利用函数性质判定方程解的存在
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(共20张PPT)
利用函数性质
判定
方程解的存在
X
Y
A
M
B
O
10m
(1,40/3)
(0,10)
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
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x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
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y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
注意：
1.零点指的是一个实数；
零点是一个点吗
函数都有零点吗
2.不是所有函数都有零点.
如:
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
－4
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x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
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y
x
0
－1
2
1
1
2
y= x2－2x+3
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
等价关系
例题与练习：
练习:利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
（3） x2 ＝4x－4；
（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
例1 .判断方程 解的存在.
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
.
.
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x
y
0
－1
3
2
1
4
8
6
2
－2
4
它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
1(1) －x2＋3x＋5＝0
课堂练习
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
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.
它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
1(2) 2x(x－2)＝－3
课堂练习
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
.
.
.
.
.
它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
5
4
3
6
4
1(3) x2 ＝4x－4
课堂练习
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下：
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－3
－3
－4
3
－6
－5
4
－4
－2
－2
.
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.
它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
课堂练习
y=－x2-x+20； (2)y=2x-1;
拓展：求下列函数的零点。
评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。
0
1
2
3
4
5
-1
-2
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
x
y
探究
结论
例
例2
例4
已知函数 问:方程
在区间[-1,0]上有没有实数解
例3 P116\例3
练习：
课堂小结：
课后作业：
1、求下列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7；
(2)y=x3-4x。
2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b2。
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。
A
O
B
M
利用函数性质
判定
方程解的存在
X
Y
A
M
B
O
10m
(1,40/3)
(0,10)
思考：一元二次方程
ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系？
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
－1
3
2
1
1
2
－1
－2
－3
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x
y
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y
x
0
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y= x2－2x+3
方程ax2 +bx+c=0
(a≠0)的根
函数y= ax2 +bx
+c(a≠0)的图象
判别式△ =
b2－4ac
△＞0
△=0
△＜0
函数的图象
与 x 轴的交点
有两个相等的
实数根x1 = x2
没有实数根
x
y
x1
x2
0
x
y
0
x1
x
y
0
(x1,0) , (x2,0)
(x1,0)
没有交点
两个不相等
的实数根x1 、x2
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数
y=f(x)的零点。
函数零点的定义：
注意：
1.零点指的是一个实数；
零点是一个点吗
函数都有零点吗
2.不是所有函数都有零点.
如:
方程
x2－2x+1=0
x2－2x+3=0
y= x2－2x－3
y= x2－2x+1
函数
函
数
的
图
象
方程的实数根
x1=－1,x2=3
x1=x2=1
无实数根
函数的图象
与x轴的交点
(－1,0)、(3,0)
(1,0)
无交点
x2－2x－3=0
x
y
0
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x
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y
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y= x2－2x+3
方程f(x)=0有实数根
函数y=f(x)的图象与x轴有交点
函数y=f(x)有零点
等价关系
例题与练习：
练习:利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根：
（1）－x2＋3x＋5＝0；
（2）2x(x－2)＝－3；
（3） x2 ＝4x－4；
（4）5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5.
例1 .判断方程 解的存在.
1(1)解：令f(x)=－x2＋3x＋5,
作出函数f(x)的图象，如下：
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x
y
0
－1
3
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8
6
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－2
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它与x轴有两个交点，所以方程－x2＋3x＋5＝0有两个不相等的实数根。
1(1) －x2＋3x＋5＝0
课堂练习
1(2)解：2x(x－2)＝－3可化为
2x2－4x＋3＝0，令f(x)= 2x2－4x
＋3 , 作出函数f(x)的图象,如下：
x
y
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它与x轴没有交点，所以方程2x(x－2)＝－3无实数根。
1(2) 2x(x－2)＝－3
课堂练习
1(3)解：x2 ＝4x－4可化为x2－4x
＋4＝0，令f(x)= x2－4x＋4，作出
函数f(x)的图象，如下：
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它与x轴只有一个交点，所以方程x2 ＝4x－4有两个相等的实数根。
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1(3) x2 ＝4x－4
课堂练习
1(4)解：5x2 +2x＝3x2 +5可化为
2x2 ＋2x－5＝0，令f(x)=2x2＋
2x－5 , 作出函数f(x)的图象，
如下：
x
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它与x轴有两个交点，所以
方程5x2 +2x＝3x2 +5有两个不
相等的实数根。
1(4) 5 x2 ＋2x＝3 x2 ＋5
课堂练习
y=－x2-x+20； (2)y=2x-1;
拓展：求下列函数的零点。
评注：求函数的零点就是求相应的方程的根，一般可以借助求根公式或因式分解等办法，求出方程的根，从而得出函数的零点。
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探究
结论
例
例2
例4
已知函数 问:方程
在区间[-1,0]上有没有实数解
例3 P116\例3
练习：
课堂小结：
课后作业：
1、求下列函数的零点：(1)y=-x2+6x+7；
(2)y=x3-4x。
2、若函数f(x)=x2-ax-b的两个零点是2和3，求loga25 + b2。
１、函数零点的定义；
2、函数的零点与方程的根的关系；
3、确定函数的零点的方法。
A
O
B
M