长方体和正方体的体积计算公式
【教材内容】
《义务教育教科书·数学》五年级下册第三单元《长方体和正方体》第29－30页内容及练习七的相关习题。
【学情分析】
一、知识基础
1、
学生已学习、掌握长方体与正方体的特征以及长、宽、高的概念。
2、
学生已学习、理解体积的概念及体积单位。
3、
学生已学习、掌握依据体积单位推测立体图形的体积，为本节课实验做铺垫。
二、能力基础
1、
学生已学习、掌握基本的运算能力和运算技巧。
2、
学生已初步接触、学习实验探究、观察猜想、归纳的学习方法。
3、
学生已初步具备知识迁移的能力。
【教学目标】
1、
结合具体情境和实践活动探索并掌握长方体、正方体的体积计算方法，能正确计算长方体、正方体的体积，解决-些简单的实际问题。
2、
在观察操作、探索的过程中提高学生动手操作、归纳推理的能力，进一步
发展空间观念。
3、
在活动中使学生感受数学与实际生活的密切联系，体验学数学、用数学的乐趣，从而激发学生的学习兴趣。
【教学重点】
长方体和正方体的体积计算公式的应用。
【教学难点】
长方体和正方体体积计算公式的推导。
【教学准备】
多媒体课件、学习单。
【学具准备】
每小组若干个棱长为1cm的小正方体。
【教学过程】
一、复习旧知，情境引入
(一)复习旧知，
铺垫新知
1、
复习体积和体积单位
师：我们已经学习了体积和体积单位，什么是体积单位?常见的体积单位有哪些？
2、
课件出示由若干个棱长为1cm的小正方体组成的立体图形，让学生说出立体图形对应的体积大小；
【设计意图：通过回顾，复习“判断物体体积的大小就是看它含有多少个体积单位”该知识点，为后续实验环节做铺垫】
(二)设疑激趣，引入课题
1、呈现情景，引入课题
两位学生去购买美术工具盒，两人就长方体形状工具盒和正方体形状工具盒哪个体积更大进行争论。（师：观察两个工具盒，我们能不能直接看出哪个工具盒的体积更大，哪个体积更小?
要准确比较出他们的大小，就要进行准确的计算，今天我们就来学习如何计算长方体和正方体的体积。）
【设计意图：借助情景进行观察、比较、猜想，激活学生已有的数学活动经验】
合作探究，学习新知
(一)学习长方体体积计算公式
1、
小组合作，实验探究
(1)
课件出示实验要求
①
以前后四人为一小组。
②
用小正方体摆出任意体积的长方体。
③
完成实验记录表。
④
并说说你是怎样算出小正方体个数的？
长
宽
高
小正方体数量/个
长方体体积/cm3
(2)
学生动手实验，老师巡视指导、拍下学生实验成品。
(3)
汇报交流。
根据拼出的长方体，说一说你的长方体的长、宽、高各有多少个小正方体？一共用了几个小正方体？长方体的体积是多少？（投影实验记录表，小组代表上台展示、汇报，师板书）
3、
观察归纳，推导公式。
(1)
学生观察板书数据，思考问题。
观察长方体的长、宽、高的小正方体个数和长方体所含的小正方体数量，想一想它们之间有什么关系？（指名回答）
(2)
推导长方体的体积计算公式
长方体的长是X厘米，有X个小正方体，宽是Y厘米，有Y个小正方体，高是Z厘米，有Z个小正方体，X乘Y求一层有XY个小正方体，再乘Z求这个长方体一共有XYZ个小正方体，也就是有XYZ个体积单位，这个长方体体积就是XYZcm3.所以长方体的体积公式=长x宽x高。用字母V表示体积，a表示长，b表示宽，h表示高，字母公式可以表示为V=abh。（生齐读公式）
【设计意图：通过小组合作，自主探究，让学生经历“动手操作→观察发现→推导概括”的过程，体验实验探究对学习新知的重要性和有效性】
4、
解决问题，再现问题
(1)
应用公式解决长方体体积问题，规范写法
师：知道长方体的体积计算公式，我们能求出长方体工具盒的体积吗？（师板书，生笔记并齐读计算过程）
(2)
回归情境，再现疑问
根据已求出的长方体工具盒的体积大小，回归情景问题：能否比较哪个工具盒更大一些？引出对正方体体积计算公式的学习；
师:求出长方体工具盒的体积，能不能判断长方体工具盒的体积大还是正方体工具盒的体积大?为什么?
