沪教版（上海）初中数学九年级第一学期 本章小结 函数型综合题中矩形存在性问题 教案
文档属性
| 名称 | 沪教版（上海）初中数学九年级第一学期 本章小结 函数型综合题中矩形存在性问题 教案 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 115.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2020-12-31 22:47:33 | ||
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文档简介
函数型综合题中矩形存在性问题
一、问题·解决——大数据精准分析学情
从极课软件提供的近期模考数据可以看出，去除18题、25题能力要求较高，得分率最低的知识点依次为一次函数的图表应用62%（填空题）、二次函数与图形的变换75%（填空题）、二次函数综合78%，可见与函数相关的图形问题是目前学生的增长点。
二、中考·教材——专题复习培育核心素养
2018年的中考数学考试评价会，指出中考数学的试卷特点是“突出基础，教考一致；关注过程，重视理解，学有所用；重视素养，适度综合，兼顾区分”，其命题指导思想是以《课程标准》、《终结性评价指南》为依据“创新考察双基，突出考察素养”，可见，中考改革正在发生，数学考试中对于综合性和实际应用，综合解决问题的能力要求更高。
《函数型综合题中矩形存在性问题》是一节专题复习课，在这节课中，通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，在这之前学生已经学习过函数中直角三角形、角相等...等与三角形的相关问题，具有一定的解题经验和能力，因此本节课的设计是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。
本课采用启发式教学，倡导学为中心，以生为本的理念，问题由学生提，思路由学生讲，教师在课堂中负责组织、合作、点拨和引导学生提炼，通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
三、过程·进程——有效提问提升实效性
教学目标：
经历函数型压轴题中“代数语言”与“几何语言”的相互转化，体验数形结合思想；
掌握函数型综合题中矩形存在性问题的一般方法；
在探究问题的过程中，学会提炼解题方法，领悟数学思想，感受理性精神，
教学重点；掌握函数综合题中矩形存在性问题的一般方法。
教学难点：函数综合题中矩形存在性问题求点坐标。
教学设计：
（一）抓住核心解决问题
引例
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），M（1，4），直线AM交y轴于点N。点P是y轴上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果四边形APMQ是矩形，求点Q坐标．
问题1
图①
解：方法1：利用对角线互分、相等
如图①
∵点A、点M关于点N对称，
∴N为AM的中点，
∵A（﹣1，0），M（1，4），
∴N（0，2），∴N为AM的中点，
∵MN＝＝．
∴NQ1＝NQ2＝，
图②
图③
图④
∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．
方法2：利用一线三直角
第一步：先画草图。因为题目已经明确四边形顶点的顺序，所以可以得知A，M为矩形相对的两个顶点。第二步：求点坐标，可以直接通过对角线相等计算长度:。
（二）减弱条件再探问题
点P是y轴上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
解：因为没有明确顺序，所以需要分类讨论，
除了AM为矩形的对角线外，当AM为矩形的一边时，
方法1：利用三角比（勾股数为1:2:），如图②。
∵在△ANO中，AO＝1，ON＝2，∴tan∠ANO＝，∴tan∠MNP＝，
∴NP3==2.5，∴P3（0，4.5），点平移得Q3的坐标为（2，3.5）．
∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，0.5）．
方法2：构造“一线三直角”
如图③，过A作直线l⊥x轴，作PH⊥l于H，作AG⊥l于G,
易得△MGA∽△AHP.
则,∵HP=1,
解得AH=0.5，∴P3（0，－0.5），Q3（2，3.5）．
如图④，过M作直线l⊥x轴，作PH⊥l于H，作AG⊥l于G,
易得△AGM∽△MHP.
则,∵HP=1,
解得AH=0.5，∴P3（0，4.5），∴Q4（﹣2，0.5）．
综上，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，0.5）．
【说明】此题没有明确A、M、P、Q顶点的顺序，因此要对它进行分类讨论（△AMP为直角三角形分类讨论），在作图时通过一组邻边平行且相等，再通过直角三角形计算三角比，或利用一线三直角解决。有意识地引导学生分类，截取局部图形，抓住关键点的定点坐标求限制点的坐标，抛开干扰，问题清晰。
（三）突显本质拓展问题
变式1
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b经过点A（﹣1，0），点P是直线l上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
问题2
图①
图②
方法梳理：
第一步：分类讨论。分AM为对角线，AM为矩形的边。（△AMP为直角三角形分类讨论）第二步：作图。可以利用对角线互分，相等；边平移，作垂线。
第三步：利用直角三角形的性质求点坐标（转化为直角三角形存在性问题，通过一线三直角，斜边上的中线等于斜边的一半解决）体会一线三直角方法更好，优化方法。
【说明】本环节抓住问题的本质，即由定点找到限制点P位置的改变，产生相应的变化，可以衍生出有价值的问题，在此基础上提炼方法，从而的到问题解决策略的多题化归。
（四）综合情境问题解决
变式2
在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．
求抛物线解析式及顶点坐标.
