人教版九年级下册数学课件 27.2.2 相似三角形的性质(共31张PPT)

27.2.2 相似三角形的性质
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？？？
一、相似三角形对应线段的比
A
B
C
A'
B'
C'
∵△ABC ∽△A′B′C′，
∴∠B＝∠B' ，
解：如图，分别作出 △ABC 和
△A' B' C' 的高 AD 和 A' D' ．
则∠ADB =∠A' D' B'=90°.
∴△ABD ∽△A' B' D' .
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
∴
类似地，可以证明相似三角形对应中线、角平分线的比也等于相似比.
由此我们可以得到：
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳：
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
D
E
F
H
已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC和 △DEF 的角平分线，BC = 6 cm，EF = 4cm，BG
= 4.8 cm. 求 EH 的长.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比)，
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
∴ 故 EH 的长为 3.2 cm.
例1
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对
应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是
______ .
2. △ABC 与 △A'B'C' 的相似比为3 : 4，若 BC 边上的
高 AD＝12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝_______ .
2 : 3
2 : 3
16 cm
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
想一想：
如果 △ABC ∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此
AB＝k A'B'，BC＝kB'C'，CA＝kC'A'，
从而
二、相似三角形面积的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的面积比是多少？
A
B
C
A'
B'
C'
由前面的结论，我们有
A
B
C
A'
B'
C'
D'
D
相似三角形面积的比等于相似比的平方．
由此得出：
归纳：
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比
2
k
……
周长比
……
面积比
10000
……
试一试
2
4
100
100
k
k2
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形，
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为
原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大
为原来的______倍.
25
10
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm，
(1) 它们的周长差 60 cm，这两个三角形的周长分别
是________________；
(2) 它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面
积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
A
B
C
D
E
F
如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2 DE ，AC = 2 DF，∠A = ∠D. 若 △ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求 △DEF 的边 EF 上的高和面积.
例2
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
解：在 △ABC 和 △DEF 中，
∵ AB=2DE，AC=2DF，
又 ∵∠D=∠A，
∴ △DEF ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2.
∴
A
B
C
D
E
F
如果两个相似三角形的面积之比为 2 : 7，较大三角形一边上的高为 7，则较小三角形对应边上的高为______.
如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为100 cm2，且 ，求四边形BCDE 的面积. 　
∴ △ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
解：∵ ∠BAC = ∠DAE，且
例3
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2 .
∴ 四边形 BCDE 的面积为100－36 = 64 (cm2).
B
C
A
D
E
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE ∽ △ABC ，
相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
∴
A
B
C
D
F
E
又∵ EF∥AB，
∴ △EFC ∽ △ABC ，相似比为 1 : 2，
面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍 ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍 ( )
√
×
3. 连接三角形两边中点的线段把三角形截成的一个
小三角形与原三角形的周长比等于______，面积
比等于_____.
1 : 2
1 : 4
2. 在 △ABC 和 △DEF 中，AB＝2 DE，AC＝2 DF，
∠A＝∠D，AP，DQ 是中线，若 AP＝2，则 DQ
的值为 ( )
A．2 B．4 C．1 D.
C
4. 两个相似三角形对应的中线长分别是 6 cm 和 18 cm，
若较大三角形的周长是 42 cm，面积是 12 cm2，则
较小三角形的周长____cm，面积为____cm2.
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5. 如图，这是圆桌正上方的灯泡 (点A) 发出的光线照
射桌面形成阴影的示意图，已知桌面的直径为 1.2
米，桌面距离地面为 1 米，若灯泡距离地面 3 米，
则地面上阴影部分的面积约为多少 (结果保留两位
小数)？
A
D
E
F
C
B
H
解：∵ FH = 1 米，AH = 3 米，
桌面的直径为 1.2 米，
∴ AF = AH－FH = 2 (米)，
DF = 1.2÷2 = 0.6 (米).
∵DF∥CH，
∴△ADF ∽△ACH，
A
D
E
F
C
B
H
∴ 即
解得 CH = 0.9米.
∴ 阴影部分的面积为：
(平方米).
答：地面上阴影部分的面积为 2.54 平方米.
6. △ABC 中，DE∥BC，EF∥AB，已知 △ADE 和
△EFC 的面积分别为 4 和 9，求 △ABC 的面积.
A
B
C
D
F
E
解：∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ △ADE ∽△ABC，
∠ADE =∠EFC，∠A =∠CEF，
∴△ADE ∽△EFC.
又∵S△ADE : S△EFC = 4 : 9，
∴ AE : EC=2:3，
则 AE : AC =2 : 5，
∴ S△ADE : S△ABC = 4 : 25，∴ S△ABC = 25.
7. 如图，△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于
点 D、E，S△ADE＝2 S△DCE，求 S△ADE ∶S△ABC.
解：过点 D 作 AC 的垂线，交点为 F，则
∴
又∵ DE∥BC，
∴ △ADE ∽△ABC.
A
B
C
D
E
∴
即 S△ADE : S△ABC ＝4 : 9.
A
B
C
D
E
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用