【设计意图：应用公式解决问题，巩固对长方体的体积计算公式的掌握和理解，并借助情景引出下一学习环节，使学生的学习过程衔接流畅】
(二)学习正方体体积公式
1、
根据长方体和正方体的关系，推导正方体的体积计算公式
正方体是长、宽、高都相等的长方体，长、宽、高都相等，在正方体中用棱长表示，所以公式可以表示为：正方体的体积=棱长×棱长×棱长。字母V表示体积，a表示棱长，字母公式可以表示为V=a×a×a，三个a相乘，把3写在右上角，读作a的立方，所以V=a3。
2、
应用公式解决正方体的体积问题，规范写法
师：学习正方体的体积计算公式，我们一起计算正方体工具盒的体积吧！（师板书，生笔记并齐读计算过程）
【设计意图：利用长方体与正方体的特殊联系来推导正方体的体积计算公式，加深学生对公式的理解，并让学生了解新旧知识之间的联系。】
(三)解决问题，阶段小结
结合求出的长方体工具盒和正方体工具盒的体积大小，解决哪个工具盒体积更大的问题，指出解决问题的关键是利用长方体的体积计算公式和正方体的体积计算公式进行计算。
师：现在我们知道哪个工具盒体积更大吗?大家回想一下，我们解决这个问题用到了哪些公式？（指名回答）
三、巩固练习，加深理解。
课件出示与知识点对应的练习题，学生进行巩固练习；教师巡视，拍下学生答案，投影点评。
1、计算出下列图形的体积
2、一块棱长30厘米的小正方形冰块，它的体积是多少立方厘米？（练习七第9题）
3、建筑工地要挖一个长50m、宽30m、深50cm的长方体土坑，一共要挖出多少方土？（练习七第8题）
【设计意图：练习的设计从简单的公式应用到实际问题的解决，让学生进一步理解和掌握体积计算公式，体会生活中处处有数学。】
四、课堂小结，加深印象
师：这节课，我们学习了什么？你有什么收获?
五、布置作业，课后巩固
本节课所学知识为课本29－30页内容，大家课后仔细阅读，并根据所学知识完成课本填空。
【板书设计】
正板书
副板书
长方体和正方体的
体积计算公式
长
宽
高
小正方体数量
长方体体积
V=abh
V=a3
(数据)
(数据)
(数据)
(数据)
(数据)
=17×10×6
=103
(数据)
(数据)
(数据)
(数据)
(数据)
=1020（cm3）
=10×10×10
(数据)
(数据)
(数据)
(数据)
(数据)
=1000（cm3）
长方体的体积=长×宽×高
V=
abh
正方体的体积=棱长×棱长×棱长
V=
a×a×a
V=
a3
6dm
4cm
6dm
3cm
6dm
7cm
在工程上，1m3
的土、沙、石等均简称“1方”。《长方体和正方体的体积》教学设计
教学内容：?
教材第29～31页，第31页“做一做”的第1题，练习七的第7～9题。?
教学目标：?
1、使学生理解并掌握长方体和正方体体积的计算公式，能正确地运用公式进行计算及解决简单的实际问题。??
2、通过自主探索与合作交流，培养学生分析、比较、综合、归纳的能力，进一步发展学生的空间观念。??
3、通过计算与生活实际相关的题目，让学生感悟到数学来源于生活，应用于生活，增强学生学习数学的信心。?
教学重点：?
理解并掌握长方体和正方体的体积计算方法。?
教学难点：?
理解长方体体积计算公式的推导过程。
?教学准备：
多媒体、课件。?
