人教版九年级下册数学 27.2.2相似三角形的性质 同步测试（Word版 含解析）

27.2.2相似三角形的性质
同步测试
一．选择题
1．已知△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，∠B＝60°，则么∠F＝（　　）
A．60°
B．50°
C．70°
D．60°或50°
2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（　　）
A．2：3
B．4：9
C．16：36
D．16：9
3．如图，BE和CD是△ABC的中线，连接DE，则的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（　　）
A．1：2
B．2：3
C．4：3
D．4：7
5．如图是一个边长为1的正方形组成的网格，△ABC与△A1B1C1都是格点三角形（顶点在网格交点处），并且△ABC∽△A1B1C1，则△ABC与△A1B1C1的面积比是（　　）
A．1：2
B．1：4
C．4：9
D．2：3
6．如图，在平行四边形ABCD中，E是AB的中点，F是AD的中点，FE交AC于O点，交CB的延长线于G点，那么S△AOF：S△COG＝（　　）
A．1：4
B．1：9
C．1：16
D．1：25
7．如图，在△ABC中，AB＝15cm，AC＝12cm，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE等于（　　）cm．
A．32
B．24
C．48
D．64
8．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），P（1，0），B为y轴上的动点，以AB为边构造△ABC，使点C在x轴上，∠BAC＝90°，M为BC的中点，则PM的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
9．如图，正方形ABCD边长为4，E是正方形外一点，BE＝CE＝，点E关于BD的对称点为点F，连结EB，DF并延长相交于点G，则AG的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
10．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连接AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连接DG．以下四个结论：
①∠EAB＝∠GAD；
②△AFC∽△AGD；
③2AE2＝AH?AC；
④DG⊥AC．
其中正确的个数为（　　）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题
11．如图，AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的中线，AD，CE交于点F，若∠1＝∠B，则＝　
　．
12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝　
　．
13．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是　
　．
14．如图，等边△ABC的边长为6，点D在AC上且DC＝2，点E在BC上，连接AE交BD于点F，且∠AFD＝60°，若点M是射线BC上一点，当以B、D、M为顶点的三角形与△ABF相似时，则BM的长为　
　．
15．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，O为AC边中点，＝2，连接BO交AD于F，作OE⊥OB交BC边于点E，则的值＝　
　．
三．解答题
16．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠BDE＝∠BAD＝90°．
（1）求证：BD2＝BA?BE；
（2）若AB＝6，BE＝8，求CD的长．
17．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，P为DC延长线上一点，AP分别交BD，BC于点M，N．
（1）证明：AM2＝MN?MP；
（2）若AD＝6，DC：CP＝2：1，求BN的长．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝，AD平分∠BAC，交边BC于点D，过点D作CA的平行线，交边AB于点E．
（1）求线段DE的长；
（2）取线段AD的中点M，连接BM，交线段DE于点F．延长线段BM交边AC于点G，在图②中补全图形并求的值．
参考答案
一．选择题
1．解：在△ABC中，∵∠A＝70°，∠B＝60°，
∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝50°．
∵△ABC∽△DEF，∠A＝∠D＝70°，
∴∠F＝∠C＝50°；
故选：B．
2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，
