人教版九年级数学上册课件：21.2.4一元二次方程根与系数的关系(共36张PPT)

一元二次方程的
根与系数的关系
韦达
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的求根公式：
x=
(b2-4ac≥0)
（1）x2-7x+12=0
(2)x2+3x-4=0
(4) 2x2+3x-2=0
解下列方程并完成填空：
方程
两根
两根和
X1+x2
两根积
x1x2
x1
x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-
-2
（3）3x2-4x+1=0
1
方程
两根
两根和
X1+x2
两根积
x1x2
x1
x2
x2-7x+12=0
x2+3x-4=0
3x2-4x+1=0
2x2+3x-2=0
-
3
4
12
7
1
-3
- 4
- 4
-1
-2
1
若一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
的两根为x1、x2, 则
.
.
X1+x2=
+
=
=
-
X1x2=
●
=
=
=
证明：设ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1、x2,则
一元二次方程的根与系数的关系：
如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1 , x2 ,
那么x1+x2= , x1x2 =
-
注：能用公式的前提条件为△=b2-4ac≥0
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时， 注意“－ ”不要漏写。
如果方程x2+px+q=0的两根是
X1 ，X2，那么
X1+X2= , X1X2= .
－P
q
一元二次方程根与系数的关系是
法国数学家“韦达”发现的,所以我们又
称之为韦达定理.
说出下列各方程的两根之和与两根之积：
(1) x2 - 2x - 1=0
(3) 2x2 - 6x =0
(4) 3x2 = 4
(2) 2x2 - 3x + =0
x1+x2=2
x1x2=-1
x1+x2=
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=
x1x2=0
x1x2= -
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值.
解法一：
设方程的另一个根为x2.
由根与系数的关系，得
2 ＋ x2 = k+1
2 x2 = 3k
解这方程组，得
x2 =－3
k =－2
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例1、已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2 ,
求它的另一个根及k的值。
解法二：
设方程的另一个根为x2.
把x=2代入方程，得 4-2(k+1)+3k=0
解这方程，得 k= - 2
由根与系数的关系，得2 x2＝3k
即2 x2＝－6
∴ x2 ＝－3
答：方程的另一个根是－3 , k的值是－2.
例2、方程2x2-3x+1=0的两根记作x1,x2，
不解方程，求：
（1） ; （2) ;
; (4) .
另外几种常见的求值:
1、已知方程3x2－19x+m=0的一个根是1，
求它的另一个根及m的值。
2、设x1,x2是方程2x2＋4x－3=0的两个根，求(x1+1)(x2+1)的值.
解：设方程的另一个根为x2,
则x2+1= ,
∴ x2= ,
又x2●1= ,
∴ m= 3x2 = 16
解：
由根与系数的关系,得
x1+x2= - 2 , x1 · x2=
∴ (x1+1)(x2+1) = x1 x2 + (x1+x2)+1 =-2+( )+1=
4
1
14
12
则：
＝
＝
求与方程的根有关的代数式的值时,
一般先将所求的代数式化成含两根之和,
两根之积的形式,再整体代入.
4.已知方程　　　　　　　　的两个实数根
是　　　且　　　　　 ， 求k的值.
解：由根与系数的关系得
x1+x2=-k， x1x2=k+2
又 x12+ x2 2 = 4
即(x1+ x2)2 -2x1x2=4
K2- 2(k+2）=4
K2-2k-8=0

∵ △= K2-4k-8
当k=4时， △=-8＜0
∴k=4(舍去）
当k=-2时，△=4＞0
∴ k=-2
解得：k=4 或k=－2
6.已知关于x的方程x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根x1、x2.
（1）求实数m的取值范围；
（2）当x12-x22=0时，求m的值.
6.（2013?荆州）已知：关于x的方程
kx2－(3k－1)x+2(k－1)=0
（1）求证：无论k为何实数，方程总有实数根；
（2）若此方程有两个实数根x1，x2,
且│x1－x2│=2,求k的值.
2、熟练掌握根与系数的关系；
3、灵活运用根与系数关系解决问题.
1.一元二次方程根与系数的关系？
小结：
下列方程的两根的和与两根的积各是多少？
⑴.X2－3X+1=0 ⑵.3X2－2X=2
⑶.2X2+3X=0 ⑷.3X2=1
基本知识
在使用根与系数的关系时，应注意：
⑴不是一般式的要先化成一般式；
⑵在使用X1+X2=－ 时，
注意“－ ”不要漏写.
练习1
已知关于x的方程
当m= 时,此方程的两根互为相反数.
当m= 时,此方程的两根互为倒数.
－1
1
分析:1.
2.
练习2
设 的两个实数根

为 则: 的值为( )
A. 1 B. －1 C. D.
A
以 为两根的一元二次方程
(二次项系数为1)为:
二、　已知两根求作新的方程
题5 以方程X2+3X-5=0的两个根的相反数为根的方程是（ ）
A、y2＋3y-5=0 B、 y2－3y-5=0
C、y2＋3y＋5=0 D、 y2－3y＋5=0
B
分析:设原方程两根为 则:
新方程的两根之和为
新方程的两根之积为
求作新的一元二次方程时:
1.先求原方程的两根和与两根积.
2.利用新方程的两根与原方程的两根之
间的关系,求新方程的两根和与两根积.
(或由已知求新方程的两根和与两根积)
3.利用新方程的两根和与两根积,
求作新的一元二次方程.

练习:
1.以2和 －３为根的一元二次方程
（二次项系数为１）为：　　　　　　　　　　　　　　　　
题6 　已知两个数的和是1，积是-2，则两 个数是 。
2和-1
解法(一):设两数分别为x,y则:
{
解得:
x=2
　y=－1
{
或
ｘ＝－1
y=2
{
解法(二):设两数分别为一个一元二次方程
的两根则:
求得
∴两数为2,－１
三　已知两个数的和与积，求两数　
题7 如果－1是方程
的一个根，则另一个根是___ｍ=____。
（还有其他解法吗？)
-3
四　求方程中的待定系数
小结：
1、熟练掌握根与系数的关系；
2、灵活运用根与系数关系解决问题；
3、探索解题思路，归纳解题思想方法。
8、已知关于X的方程mx2-(2m-1)x+m-2=0(m﹥0)
　(1)此方程有实数根吗？
（2）如果这个方程的两个实数根分别为x1，x2，且 （x1-3)(x2-3)=５m，求m的值。
题9 方程
有一个正根，一个负根，求m的取值范围。
解:由已知,
△=
{
即
{
m>0
m-1<0
∴0一正根，一负根
△＞0
X1X2＜0
两个正根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＞0
两个负根
△≥0
X1X2＞0
X1+X2＜0
{
{
{
请阅读下列材料：
问题：已知方程x 2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．
解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝ ．
把x＝ 代入已知方程，得( )2＋ －1＝0．
化简，得y 2＋2y－4＝0．
故所求方程为y 2＋2y－4＝0．
这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．
请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；
（1）已知方程x 2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为_________________；
（2）已知关于x的一元二次方程ax 2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．
_年_月_日 星期_______ 天气_____
学习课题:_____________
知识归纳与整理:________
_____________________
自我评价:___________
悄悄话:老师我想对你说______
_______________________
_______________________
________________________
有那些数学思想方法_____
我的收获与困惑_________