选择更好的解决办法，体会好在哪里？
2、例9的引入：已知，如下图，点D、E在BC上，BD=EC，AD=AE。
则图中相等的线段还有哪些？
对前面学过的例题进行复习
例9
已知：如上图，点D、E在BC上，
AB=AC
，AD=AE，
求证：BD=EC
学生首先想到的多数还是全等，利用全等可以怎么证明？哪些三角形能证得全等？
等腰三角形的性质除了两个底角相等之外，还有什么？
三线合一的用法复习：如图AB=AC，AH⊥BC
能得到什么？
证明：∵AB=AC（已知），AH⊥BC（作图）
∴BH=CH（或AH平分∠BAC）（等腰三角形三线合一）
回到例9，还可以如何证明？如何添加辅助线？
证明：过A作AH⊥BC，垂足为H
∵AB=AC（已知），AH⊥BC（作图）
∴BH=CH（等腰三角形三线合一）
同理DH=EH
∴BH-DH=CH-EH（等式性质）
即BD=CE
比较全等和利用等腰三角形三线合一的证明方法，显然后者证明更为巧妙些。原因在于添加了辅助线之后巧妙利用了等腰三角形的性质。
三、适时小结添线要领
本节课的两个例题的共同点均用了添加一条辅助线的方法解决。
添辅助线的基本要领：
①在证题中，有时为了在已知与求证之间铺路搭桥，往往需要在图中另外添加一些线，这些线即为辅助线。
②一般地说，添加辅助线的目的，主要有两个：
一是为了把分散的几何元素转化为相对集中的几何元素，即把分散的、孤立的已知条件联系到一起，以利于公理、定理等的运用，从而推出所证结论。例如：把分散的元素集中在一个三角形或两个相关的（全等或相似）三角形中，以便使相应的定理能够针对使用。
四、巩固练习
课本练习P70
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五、课堂小结
有时需要添加辅助线解决几何证明，理解
为什么要添线？
怎么添？
比较不同的添线方法，积累经验，总结规律，提高解决几何问题的能力。