（2）求tan∠MAB的正切值.
（3）点P是抛物线上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
问题3
图①
图②
【说明】以二次函数为背景的综合题呈现，学生在复杂的问题中牢牢把握核心问题，求点P坐标，把矩形问题转化为直角三角形存在性问题，画图，并求解。这样可以让学生清楚问题的来龙去脉，以及相关图形的组合。
追问，矩形存在性问题可以转化为直角三角形存在性问题，那么菱形存在性呢？（为下一节课留下伏笔）
四、课内·课外——三个课堂走向延伸性
第一课堂（主渠道）着眼有效提问提升实效性。
第二课堂（课后辅导）让“学生说题”为数学习题教学增值。课后辅导采用引导学生说习题条件、涉及知识点及其关系、说习题结构、说解题思路、说解题检查、说解法优化、说习题变式、说体验灵感等，以优化习题课教学过程，进一步提升学生思维品质。在教学过程中，尽量创设和谐的课堂氛围，调动学生参与热情；合理设置“说题”难度与梯度，激发学生主动性；慎重“例题”的选择与编拟，将说题与书面表达结合起来。
第三课堂（互联网+）跑好课堂教学的最后一公里。利用晓黑板、微信公众号等工具整合资源，为教学助力。欢迎大家关注
小析初中数学。
五、本质·提问——教师专业发展的着力点
如何实现高效的复习课堂，学会拓展，抓核心问题，非常重要。第一个环节帮助学生通过定点求限制点P的坐标是关键，因为解决了这个问题，其他便可迎刃而解；随后紧跟着只是对点的顺序减少条件，从而引导学生进行分类讨论；之后的拓展提高环节变化了点P的位置；在综合题中，学生迅速解答容易题过程中，进一步熟悉原题的题意及相关条件的逻辑关系不仅如此还能够衍生更多的精彩与探究。因此，我想在专业发展的道路上应该不断修炼自己，基于一个问题，从数学教育观视野实施教学，切实落实“四基”与“四能”，让更多的核心素养真正在课堂中得到较好的渗透与培养。
一、问题·解决——大数据精准分析学情
从极课软件提供的近期模考数据可以看出，去除18题、25题能力要求较高，得分率最低的知识点依次为一次函数的图表应用62%（填空题）、二次函数与图形的变换75%（填空题）、二次函数综合78%，可见与函数相关的图形问题是目前学生的增长点。
二、中考·教材——专题复习培育核心素养
2018年的中考数学考试评价会，指出中考数学的试卷特点是“突出基础，教考一致；关注过程，重视理解，学有所用；重视素养，适度综合，兼顾区分”，其命题指导思想是以《课程标准》、《终结性评价指南》为依据“创新考察双基，突出考察素养”，可见，中考改革正在发生，数学考试中对于综合性和实际应用，综合解决问题的能力要求更高。
《函数型综合题中矩形存在性问题》是一节专题复习课，在这节课中，通过“代数语言”与“几何语言”的相互转化，渗透数形结合思想；用代数方法研究几何图形的性质，借助几何直观得到代数问题的解答．这一类压轴题的特点是以函数为载体，融合几何中很多知识点、思想方法，对思维要求高，在这之前学生已经学习过函数中直角三角形、角相等...等与三角形的相关问题，具有一定的解题经验和能力，因此本节课的设计是在平行四边形存在性问题的基础上，把矩形的存在性问题转化为直角三角形存在性问题解决。
本课采用启发式教学，倡导学为中心，以生为本的理念，问题由学生提，思路由学生讲，教师在课堂中负责组织、合作、点拨和引导学生提炼，通过一道模考题的讲解和变化，力求由一道题解决一类题。
三、过程·进程——有效提问提升实效性
教学目标：
经历函数型压轴题中“代数语言”与“几何语言”的相互转化，体验数形结合思想；
掌握函数型综合题中矩形存在性问题的一般方法；
在探究问题的过程中，学会提炼解题方法，领悟数学思想，感受理性精神，
教学重点；掌握函数综合题中矩形存在性问题的一般方法。
教学难点：函数综合题中矩形存在性问题求点坐标。
教学设计：
（一）抓住核心解决问题
引例
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣1，0），M（1，4），直线AM交y轴于点N。点P是y轴上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果四边形APMQ是矩形，求点Q坐标．
问题1
图①
解：方法1：利用对角线互分、相等
如图①
∵点A、点M关于点N对称，
∴N为AM的中点，
∵A（﹣1，0），M（1，4），
∴N（0，2），∴N为AM的中点，
∵MN＝＝．
∴NQ1＝NQ2＝，
图②
图③
图④
∴Q1（0，2+），Q2（0，2﹣）．
方法2：利用一线三直角
第一步：先画草图。因为题目已经明确四边形顶点的顺序，所以可以得知A，M为矩形相对的两个顶点。第二步：求点坐标，可以直接通过对角线相等计算长度:。
（二）减弱条件再探问题
点P是y轴上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
解：因为没有明确顺序，所以需要分类讨论，
除了AM为矩形的对角线外，当AM为矩形的一边时，
方法1：利用三角比（勾股数为1:2:），如图②。
∵在△ANO中，AO＝1，ON＝2，∴tan∠ANO＝，∴tan∠MNP＝，
∴NP3==2.5，∴P3（0，4.5），点平移得Q3的坐标为（2，3.5）．
∵点Q3与Q4关于点N对称，∴Q4（﹣2，0.5）．
方法2：构造“一线三直角”
如图③，过A作直线l⊥x轴，作PH⊥l于H，作AG⊥l于G,
易得△MGA∽△AHP.
