人教版九年级数学上学期《22.2 二次函数与一元二次方程》 同步练习（Word版 含解析）

22.2
二次函数与一元二次方程
一．选择题
1．若二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝﹣1
B．x1＝1，x2＝3
C．x1＝﹣1，x2＝3
D．x1＝﹣3，x2＝1
2．已知二次函数y＝（a﹣1）x2﹣2x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是（　　）
A．a＜2
B．a＞2
C．a＜2且a≠1
D．a＜﹣2
3．将函数y＝﹣x2+2x+m（0≤x≤4）在x轴下方的图象沿x轴向上翻折，在x轴上方的图象保持不变，得到一个新图象．新图象对应的函数最大值与最小值之差最小，则m的值为（　　）
A．2.5
B．3
C．3.5
D．4
4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x的顶点为A点，且与x轴的正半轴交于点B，P点为该抛物线对称轴上一点，则OP+AP的最小值为（　　）
A．
B．
C．3
D．2
5．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点为A（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，则方程ax2+bx+c＝0的解是（　　）
A．x1＝﹣3，x2＝1
B．x1＝3，x2＝1
C．x＝﹣3
D．x＝﹣2
6．已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表，则方程ax2+bx+c＝0的一个解的范围是（　　）
x
6.17
6.18
6.19
6.20
y
﹣0.03
﹣0.01
0.02
0.04
A．﹣0.01＜x＜0.02
B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19
D．6.19＜x＜6.20
7．根据下表中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对应值：
x
3.23
3.24
3.25
3.26
y
﹣0.06
﹣0.02
0.03
0.09
判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（　　）
A．3.23＜x＜3.24
B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26
D．不能确定
二．填空题
8．抛物线y＝﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c＝0的解为　
　．
9．二次函数y＝x2﹣2x﹣8的图象与x轴的交点坐标　
　．
10．将函数y＝x2+2x﹣3的图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折至其上方后，所得的是新函数y＝|x2+2x﹣3|的图象，若该新函数图象与直线y＝﹣x+b有两个交点，则b的取值范围为　
　．
11．已知关于x的函数y＝（m﹣1）x2+2x+m图象与坐标轴只有2个交点，则m＝　
　．
12．已知关于x的函数y＝|2x﹣m|与y＝﹣x2+（m+1）x﹣m的图象有2个交点，则m的取值范围是　
　．
13．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c，为常数），对称轴为直线x＝1，它的部分自变量x与函数值y的对应值如下表．请写出ax2+bc+c＝0的一个正数解的近似值　
　（精确到0.1）
x
﹣0.4
﹣0.3
﹣0.2
﹣0.1
y＝ax2+bx+c
0.92
0.38
﹣0.12
﹣0.58
三．解答题
14．已知关于x的二次函数y＝﹣x2+（k﹣2）x+k．
（1）试判断该函数的图象与x轴的交点的个数；
（2）当k＝3时，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离．
15．如图，抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C．
（1）求a，b的值
（2）若点D是抛物线上的一点，且位于直线BC上方，连接CD，BD，AC．当四边形ABDC的面积有最大值时，求点D的坐标．
16．有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x轴的交点坐标分别为A（1，0），B（x2，y2）（点B在点A的右侧）；②对称轴是x＝3；③该函数有最小值是﹣2．
（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；
（2）将该函数图象中x＞x2部分的图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”，试结合图象分析：平行于x轴的直线y＝m与图象“G”的交点的个数情况．
17．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），对称轴与x轴交于点（3，0），且AB＝4．
（1）求抛物线C1的表达式及顶点坐标；
（2）将抛物线C1平移，得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），抛物线C1的对称轴与两条抛物线C1，C2围成的封闭图形为M．直线l：y＝kx+m（k≠0）经过点B．若直线l与图形M有公共点，求k的取值范围．
18．已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与x轴的一个交点为A（3，0），与y轴的交点为A（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求顶点C的坐标．
