人教版初中数学八年级下册18.2.3《正方形的性质与判定》课件(共35张PPT)

平行四边形
有一个直角
有一个直角
矩形
有一个直角
矩形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
平行四边形
有一个直角
一组邻边相等
矩形
菱形
一组邻边相等
有一个直角
正方形
平行四边形
你能给正方形下一个定义吗？
1．正方形的定义
由正方形的定义可知，
正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是　有一个角是直角的菱形。如图(1)。
有一组邻边相等，有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
正方形是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形。
正方形的性质=
正方形性质:
边: 对边平行，邻边垂直；
四边相等；
角 ：四个角都是直角；
对角线：
O
A
B
C
D
对称性：
对角线互相垂直；
对角线相等；
每条对角线平分一组对角；

正方形是中心对称图形，也是轴对称图形，
有四条对称轴；
对角线互相平分；
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
O
A
B
C
D
已知:四边形ABCD是矩形,对角线AC、BD相交于点O.
求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.
证明:∵四边形ABCD是正方形
并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO
∴ △ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,
∴AC=BD,AC⊥BD,AO=CO=BO=DO.
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要证明BM＝CN，大家观察
图形可以考虑证哪两个三角形全等 ?
MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，
求证：BM＝CN。　　　　　　　　　
你能完成证明吗???
　AB＝BC，∠1＝∠2＝45 °　　条件够吗？
　　还需要的条件是 AM＝BN
△ABM≌△BCN
你所要证明的两个三角形已经满足
了哪些条件?
由正方形可以得到的条件有：
例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。　　　　　　　　　
证明：
　　∵四边形ABCD是正方形
∴OA＝OB ,
　　　∠1＝∠2＝∠3＝45°
又∵MN∥AB
∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°
∴OM＝ON
∴OA－OM＝OB－ON
即AM＝BN
下面大家自己完成证明
练习1．
已知：正方形ABCD对角线AC、BD相　　　　　　　交于点O，且AB＝acm，如图(2)。
　求：AC的长及正方形的面积S。　　　　　　　　　　　
练习2．
已知：在正方形ABCD中，对角线AC、
　BD相交于点O，且AC＝6 cm，如图
求：正方形的面积S。　　　　　　　　　　　
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线
上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
　　 求证：∠MFD＝45°
分析：
欲证∠MFD＝45°，由于
△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证 _____=_____
要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试
看能不能完成证明???
△CMD≌△ADF
例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，
求证：∠MFD＝45°
证明：
　∵CE⊥AF
∴∠ADC＝∠AEM＝90°
又∵∠CMD＝∠AME
∴∠1＝∠2
　又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC
　∴Rt△CDM≌Rt△ADF　(AAS)
∴DM=DF

下面的证明请大家完成
练习．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。
求证：(1) △ACF≌△DCB
(2) BH⊥AF　　　　　　　　　　　　　　
证明：
例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。
求证：∠CEA＝∠ABG　　　　　　　　　　　　　　　
分析：欲证∠CEA＝∠ABG，
大家想一想证明两个角相等的方法，
你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？
证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。
　　　　∴AE＝AB　AG＝AC　∠1＝∠2＝90°
　　　　又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC
　　　　 ∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC
　　　　∴∠EAC＝∠BAG
　　　　∴△AEC≌△ABG　(SAS)
　　 ∴∠CEA＝∠ABG
例1.求证:正方形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
O
A
B
C
D
问:图中共有多少个等腰直角三角形?
正方形的判定方法
边
对角线
角
有一组邻边相等的矩形是正方形
有一个角是直角的菱形是正方形
对角线互相垂直的矩形是正方形
思考：如何判定一个四边形是正方形？
对角线相等的菱形是正方形
对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形
对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
例2:直角三角形ABC中，CD平分∠ACB交AB于D，DE⊥AC，DF⊥BC。求证：四边形CEDF是正方形。
A
B
C
D
E
F
∴四边形CEDF是正方形（ )
∴ DE=DF( )
DE⊥AC， DF⊥BC
∵ CD平分∠ACB
∴ 四边形CEDF为矩形( )
而∠ACB=90°
∴ ∠DEC=90°， ∠DFC=90°
证明：∵ DE⊥AC，DF⊥AB
有三个角是直角的四边形是矩形
角平分线的性质
有一组邻边相等的矩形是正方形
例3：已知，如图在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN垂足为点E
①求证：四边形ADCE是矩形；
②当△ABC满足什么条件时，四边形
ADCE是正方形，说明理由。
A
B
C
E
M
N
D
在正方形ABCD中，点P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别是点E、F.
求证：DP=EF
F
E
P
D
C
B
A
8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求ND+NM的最小值。
A
B
C
D
M
N
A
B
C
D
M
N
8、如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM=2，N是AC上一个动点，求ND+NM的最小值。
思考题： 如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.
探究二:若正方形OEFG与正方形ABCD两边分别相交于M N，试判断线段AM于BN之间的关系.
探究一:两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。
探究四：如图，有两个大小不等的两个正 方形，其中小正方形的面积是大正方形面积的一半，若阴影部分的面积为8，则小正方形的边长为多少？
探究三: 若正方形OEFG继续旋转时，AM与BN之间的关系是否还成立？