沪科版2020-2021学年度上学期九年级期末数学试卷（含解析）

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2020-2021学年安徽省九年级上学期期末试卷
一、选择题（(本大题共10小题，共40.0分)）
对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是
A.
B.
C.
D.
在中，，，，则的度数为
A.
B.
C.
D.
对于二次函数的图象，下列说法正确的是
A.
开口向下
B.
对称轴是直线
C.
顶点坐标是
D.
与x轴有两个交点
的值等于
A.
B.
1
C.
D.
关于二次函数，下列说法正确的是
A.
图象与y轴的交点坐标为
B.
y的最小值为
C.
当?时，y的值随x值的大而减小
D.
图象的对称轴在y轴的右侧
如图，∽，则下列比例式正确的是
A.
B.
C.
D.
若，，则a的值为
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
根据下列表格中的对应值，判断a、b、c为常数与x轴的交点的横坐标的取值范围是
x
A.
B.
C.
D.
如图，，，，是分别以，，，为直角顶点，一条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，均在反比例函数的图象上．则的值为
A.
B.
6
C.
D.
一块直角三角板按如图放置，顶点A的坐标为，直角顶点C的坐标为，，则点B的坐标为???
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是______．
如图，，两条直线与这三条平行线分别交于点A、B、C和D、E、F，已知，则的值为______．
一名长跑运动员沿着斜角为的斜坡，从B点跑至A点，已知米，则运动员的高度下降了______米．
如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点点A在点B的左边，与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接PD，则的最小值为______．
三、（本大题共2小题，共16.0分）
计算：．
如图，点D、E分别在的边AB、AC上，若，，．
求证：∽；
已知，AD：：3，，求AC的长．
四、（本大题共2小题，共16.0分）
水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角为，坝高3m，求：
坝底AB的长精确到；
水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度如图，使新坡面DE的坡度i为1：，原水坝底部正前方处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．
如图，在平行四边形ABCD中，E为AD边上一点，BE平分，连接CE，已知，，．
求AB的长；
求平行四边形ABCD的面积；
求．
五、（本大题共2小题，共20.0分）
小甬工作的办公楼矩形前有一旗杆MN，，旗杆高为12m，在办公楼底A处测得旗杆顶的仰角为，在办公楼天台B处测旗杆顶的仰角为，在小甬所在办公室楼层E处测得旗杆顶的俯角为．
办公楼的高度AB；
求小甬所在办公室楼层的高度AE．
昆明市某化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量千克是销售单价元千克的一次函数，且当时，；时，在销售过程中，每天还要支付其他费用450元．
求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
求该公司销售该原料日获利元与销售单价元千克之间的函数关系式．
当销售单价为多少元千克时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？
六、（本题满分12.0分）
如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，于点G，于点F，．
求证：∽；
若，，求的值．
六、（本题满分12.0分）
如图，抛物线与x轴交于A，B两点在B的左侧，与y轴交于点，点D与C关于抛物线的对称轴对称．
求抛物线的解析式及点D的坐标；
点P是抛物线上的一点，当的面积是8，求出点P的坐标；
过直线AD下方的抛物线上一点M作y轴的平行线，与直线AD交于点N，已知M点的横坐标是m，试用含m的式子表示MN的长及的面积S，并求当MN的长最大时S的值．
六、（本题满分14.0分）
如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点与B、C不重合，连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交的角平分线于点F，若．
求证：∽；
若，求的面积；
请直接写出EC为何值时，的面积最大．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题主要考查了二次函数的定义，是一个基础题目．根据二次函数的定义：二次项系数不为0，举出特例即可判断．
【解答】
解：当时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；
B.是二次函数，故正确；
C.当时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误；
D.当或时，二次项系数等于0，不是二次函数，故错误．
故选B．
2.【答案】C
【解析】解：在中，，，
，
则．
故选：C．
首先作出图形，可得，继而可求得的度数．