∴它们的相似比为4：3，
∴它们的面积比为16：9．
故选：D．
3．解：∵BE和CD是△ABC的中线，
∴DE∥BC，DE＝BC，
∴，
故选：A．
4．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，
∵DH∥BF，
∴＝，
∵BD：CD＝1：2，
∴CD：BC＝2：3，
∴BF＝DH，
∵DH∥AF，
∴＝＝2，
∴AF＝2DH，
∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，
∴AF：AB＝4：7．
故选：D．
5．解：∵△ABC∽△A1B1C1，
∴△ABC与△A1B1C1的相似比为：＝，
∴△ABC与△A1B1C1的面积比是：＝．
故选：C．
6．解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E为AB的中点，F为AD的中点，
∴AE＝BE，AF＝AD＝BC，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△BGE，
∴，
∵AE＝BE，
∴AF＝BG＝BC，
∴＝
∵AD∥BC，
∴△AFO∽△CGO，
∴＝（）2＝，
即S△AOF：S△COG＝1：9，
故选：B．
7．解：标出字母，如图：
∵在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，
∴∠EAD＝∠MAD，
∵DE∥AB交AC的延长线于点E，
∴∠EDA＝∠MAD，∠BAC＝∠CED，
∴∠EAD＝∠EDA，
∴ED＝EA，
∵在三角形ABC与三角形CED中，
∠BAC＝∠CED，∠BCA＝∠ECD，
∴△ABC∽△CED，
∴＝，
∵AB＝15cm，AC＝12cm，
设ED＝15k，
∴CE＝12k，
∴ED＝15k＝EA＝EC+CA＝12k+12，
∴3k＝12，
∴k＝4，
∴CE＝12k＝48（cm），
故选：C．
8．解：如图，过点A作AH⊥y轴于H，过点C作CE⊥AH于E，
则四边形CEHO是矩形，
∴OH＝CE＝4，
∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，
∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，
∴∠ABH＝∠EAC，
∴△AHB∽△CEA，
∴＝，即＝，
∴AE＝2BH，
设BH＝x，则AE＝2x，
∴OC＝HE＝2+2x，OB＝4﹣x，
∴B（0，4﹣x），C（2+2x，0），
∵BM＝CM，
∴M（1+x，），
∵P（1，0），
∴PM＝＝，
∴PM的最小值为＝，
故选：C．
9．解：如图，作GM⊥DA于M，GJ⊥AB于J，EP⊥BC于P，EN⊥DC于N，设MG＝x，MA＝y，如下图所示，
由BP＝2，BE＝，得PE＝，
∵点E关于BD的对称点为点F，
∴∠GDB＝∠BDE，
∴∠MDG＝45°﹣∠GDB＝∠NDE＝45°﹣∠BDE，
∵∠DMG＝∠DNE＝90°，
∴△DMG∽△DNE，得
＝，
∵AB⊥BC，
∵BC⊥EP，
∴AB∥PE，
∴∠JBG＝∠PEB，
∵∠GJB＝∠BPE＝90°，
∴△BJG∽△EPB，得
＝，
解得：x＝y＝，
∴AG＝．
故选：D．
10．解：∵四边形ABCD，四边形AEFG都是正方形，
∴∠EAG＝∠BAD＝90°，∠FAG＝∠AFG＝∠DAC＝∠ACB＝45°，AF＝AG，AC＝AD，
∴∠EAG﹣∠BAG＝∠BAD﹣∠BAG，
∴∠EAB＝∠DAG，故①正确；
∵AF＝AG，AC＝AD，
∴＝，
∵∠FAG＝∠CAD＝45°，
∴∠FAC＝∠DAG，
∴△FAC∽△DAG，故②正确，
∴∠ADG＝∠ACB＝45°，
延长DG交AC于N，
∵∠CAD＝45°，∠ADG＝45°，
∴∠AND＝90°，
∴DG⊥AC，故④正确，
∵∠FAC＝∠FAH，∠AFG＝∠ACF＝45°，
∴△AFH∽△ACF，
∴，
∴AF2＝AH?AC，
∴2AE2＝AH?AC，故③正确，
故选：D．
二．填空题
11．解：∵∠1＝∠B，
而∠CAE＝∠BAC，
∴△ACE∽△ABC，
∴＝，
∴AC2＝AE?AB，
∵CE是△ABC的中线，
∴AE＝AB，
∴AC2＝AE?AB＝AB2，
∴AC＝AB，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAF，
而∠B＝∠1，
∴△ABD∽△ACF，
∴＝＝＝．
故答案为．
12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，
∵CA＝CB，AB＝AE，
∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，
∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，
∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，
∴∠C＝∠BAE，
∴2∠AEB+∠C＝180°，