教学过程：?
一、复习导入
1、课件出示：学生找出下列长方体的长、宽、高。
2、什么叫做物体的体积？
3、常用的体积单位有哪些？
4、导入：这节课我们就一起来研究长方体和正方体的体积计算方法。（板书：长方体和正方体的体积）。
二、探究新知
（一）长方体的体积
1、猜一猜怎样求出长方体的体积呢？
如果能切成大小相同的小正方体，就可以测量出来。
2、探究：
（1）课件出示四个由边长为1cm的小正方体组成的立体图形。
（2）学生观察，用数数的方法求出各个立体图形的面积。教师课件出示下表：
（3）学生活动，指名学生数出长方体的长宽高各是多少个小正方体，填入表中。
（4）学生观察表中数据，发现了什么？
?
（5）学生汇报：长方体的体积正好等于长×宽×高。
（6）教师总结：
长方体的体积=长×宽×高
正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
（7）
用字母表示长方体的体积
板书：
如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的体积计算公式用字母表示：V=?abh?
（8）用字母表示正方体的体积?
同样用字母V表示正方体的体积，用a表示它的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V=a．a．a=
那么a．a．a也可以写作“”，读作“a的立方”，表示3个a相乘。?
（二）长、正方体的体积
1、（出示31页图）?两个划线的面分别是长方体和正方体那个面？（我们又把它叫做底面）
长方体或正方体底面的面积叫做底面积。
2、长方体的底面积怎么算？（长×宽）在公式中是哪部分？长方体和正方体的体积还可以怎样计算那？（底面积×高或底面积×棱长）用一个公式表示它们的体积：底面积×高。如果用S表示底面积，体积公式怎么表示V=Sh
（这节课我们通过动手操作，观察交流探究出长方体和正方体的体积计算方法，下面我们就来比一比看谁这节课学到的知识最多）
三、随堂检测
1、计算下面图形的面积：
四、课堂小结
同学们，老师认为你们这节课都很棒，谁来说说自己的收获？以后计算长方体和正方体的体积时还要注意些什么呢？
五、作业
完成教材P32～P33练习题。
六、板书设计
长方体和正方体的体积
长方体的体积=长×宽×高
V=?abh
正方体的体积＝棱长×棱长×棱长
V=a·a·a=
长方体（或正方体）的体积=底面积×高
V=Sh
七、教学反思：
《长方体和正方体的体积》计算，是在理解了体积的概念和体积的单位以后教学的，上课前我做了大量的准备，课后认真反思有欣慰也有遗憾。
1、复习导入设计巧妙
开课复习了体积概念，常用的体积单位，再通过比较物体的大小得出观察不能判断体积的大小，引出新课《长方体和正方体体积的计算》，整个过程简洁明了，内容紧扣主题，为上好本节课开好了头。
2、小组合作，培养自主学习能力，发展了空间观念。
体积对学生来说是一个新概念，由认识平面图形到认识立体图形，是学生空间观念的一次重大的发展。然而此时，学生对立体的空间观念还很模糊，我注意到实物或教具的演示和学生的动手操作的作用，以发展学生的空间观念，培养学生自主学习能力，加深对长方体计算公式的理解。在教学时，让学生拿12个1立方厘米的小正方体，摆放出不同的长方体，并把排数，个数，层数的数据填入实验报告单，启发学生思考，根据记录这些数据，比较数据，再引导学生进一步思考，小正方体的个数，排数，层数与长方体的长、宽、高有关系。最后，得出长就是个数，宽就是排数，高就是层数，从而发现长方体体积的计算公式，并用字母表示。在教学完长方体的计算公式后，通过练习继续启发学生根据正方体与长方体的关系，联系长方体体积的计算公式，引导学生自己推导出正方体体积的计算公式。