本题考查了解直角三角形，解答本题的关键是根据题意做出图形，利用特殊角的三角函数值求解．
3.【答案】C
【解析】解：二次函数的图象的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，，此方程没有实数解，所以抛物线与x轴没有交点．
故选：C．
利用二次函数的性质对A、B、C进行判断；利用的实数解的个数对D进行判断．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
4.【答案】B
【解析】解：．
故选：B．
直接利用特殊角的三角函数值代入得出答案．
此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．
5.【答案】B
【解析】解：，
当时，，故选项A错误，
当时，y取得最小值，此时，故选项B正确，
当时，y随x的增大而减小，故选项C错误，
该函数的对称轴是直线，故选项D错误，
故选：B．
根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题．
本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6.【答案】D
【解析】
【分析】
此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的对应边成比例定理的应用是解此题的关键．
由∽，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得答案．
【解答】
解：∽，
．
故选：D．
7.【答案】C
【解析】解：设，
则，，，
，
，
解得：，
即，
故选：C．
设，根据比例的性质得出，，，代入，再求出k即可．
本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质的内容是解此题的关键，注意：如果，那么．
8.【答案】C
【解析】解：时，；时，，
抛物线与x轴的一个交点在点与点之间．
故选：C．
利用和对应的函数值一负一正，从而可判断函数值为对应的自变量的范围．
本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数b，c是常数，与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
9.【答案】A
【解析】解：过、、分别作x轴的垂线，垂足分别为、、
其斜边的中点在反比例函数，即，
，
设，则此时，代入得：，
解得：，即：，
同理：，
，
，
故选：A．
根据点的坐标，确定，可求反比例函数关系式，由点是等腰直角三角形的斜边中点，可以得到的长，然后再设未知数，表示点的坐标，确定，代入反比例函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点的坐标，确定，然后再求和．
考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得出答案．
10.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了全等三角形的判定与性质以及坐标与图形的性质，解答本题的关键是作出合适的辅助线，证明三角形的相似，进而求解．过点B作于点D，根据为直角三角形可证明∽，设点B坐标为，根据相似三角形的性质即可求解．
【解答】
解：过点B作于点D，
为直角三角形，
，
∽，
，
设点B坐标为，
则，
，
，
，
，
，
解得：，
则．
即点B的坐标为
故选：D．
11.【答案】
【解析】【试题解析】
解：将抛物线向右平移2个单位所得直线解析式为：；
再向上平移3个单位为：，即．
故答案是：．
根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
12.【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了平行线分线段成比例定理，得出是解题的关键．
直接利用平行线分线段成比例定理进而得出，再将已知数据代入求出即可．
【解答】解：，
，
，
，
．
故答案为．
13.【答案】500
【解析】
【分析】
本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．根据题意，从B点跑至A点，实际下降的高度为BC，在中，求出BC的长度即可．
【解答】
解：在中，
米，，
米．
故答案为500．
14.【答案】
【解析】【试题解析】
解：连接AC
与x轴交点、，点，对称轴，
，
作点D关于y轴的对称点，作点A关于y轴的对称点，过点作于点E，则为所求；
由对称性可知，，
，
，
再由，
的最小值为，
，，
，，，
，
；
故答案为；
连接AC，作点D关于y轴的对称点，作点A关于y轴的对称点，过点作于点E，则为所求；由对称性可知，，，，，由的余弦值可得，即可求出；
本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，轴对称最短路径问题，解直角三角形．
15.【答案】解：
．
【解析】本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式化简4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．
本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值、二次根式等考点的运算．
16.【答案】证明：在中，，，，
，
又在中，，，
，，
∽；
解：∽，
，
，，
，
．