19．如图，抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：
（1）求抛物线的解析式；
（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．
20．已知二次函数y＝﹣x2﹣2x+2．
（1）填写表，并在给出的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
…
（2）结合函数图象，直接写出方程﹣x2﹣2x+2＝0的近似解（指出在哪两个连续整数之间即可）．
21．利用函数的图象，求方程x2＝2x+3的解．
22．阅读材料，解答问题．
例：用图象法解一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0
解：设y＝x2﹣2x﹣3，则y是x的二次函数．∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，解得x1＝﹣1，x2＝3．
∴由此得抛物线y＝x2﹣2x﹣3的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞3时，y＞0．
∴x2﹣2x﹣3＞0的解集是：x＜﹣1或x＞3．
（1）观察图象，直接写出一元二次不等式：x2﹣2x﹣3＞0的解集是　
　；
（2）仿照上例，用图象法解一元二次不等式：x2﹣1＞0．
23．画出函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象，根据图象回答：
（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解是什么；
（2）当x取何值时，y＞0；
（3）当x取何值时，y＜0．
参考答案
一．选择题
1．解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣1，0）和（3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3．
故选：C．
2．解：由题意得：，
解得：．
故选：C．
3．解：如下图，函数y＝﹣x2+2x+m的对称轴为x＝1，故顶点P的坐标为（1，m+1），
令y＝0，则x＝1±，设抛物线于x轴右侧的交点A（1+，0），
根据点的对称性，图象翻折后图象关于x轴对称，故翻折后的函数表达式为：﹣y′＝﹣x2+2x+m，
当x＝4时，y′＝8﹣m，
当0≤x≤4时，函数的最小值为0，故函数最大值与最小值之差最小，只需要函数的最大值最小即可；
①当点A在直线x＝4的左侧时（直线n所处的位置），
即1+＜4，解得：m＜8；
当函数在点P处取得最大值时，即m+1≥8﹣m，解得：m≥3.5，
当m＝3.5时，此时最大值最小为3.5；
当函数在x＝4处取得最大值时，即m+1≤8﹣m，解得：m≤3.5，
m最大为3.5时，此时最大值为m+1＝4.5，
故m＝3.5；
②当点A在直线x＝4的右侧时（直线m所处的位置），
即1+＞4，解得：m＞8；
函数的最大为m+1＞9＞3.5；
综上，m＝3.5，
故选：C．
4．解：连接AO、AB，PB，作PH⊥OA于H，BC⊥AO于C，如图，
当y＝0时，﹣x2+2x＝0，解得x1＝0，x2＝2，则B（2，0），
y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+3，则A（，3），
∴OA＝＝2，
而AB＝AO＝2，
∴AB＝AO＝OB，
∴△AOB为等边三角形，
∴∠OAP＝30°，
∴PH＝AP，
∵AP垂直平分OB，
∴PO＝PB，
∴OP+AP＝PB+PH，
当H、P、B共线时，PB+PH的值最小，最小值为BC的长，
而BC＝AB＝×2＝3，
∴OP+AP的最小值为3．
故选：C．
5．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点是A（1，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的另一个交点是（﹣3，0），
∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的解是：x1＝﹣3，x2＝1．
故选：A．
6．解：由表格中的数据看出﹣0.01和0.02更接近于0，故x应取对应的范围．
故选：C．
7．解：由表可以看出，当x取3.24与3.25之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根．
ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为3.24＜x＜3.25．
故选：B．
二．填空题
8．解：观察图象可知，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴的一个交点为（1，0），对称轴为x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一交点坐标为（﹣3，0），
∴一元二次方程2x2﹣4x+m＝0的解为x1＝1，x2＝﹣3．
故本题答案为：x1＝1，x2＝﹣3．
9．解：二次函数的解析式y＝x2﹣2x﹣8，
令y＝0，得到x2﹣2x﹣8＝0，
解得：x1＝4，x2＝﹣2，
则此二次函数的图象与x轴的交点坐标分别为（4，0）、（﹣2，0）；
故答案为：（4，0）、（﹣2，0）；
10．解：如图：
令y＝0，x2+2x﹣3＝0，
解得x＝﹣3或x＝1，
∴函数y＝|x2+2x﹣3|的图象与x轴的交点为（﹣3，0），（1，0），
当直线y＝﹣x+b经过点（﹣3，0）时，b＝﹣，
此时直线y＝﹣x+b与y＝|x2+2x﹣3|只有一个交点，
当直线y＝﹣x+b经过点（1，0）时，b＝，
此时直线y＝﹣x+b与y＝|x2+2x﹣3|有三个交点，
