人教版 九年级数学 上册24.4 弧长和扇形面积 课时训练（word解析版）

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九年级数学
24.4
弧长和扇形面积
课时训练
一、选择题
1.
若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为
(　　)
A.π
B.2π
C.3π
D.6π
2.
如图，?ABCD中，∠B=70°，BC=6.以AD为直径的☉O交CD于点E，则的长为
(　　)
A.π
B.π
C.π
D.π
3.
（2020·常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（
）
A．
B．
C．
D．
4.
如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，以点B为圆心，BC的长为半径作弧，交AB于点D，若点D为AB的中点，则阴影部分的面积是(　　)
A.
2－π
B.
4－π
C.
2－π
D.
π
5.
在半径为6
cm的圆中，长为2π
cm的弧所对的圆周角的度数为
(　　)
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
6.
用圆心角为120°，半径为6
cm的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽(如图所示)，则这个纸帽的高是(　　)
A.
cm
B．3
cm
C．4
cm
D．4
cm
7.
如图，C为扇形OAB的半径OB上一点，将△OAC沿AC折叠，点O恰好落在上的点D处，且l∶l＝1∶3(l表示的长)．若将此扇形OAB围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为(　　)
A．1∶3
B．1∶π
C．1∶4
D．2∶9
8.
如图，△ABC是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°.曲线CDEF…叫做“等腰直角三角形的渐开线”，其中，，，…的圆心依次按A，B，C，…循环．如果AC＝1，那么曲线CDEF和线段CF围成图的面积为(　　)
图
A.π
B.π
C.
D.
二、填空题
9.
如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB，AC的夹角为120°，AB长为30厘米，则的长为________厘米(结果保留π)．
10.
(2020·湘潭)如图，在半径为6的⊙O中，圆心角，则阴影部分面积为________．
11.
75°的圆心角所对的弧长是2.5π
cm，则此弧所在圆的半径是________
cm.
12.
如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB＝12，OP＝6，则劣弧的长为________．(结果保留π)
13.
如图所示，有一直径是　米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆心角是90°的最大扇形ABC，则：
(1)AB的长为________米；
(2)用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为________米．
14.
若一个圆锥的底面圆半径为3
cm，其侧面展开图的圆心角为120°，则圆锥的母线长是________cm.
15.
（2020·吉林）如图，在四边形中，，，我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，筝形的对角线，相交于点．以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点，，若，，则的长为_______（结果保留）．
16.
2018·烟台如图，点O为正六边形ABCDEF的中心，M为AF的中点，以点O为圆心，OM长为半径画弧得到扇形MON，点N在BC上；以点E为圆心，DE长为半径画弧得到扇形DEF.将扇形MON的两条半径OM，ON重合，围成圆锥，将此圆锥的底面半径记为r1；将扇形DEF以同样方法围成的圆锥的底面半径记为r2，则r1∶r2＝________.
三、解答题
17.
如图，C，D是半圆O上的三等分点，直径AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.
(1)求∠AFE的度数；
(2)求阴影部分的面积(结果保留π和根号).
18.
如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上的一点，AC平分∠DAB，AD⊥CD，垂足为D，AD交半圆O于点E，连接CE.
(1)判断CD与半圆O的位置关系，并证明你的结论；
(2)若E是的中点，半圆O的半径为1，求图中阴影部分的面积．
19.
如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，现想用毛毡搭建底面积为9π
m2，高为6
m，外围高为2
m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡．(结果保留π)
20.
（2020·内江）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，于点D，过点C作⊙O
的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）设OE交⊙O于点F，若，求线段EF的长；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
21.
(2019?辽阳)如图，是⊙的直径，点和点是⊙上的两点，连接，，，过点作射线交的延长线于点，使．
(1)求证：是⊙的切线；
(2)若，求阴影部分的面积．
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九年级数学
24.4
弧长和扇形面积
课时训练-答案
一、选择题
1.
【答案】C　[解析]扇形的圆心角为90°，它的半径为6，即n=90°，r=6，根据弧长公式l=，得l==3π.故选C.
2.
【答案】B　[解析]如图，连接OE.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=6，∠D=∠B=70°，∴OD=3.
∵OD=OE，∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=40°.∴的长==π.
3.
【答案】
C
【解析】本题考查了圆锥的计算.圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，这个圆锥的母线长是，
这个圆锥的侧面积是因此本题选C．
4.
【答案】A　【解析】设BC＝x，∵D为AB的中点，∴AB＝2BC＝2x,
∴在Rt△ABC中，由勾股定理有(2x)2－x2＝(2)2，解得x＝2，又∵sinA＝＝，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∴S阴影＝S△ABC－S扇形BCD＝×2×2－＝2－π.
5.
【答案】A　[解析]
设长为2π
cm的弧所对的圆心角的度数为n°，则＝2π，解得n＝60.∴这条弧所对的圆心角是60°，即所对的圆周角是30°.故选A.
6.
【答案】C　[解析]
设纸帽底面圆的半径为r
cm，则2πr＝，解得r＝2.设圆锥的高为h
cm，由勾股定理得h2＋r2＝62，所以h2＋22＝62，解得h＝4
.
7.
【答案】D
8.
【答案】C　[解析]
曲线CDEF和线段CF围成的图是由三个圆心不同，半径不同的扇形以及△ABC组成的，所以根据面积公式可得
＋×1×1＝.
二、填空题
9.
【答案】20π　【解析】由弧长公式得，l的长＝＝20π.
10.
【答案】
【解析】本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是熟记扇形面积的计算公式．
阴影部分面积为，
故答案为：．
11.
【答案】6
12.