【解析】根据三角形内角和定理以及相似三角形的判定定理即可求出答案．
根据相似三角形的性质即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定．
17.【答案】解：如图，分别过C、D作，，垂足分别为F、H，
得四边形CDHF是矩形，
，，
在中，由坡度：1，
得，
在中，，，
得，
则；
则坝底AB的长约为；
由题意得，中，DH：：，
，
则，
，
所以没有影响．
【解析】分别过C、D作，，垂足分别为F、H，易得四边形CDHF是矩形，从而，，在中，由坡度：1，易得，在中，坡面BC的坡角为，坝高3m，易得BF，则；
由题意得，中，由坡面DE的坡度i为1：，易得的值进而与比较即可．
本题考查了解直角三角形的应用坡度坡角问题，解决本题的关键是掌握坡度坡角定义．
18.【答案】解：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
四边形ABCD是平行四边形．
，
在中，，，，
，
．
，
平行四边形ABCD的面积；
四边形ABCD是平行四边形．
，，
，，
中，，
．
【解析】由平行四边形的性质及角平分线的定义可得出，进而再利用题中数据即可求解结论；
易证为直角三角形，则，基础CE为平行四边形的高，利用平行四边形的面积公式计算即可；
易证，求的值可转化为求的值，利用勾股定理求出BE的长即可．
本题主要考查平行四边形的性质、平行四边形的面积公式运用、解直角三角形的有关知识及角平分线的性质等问题，应熟练掌握．
19.【答案】解：如图，过点M作于点H，
，，
四边形MNAH是矩形，
，
，
，
在中，，
，
，
．
答：办公楼的高度AB为．
过点E作于点Q，
由得，，
，
设，则，
，
由，
，
解得．
答：小甬所在办公室楼层的高度AE为．
【解析】过点M作于点H，可得四边形MNAH是矩形，再根据锐角三角函数即可求出办公楼的高度AB；
过点E作于点Q，设，则，，由，列出方程即可求出小甬所在办公室楼层的高度AE．
本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．
20.【答案】解：设，根据题意得，
解得：，，
；
；
，
，
时，w有最大值为1950元，
当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
【解析】根据y与x成一次函数解析式，设为，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
根据利润单价销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
21.【答案】解：，，
，
，
，
，
∽，
由可知：∽，
由可知：，
，
∽，
，
．
【解析】本题考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的判定，本题属于中等题型．
由于，，所以，从而可证明，进而可证明∽；
由∽，得，又易证∽，所以，从而可知．
22.【答案】解：抛物线与y轴交于点，
，
，
抛物线的解析式为，
抛物线的对称轴为直线．
点D与C关于抛物线的对称轴对称，
点D的坐标为．
当时，，
解得：，，
点A的坐标为，点B的坐标为，．
设点P的坐标为，
的面积是8，
，即，
．
当时，，解得：，，
点P的坐标为或；
当时，，解得：，
点P的坐标为．
当的面积是8，点P的坐标为或或．
设直线AD的解析式为，
将，代入，得：，
解得：，
直线AD的解析式为．
点M的横坐标是，
点M的坐标为，点N的坐标为，
，．
，，
当时，MN取得最大值，最大值为，此时S的值为，
当MN的长最大时S的值为．
【解析】根据点C的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出n值，进而可得出抛物线的解析式，由抛物线的解析式利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，结合点C的坐标可得出点D的坐标；
利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标及AB的长，设点P的坐标为，由三角形的面积公式结合的面积是8，可求出b值，再利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标；
根据点A，D的坐标利用待定系数法可求出直线AD的解析式，由点M的横坐标为m可得出点M，N的坐标，进而可得出MN的长，结合可用含m的式子表示的面积S，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：根据点的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征求出n值；利用三角形的面积公式，求出点P的纵坐标；利用二次函数的性质，求出MN的最大值．
23.【答案】解：四边形ABCD是正方形，
，
平分，
，
，
，
，
四边形ABCD是正方形，，
，
，，
，
，
∽；
，，
，
，
，
由知，∽，
，
，
，
；
设，则，
，
由知，∽，
，
，
，
，
当时，．
【解析】先判断出，再利用同角的余角相等，判断出，进而得出∽，即可得出结论；
先求出，进而表示出，由∽，得出，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；
同的方法，即可得出，即可得出结论．
此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出∽是解本题的关键．
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