∴﹣＜b＜时，直线y＝﹣x+b与y＝|x2+2x﹣3|有两个交点；
当y＝﹣x2﹣2x+3与y＝﹣x+b有一个交点时，
即﹣x2﹣2x+3＝﹣x+b，
∴b＝，
此时此时直线y＝﹣x+b与y＝|x2+2x﹣3|有三个交点，
∴当b＞时，直线y＝﹣x+b与y＝|x2+2x﹣3|有两个交点；
综上所述：b＞或﹣＜b＜时，直线y＝﹣x+b与y＝|x2+2x﹣3|有两个交点；
故答案为b＞或﹣＜b＜．
11．解：（1）当m﹣1＝0时，m＝1，函数为一次函数，解析式为y＝2x+1，与x轴交点坐标为（﹣，0）；与y轴交点坐标（0，1）．符合题意．
（2）当m﹣1≠0时，m≠1，函数为二次函数，与坐标轴有两个交点，则过原点，且与x轴有两个不同的交点，
于是△＝4﹣4（m﹣1）m＞0，
解得，（m﹣）2＜，
解得m＜或m＞．
将（0，0）代入解析式得，m＝0，符合题意．
（3）函数为二次函数时，还有一种情况是：与x轴只有一个交点，与y轴交于交于另一点，
这时：△＝4﹣4（m﹣1）m＝0，
解得：m＝．
故答案为：1或0或．
12．解：易知函数y＝|2x﹣m|≥0，其图象关于直线对称，且与x轴交于点．
函数y＝﹣x2+（m+1）x﹣m的图象开口向下，且与x轴交于点（1，0），（m，0）．
当点在点（1，0）和点（m，0）之间时，两函数的图象有2个交点．
当m＜1时，，解得m＜0；
当m＞1时，，解得m＞2．
综上所述，m的取值范围是m＜0或m＞2．
故答案是：m＜0或m＞2．
13．解：由表可知，当x＝﹣0.2时，y的值最接近0，
所以，方程ax2+bx+c＝0一个解的近似值为﹣0.2，
设正数解的近似值为a，
∵对称轴为直线x＝1，
∴＝1，
解得a＝2.2．
故答案为：2.2．（答案不唯一，与其相近即可）．
三．解答题
14．解：（1）△＝（k﹣2）2+4k＝k2+4，
∵k2≥0，
∴k2+4＞0，
∴二次函数y＝﹣x2+（k﹣2）x+k的图象与x轴有两个交点；
（2）当k＝3时，二次函数为y＝﹣x2+x+3，令y＝0，
则﹣x2+x+3＝0，
解得x＝或x＝，
∴与x轴交点为（，0），（，0），
∴两交点间的距离为：﹣＝．
15．解：（1）把A（﹣1，0），B（4，0）代入y＝ax2+bx+2中，得
．
∴；
（2）设直线BC的表达式为y＝kx+h，
将B（4，0），C（0，2）分别代入，
得
解得
故直线BC的表达式为．
过点D作直线DE∥y轴，交BC于点E，
∵抛物线y＝ax2+bx+2＝2＝﹣，
∴设，则，
∴，
∴+4n＝﹣（n﹣2）2+4，
根据二次函数的性质可知，当n＝2时，S△BCD取最大值，
此时点D的坐标为（2，3）．
16．解：（1）由上述信息可知该函数图象的顶点坐标为：（3，﹣2），
设二次函数的表达式为：y＝a（x﹣3）2﹣2．
∵该函数图象经过点A（1，0），
∴0＝a（1﹣3）2﹣2，
解得a＝
∴二次函数解析式为：y＝（x﹣3）2﹣2．
（2）如图所示：
当m＞0时，直线y＝m与G有一个交点；
当m＝0时，直线y＝m与G有两个交点；
当﹣2＜m＜0时，直线y＝m与G有三个交点；
当m＝﹣2时，直线y＝m与G有两个交点；
当m＜﹣2时，直线y＝m与G有一个交点．
17．解：（1）∵抛物线C1的对称轴与x轴交于点（3，0），
∴抛物线C1的对称轴为直线x＝3．
又∵AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0）．
∴
解得
∴抛物线C1的表达式为y＝x2﹣6x+5．
即y＝（x﹣3）2﹣4．
∴抛物线C1的顶点为D（3，﹣4）．
（2）∵平移后得到的新抛物线C2的顶点为（0，﹣1），
∴抛物线C2的表达式为y＝x2﹣1．
∴抛物线C1的对称轴x＝3与抛物线C2的交点为E（3，8）
①当直线l过点B（5，0）和点D（3，﹣4）时，
得
解得kBD＝2．
②当直线l过点B（5，0）和点E（3，8）时，
得
解得kBE＝﹣4，
∴结合函数图象可知，k的取值范围是﹣4≤k≤2且k≠0．
18．解：（1）由题意得，，
???????解得，
∴抛物线的解析式y＝x2﹣2x﹣3；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点C的坐标为（1，﹣4）．
19．解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0），
∴，
解得：．
∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）如图，连接BE，
∵点E（2，m）在抛物线上，
∴m＝4﹣4﹣3＝﹣3，
∴E（2，﹣3），
∴BE＝＝，
∵点F是AE中点，抛物线的对称轴与x轴交于点H，即H为AB的中点，
∴FH是三角形ABE的中位线，
∴FH＝BE＝×＝．
20．解：（1）填表如下：
x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
2
…
y
…
﹣6
﹣1
2
3
2
﹣1
﹣6
…
所画图象如图：
（2）由图象可知，方程﹣x2﹣2x+2＝0的两个近似根是﹣3～﹣2之间和0～1之间．
21．解：抛物线y＝x2﹣2x﹣3的图象如图所示：
．
抛物线与x轴交点横坐标分别是﹣1、3．
则方程x2＝2x+3的根是x1＝﹣1，x2＝3．
22．解：（1）x＜﹣1或x＞3；
（2）设y＝x2﹣1，则y是x的二次函数，
∵a＝1＞0，
∴抛物线开口向上．
又∵当y＝0时，x2﹣1＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝1．
∴由此得抛物线y＝x2﹣1的大致图象如图所示．
观察函数图象可知：当x＜﹣1或x＞1时，y＞0．
∴x2﹣1＞0的解集是：x＜﹣1或x＞1．
23．解：函数y＝﹣2x2+8x﹣6的图象如图．由图象可知：
（1）方程﹣2x2+8x﹣6＝0的解x1＝1，x2＝3．
（2）当1＜x＜3时，y＞0．
（3）当x＜1或x＞3时，y＜0．