又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，
∴∠C＝∠ADE，
又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，
∴∠C＝∠DEC，
∴DE＝DC＝，
∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，
∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，
∴△CDN∽△CAM，
∴，
∴，
∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），
故答案为：12．
13．解：∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，
∴＝（）2＝，
∴＝，
∵DE∥AC，
∴△BDE∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
故答案为：．
14．解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝6，∠ABC＝60°＝∠AFD，
∴∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAE，
∴∠BAE＝∠DBC，
如图，当点M在BC上时，作∠BDM＝∠ABD，
∴△ABF∽△BDM，
∵∠BDM＝∠ABD，
∴∠DMC＝∠DBC+∠BDM＝∠ABD+∠DBC＝∠ABC＝60°，
∴∠DMC＝∠DCM＝60°，
∴△DMC是等边三角形，
∴DC＝DM＝CM＝2，
∴BM＝4，
当点M'在BC的延长线上时，作∠CDM'＝∠BAE，
∵∠ACB＝∠CDM'+∠M'＝60°，∠AFD＝∠ABD+∠BAE＝60°，
∴∠M'＝∠ABD，
∴△ABF∽△BM'D，
∵∠CDM'＝∠CBD，∠BDM＝∠M'，
∴△BDM∽△DM'C，
∴，
∴＝，
∴CM'＝1，
∴BM'＝7，
综上所述：BM＝4或7，
故答案为：4或7．
15．解：∵AD⊥BC，
∴∠DAC+∠C＝90°．
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAF＝∠C．
∵OE⊥OB，
∴∠BOA+∠COE＝90°，
∵∠BOA+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠COE．
过O作AC的垂线交BC于H，则OH∥AB，
∵∠ABF＝∠COE，∠BAF＝∠C．
∴∠AFB＝∠OEC，
∴∠AFO＝∠HEO，
而∠BAF＝∠C，
∴∠FAO＝∠EHO，
∴△OEH∽△OFA，
∴，
又∵O为AC的中点，OH∥AB．
∴OH为△ABC的中位线，
∴OH＝AB，OA＝OC＝AC，
而，
∴，
即，
故答案为：2．
三．解答题
16．证明：（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
又∵∠BDE＝∠BAD＝90°，
∴△ABD∽△DBE，
∴，
∴BD2＝BA?BE；
（2）∵AB＝6，BE＝8，BD2＝BA?BE，
∴BD＝4，
∴DE＝＝＝4，
∵∠BDC＝∠A+∠ABD＝∠BDE+∠EDC，
∴∠ABD＝∠CDE，
∴∠CDE＝∠DBC，
又∵∠C＝∠C，
∴△BCD∽△DCE，
∴，
∴，
∴EC＝4，CD＝4．
方法二、∵sin∠DBE＝＝＝，
∴∠DBE＝30°，
∴∠ABD＝∠DBE＝30°，
∴∠C＝30°，
∴∠C＝∠DBC，
∴BD＝CD，
∵∠ABD＝30°，
∴cos∠ABD＝＝
∴BD＝4，
∴CD＝4．
17．证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ADM＝∠NBM，∠DAM＝∠BNM，
∴△ADM∽△NBM，
∴＝，
∵AB∥DC，
∴∠P＝∠BAM，∠MDP＝∠ABM，
∴△PDM∽△ABM，
∴＝，
∴＝，
∴AM2＝MN?MP；
（2）∵AD∥BC，
∴∠PCN＝∠PDA，∠P＝∠P，
∴△PCN∽△PDA，
∴＝，
∵DC：CP＝2：1，
∴＝＝，
又∵AD＝6，
∴NC＝2，
∴BN＝4．
18．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝30°，
在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，∠DAC＝30°，AC＝，
∴CD＝1，
在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，
∴BC＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝2，
∵DE∥CA，
∴△BDE∽△BCA，
∴＝，
∴DE＝；
（2）如图，
∵点M是线段AD的中点，
∴DM＝AM，
∵DE∥CA，
∴，
∴DF＝AG，
∵DE∥CA，
∴，，
∴，
∵BD＝2，BC＝3，DF＝AG，
∴．