【答案】
8π　【解析】∵AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，∴AP＝AB＝6.如解图，连接OA，OB，∵OA＝OB，∴∠AOB＝2∠AOP.在Rt△AOP中，OA＝＝12，tan∠AOP＝＝＝，∴∠AOP＝60°.∴∠AOB＝120°，∴劣弧AB的长为＝8π.
　　　　　　
13.
【答案】(1)1　(2)　[解析]
(1)如图，连接BC.
∵∠BAC＝90°，
∴BC为⊙O的直径，即BC＝.
∵AB＝AC，AB2＋AC2＝BC2＝2，
∴AB＝1(米)．
(2)设所得圆锥的底面圆的半径为r米．
根据题意，得2πr＝，
解得r＝.
14.
【答案】
9　【解析】由n＝得120＝，解得l＝9.
15.
【答案】
【解析】由题意知：，，
∴ABC和ADC是等腰三角形，AC⊥BD．
∵，
∴OD=，OA=
∴OB=．
∵∠ABD=，
∴∠EBF=，
=
．
故答案为．
16.
【答案】∶2　
[解析]
如图连接OA，OB，OF.
∵六边形ABCDEF为正六边形，
∴OA＝OF，∠AOF＝∠AOB＝60°，∠E＝120°.
∵M为AF的中点，∴∠AOM＝30°.由题意，得ON＝OM.易证△BON≌△AOM，
∴∠BON＝∠AOM＝30°，∴∠MON＝120°.设AM＝a，则AB＝OA＝2a，OM＝a，
∴扇形MON的弧长为＝πa，则r1＝a.
同理可得，扇形DEF的弧长为＝πa，则r2＝a，∴r1∶r2＝∶2.
三、解答题
17.
【答案】
解：(1)连接OD，OC，如图．
∵C，D是半圆O上的三等分点，∴＝＝，
∴∠AOD＝∠DOC＝∠COB＝60°，∴∠CAB＝30°.
∵DE⊥AB，∴∠AEF＝90°，
∴∠AFE＝90°－30°＝60°.
(2)由(1)知∠AOD＝60°.
∵OA＝OD，AB＝4，
∴△OAD是等边三角形，OA＝OD＝2.
∵DE⊥AO，∴AE＝OE＝OA＝1，
∴DE＝＝，
∴S阴影＝S扇形OAD－S△OAD＝－×2×＝π－.
18.
【答案】
解：(1)CD与半圆O相切．
证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC.
∵OA＝OC，∴∠BAC＝∠OCA，
∴∠DAC＝∠OCA，∴OC∥AD.
∵AD⊥CD，∴OC⊥CD.
又∵OC为半圆O的半径，
∴CD与半圆O相切．
(2)连接OE.
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠BAC，∴＝.
又∵E是的中点，
∴＝＝，S弓形AE＝S弓形CE，
∴∠BOC＝∠EOC＝60°.
又∵OE＝OC，∴△OEC是等边三角形，
∴∠ECO＝60°，CE＝OC＝1.
由(1)得OC⊥CD，∴∠OCD＝90°，
∴∠DCE＝30°，
∴DE＝，DC＝，
∴S阴影＝S△DEC＝××＝.
19.
【答案】
解：∵蒙古包的底面积为9π
m2，高为6
m，外围(圆柱)高为2
m，
∴底面圆的半径为3
m，圆锥的高为6－2＝4(m)，
∴圆锥的母线长为5
m，
∴圆锥的侧面积为π×3×5＝15π(m2)，
圆锥的底面周长为2π×3＝6π(m)，
圆柱的侧面积为6π×2＝12π(m2)．
故至少需要毛毡15π＋12π＝27π(m2)．
20.
【答案】
（1）证明：连接OC，如图，∵OD⊥BC，∴CD=BD，∴OE为BC的垂直平分线，
∴EB=EC，∴∠EBC=∠ECB，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠OBC+∠EBC=∠OCB+∠ECB，即∠OBE=∠OCE，∵CE为⊙O的切线，∴OC⊥CE，∴∠OCE=90°，
∴∠OBE=90°，∴OB⊥BE，∴BE与⊙O相切．
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD中，BD=BC=
∵OD2+BD2=OB2，∴，解得R=4，∴OD=2，OB=4，
∴∠OBD=30°，∴∠BOD=60°，∴在Rt△OBE中，∠BEO=30?，OE=2OB=8，
∴EF=OE-OF=8-4=4，即EF=4；
（3）由∠OCD=∠OBD=30?和OD⊥BC知：∠COD=∠BOD=60?，
∴∠BOC=120?，又BC=，OE=8，∴=
,
【解析】本题考查了切线的判定与性质、垂径定理、扇形面积的计算、含30?角的直角三角形边角关系、勾股定理等知识，熟练掌握每个知识点是解答的关键．
（1）连接OC，如图，根据垂径定理由OD⊥BC得到CD=BD，则OE为BC的垂直平分线，所以EB=EC，根据等腰三角形的性质得∠EBC=∠ECB，加上∠OBC=∠OCB，则∠OBE=∠OCE；再根据切线的性质得∠OCE=90°，所以∠OBE=90°，然后根据切线的判定定理得BE与⊙O相切；
（2）设⊙O的半径为R，则OD=R-DF=R-2，OB=R，在Rt△OBD，利用勾股定理解得R=4，再利用含30?角的直角三角形边角关系可求得OE，利用EF=OE-OF即可解答；
（3）利用（2）中可求得∠BOC=120?,然后利用代入数值即可求解．
21.
【答案】
(1)如图，连接，过作于，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是⊙的切线．
(2)∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴阴影部分的面积．