则,∵HP=1,
解得AH=0.5，∴P3（0，－0.5），Q3（2，3.5）．
如图④，过M作直线l⊥x轴，作PH⊥l于H，作AG⊥l于G,
易得△AGM∽△MHP.
则,∵HP=1,
解得AH=0.5，∴P3（0，4.5），∴Q4（﹣2，0.5）．
综上，点Q的坐标为（0，2+），或（0，2﹣）或（2，3.5）或（﹣2，0.5）．
【说明】此题没有明确A、M、P、Q顶点的顺序，因此要对它进行分类讨论（△AMP为直角三角形分类讨论），在作图时通过一组邻边平行且相等，再通过直角三角形计算三角比，或利用一线三直角解决。有意识地引导学生分类，截取局部图形，抓住关键点的定点坐标求限制点的坐标，抛开干扰，问题清晰。
（三）突显本质拓展问题
变式1
如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=kx+b经过点A（﹣1，0），点P是直线l上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
问题2
图①
图②
方法梳理：
第一步：分类讨论。分AM为对角线，AM为矩形的边。（△AMP为直角三角形分类讨论）第二步：作图。可以利用对角线互分，相等；边平移，作垂线。
第三步：利用直角三角形的性质求点坐标（转化为直角三角形存在性问题，通过一线三直角，斜边上的中线等于斜边的一半解决）体会一线三直角方法更好，优化方法。
【说明】本环节抓住问题的本质，即由定点找到限制点P位置的改变，产生相应的变化，可以衍生出有价值的问题，在此基础上提炼方法，从而的到问题解决策略的多题化归。
（四）综合情境问题解决
变式2
在平面直角坐标系xOy（如图）中，经过点A（﹣1，0）的抛物线y＝﹣x2+bx+3与y轴交于点C，点B与点A、点D与点C分别关于该抛物线的对称轴对称．
求抛物线解析式及顶点坐标.
（2）求tan∠MAB的正切值.
（3）点P是抛物线上一点，点Q为坐标系中任意一点，如果以点A、M、P、Q为顶点的四边形是矩形，求该矩形的顶点Q的坐标．
问题3
图①
图②
【说明】以二次函数为背景的综合题呈现，学生在复杂的问题中牢牢把握核心问题，求点P坐标，把矩形问题转化为直角三角形存在性问题，画图，并求解。这样可以让学生清楚问题的来龙去脉，以及相关图形的组合。
追问，矩形存在性问题可以转化为直角三角形存在性问题，那么菱形存在性呢？（为下一节课留下伏笔）
四、课内·课外——三个课堂走向延伸性
第一课堂（主渠道）着眼有效提问提升实效性。
第二课堂（课后辅导）让“学生说题”为数学习题教学增值。课后辅导采用引导学生说习题条件、涉及知识点及其关系、说习题结构、说解题思路、说解题检查、说解法优化、说习题变式、说体验灵感等，以优化习题课教学过程，进一步提升学生思维品质。在教学过程中，尽量创设和谐的课堂氛围，调动学生参与热情；合理设置“说题”难度与梯度，激发学生主动性；慎重“例题”的选择与编拟，将说题与书面表达结合起来。
第三课堂（互联网+）跑好课堂教学的最后一公里。利用晓黑板、微信公众号等工具整合资源，为教学助力。欢迎大家关注
小析初中数学。
五、本质·提问——教师专业发展的着力点
如何实现高效的复习课堂，学会拓展，抓核心问题，非常重要。第一个环节帮助学生通过定点求限制点P的坐标是关键，因为解决了这个问题，其他便可迎刃而解；随后紧跟着只是对点的顺序减少条件，从而引导学生进行分类讨论；之后的拓展提高环节变化了点P的位置；在综合题中，学生迅速解答容易题过程中，进一步熟悉原题的题意及相关条件的逻辑关系不仅如此还能够衍生更多的精彩与探究。因此，我想在专业发展的道路上应该不断修炼自己，基于一个问题，从数学教育观视野实施教学，切实落实“四基”与“四能”，让更多的核心素养真正在课堂中得到较好的渗透与培养。