沪教版（上海）初中数学九年级第一学期 26.1 二次函数的定义 教案

§26.1二次函数的定义
教学目的
探索具体问题中的数量关系和变化规律,体会二次函数是刻画现实世界的一个有效的数学模型。
结合具体情境体会二次函数的意义,掌握二次函数的概念。
教学重点和难点
教学重点：对二次函数概念的理解．
教学难点：由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围．
教学过程
一、复习提问
1．什么叫函数？它有几种表示方法？
2．什么叫一次函数？(y=kx+b，k≠0)
什么叫正比例函数？(y=kx，k≠0)
什么叫反比例函数？(y=，k≠0)
二、新课
引入
问题1
要用长20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？
试一试
设矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为x
m，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积y
m2.试将计算结果填写在下表的空格中.
x的值是否可以任意取？有限定范围吗？
我们发现，当AB的长（x）确定后，矩形的面积（y）也就随之确定，y是x的函数，试写出这个函数的关系式．
我们可以得到：
问题1中的函数关系式为
y＝x（20－2x）　（0＜x＜10）
即　　
　　　　　　
y＝－2x2＋20x　（0＜x＜10）
问题2
某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可售出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大?
分
析
在这个问题中，该商品每天的利润与其降价的幅度有关．设每件商品降价x元（0≤x≤2），该商品每天的利润为y元，y是x的函数．
我们可以得到：
问题2中的函数关系式为
y＝（10－x－8）（100＋100x）　（0≤x≤2），
即
y＝－100x2＋100x＋200　
（0≤x≤2）.
（二）定义
观
察
得到的两个函数关系式有什么共同特点？这两个问题有什么共同特点？
概
括
它们都是用自变量的二次多项式来表示的．问题都可归结为：自变量x为何值时，函数y取得最大值？
形如y＝ax2＋bx＋c
（a、b、c是常数，a≠0）的函数叫做x的二次函数（quadratic
function）．
注意：1．使学生理解强调“形如”，即由形来定义函数名称．二次函数即y是关于x的二次多项式．
2．在y=ax2＋bx＋c中自变量是x，它的取值范围是一切实数．但在实际问题中，自变量的取值范围是使实际问题有意义的值．如问题1中，0＜x＜10；问题2中，0≤x≤2。
　3．在y=50x2＋100x＋50中，
a=50，
b=100，
c=50．
4．为什么二次函数定义中要求a≠0？(若a=0，ax2＋bx+c就不是关于x的二次多项式了)
5．b和c是否可以为零？
　若b=0，则y=ax2＋c；
　若c=0，则y=ax2＋bx；
　若b=c=0，则y=ax2．
　以上三种形式都是二次函数的特殊形式，而y=ax2+bx+c是二次函数的一般形式．
（三）例题
例1
下列函数中哪些是二次函数？哪些不是二次函数？若是二次函数，
指出a、b、c．
　　(1)y=1-3x2；
　　(2)y=x(x-5)；
　　
　　(5)y=3x(2-x)＋3x2；
　　(6)y＝(x＋2)(2-x)；
　　
　　(8)y=x4＋2x2＋1．(可指出y是关于x2的二次函数)
例2若函数y=（+m）+（m-2）x-1是二次函数，求m的值。
分析：m需要满足①+m≠0；②-m=2
解得m=2
例3设圆柱的高h(cm)是常量，写出圆柱的体积V(cm3)与底面周长c(cm)之间的函数关系式．
　　
　　请同学指出自变量是c，取值范围c＞0．
（四）练习
正方形的边长是x(cm)，面积y(cm2)与边长x之间的函数关系如何表示？
2.农机厂第一个月水泵的产量为50(台)第三个月的产量y(台)与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？
3.已知一个直角三角形的两条直角边长的和为10
cm．
当它的一条直角边长为4.5
cm时，求这个直角三角形的面积；
设这个直角三角形的面积为S
cm2，其中一条直角边长为x
cm，求S关于x的函数关系式．
4.已知正方体的棱长为x
cm，它的表面积为S
cm2，体积为V
cm3．
（1）分别写出S与x、V与x之间的函数关系式；
（2）这两个函数中，哪个是x的二次函数？
三、小结
本节课我们研究了二次函数的定义，我们不仅要从函数式中识别二次函数关系式，还要研究实际问题中的二次函数关系。
四、作业
习题26.1
设圆柱的高为6
cm，底面半径r
cm，底面周长C
cm，圆柱的体积为V
cm
3．
分别写出C关于r、V关于r、V关于C的函数关系式；
这三个函数中，哪些是二次函数？
正方形的边长为4，若边长增加x，则面积增加y，求y关于x的函数关系式．这个函数是二次函数吗？
已知二次函数y＝ax2＋c，当x＝2时，y＝4；当x＝－1时，y＝－3．求a、c的值．
一条隧道的截面如图所示，它的上部是一个半圆，下部是一个矩形，矩形的一边长2.5
m．
求隧道截面的面积S（m2）关于上部半圆半径r（m）的函数关系式；
求当上部半圆半径为2
m时的截面面积．（π取3.14，结果精确到0.1
m2）