3、在知识的生成，巩固应用阶段，我将新知的传授与练习题巧妙地结合在一起，体现了知识间的连贯性，学生在轻松愉悦的氛围中学到知识，使得教学内容一气呵成！
4、能联系实际生活，设计达标测评题
达标测评题有梯度，遵循由易到难的规律，抢答是简单的体积计算，通过抢答激活了课堂，接着是考查学生的应变能力，判断能力，再接着走进生活，解决生活中的数学问题，计算零件的体积，升旗台的体积，最后出示拓展延伸题为优生提供了创新的机会，通过一系列的练习，使学生的知识得到了内化，升华，达到了教学的目的。
5、课堂虽然是经过精心设计的，但是还不够严谨，比如课堂用语的简练性、学具教具的充分利用、学生上台操作机会、评价方法的多样性等各方面还有待学习改进。五年级数学下册《长方体和正方体的体积》教学设计
教学目标：
1、通过摆长方体，观察发现长方体的体积计算公式，并迁移掌握正方体的体积计算公式，能正确运用公式进行计算。
2、进一步培养观察、分析、探索、归纳的能力，发展空间观念，渗透事物相互联系的辩证思想。
教学重点：
掌握长方体、正方体的体积计算公式，并能正确计算。
教学难点：
理解长方体、正方体体积公式的推导过程。
课前准备：
棱长是1厘米的小正方体若干个、正方体教具一个、长方体盒子一个。
教学过程：
复习导入
同学们，我们已经知道了什么是物体的体积，以及3个体积单位。大家看！下面两个长方体是用棱长1厘米的小正方体拼成的，你能说出它们的体积各是多少吗？你怎样知道这个长方体的体积呢？（课件出示由体积是1立方厘米小正方体组合成的几何体图片）
预设生1：图1的体积是9立方厘米。因为每个小正方体的体积是1立方厘米，9个小正方体就是9立方厘米。
预设生2：图2的体积是9立方厘米。因为每个小正方体的体积是1立方厘米，9个小正方体就是9立方厘米。
师总结：是的，图形里有多少个体积单位，体积就是多少。
师：这个长方体的体积你能知道吗？（出示长方体盒子）请大家大胆猜一猜，长方体的体积可能跟它的什么有关？（板书：长宽高）这个猜想是否正确呢？这节课就来研究长方体和正方体的体积（师板书，生读题）。
探究长方体体积
小组活动（每6人分为一个小组）：
师：每小组用一些体积为1立方厘米的小正方体摆成不同的长方体。组内交流你们是怎样摆的？同时完成实验记录单（给学生充足的活动时间）。
（2）全班汇报交流：咱们来交流实验结果，参照实验记录单中的内容，将不同的结果填入表格。（每组选取一名学生）
长
宽
高
小正方体的数量
长方体的体积
师：观察上表，你发现了什么？
（让学生多说）
（3）师：同学们，通过大家的交流，我们知道了长方体的体积确实跟长宽高有关.
课件出示：长方体的体积=长×宽×高
（4）板书公式：现在请大家大声地告诉我
长方体的体积＝
（课件出示）如果用字母v表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高，那么长方体的体积计算公式可以写成：
v=
（5）师：现在这个长方体的体积能求了吗？（出示长方体实物盒子）
预设生：只要量出它们的长宽高，再相乘。
师：现在告诉你长宽高，（课件出示例题一）咱们一起来计算。结合例一（1）强调在解题过程中，我们要格式规范。先写体积公式，再用代入法求出体积，最后写上体积单位。再连起来读一遍。
三、推导正方体体积
（1）出示正方体实物。
师问：正方体的体积该怎么求呢？
生：正方体是特殊的长方体，也可以说正方体是长、宽高、相等的长方体。所以正方体的体积=棱长×棱长×棱长。
（2）师：（课件出示）如果棱长用a表示，谁来说说它的字母公式。
生：v=a×a×a
v=a3
师：a3表示什么？23呢？
师：刚才同学们根据长方体的体积公式自己推导出正方体的体积公式，现在让我们再来读一读正方体的体积公式。
（3）（课件出示）如果a=6dm，它的体积是多少？请同学们做在课本例题上。
集体评价，错的同学请订正。自己再把这个解题过程轻轻地读一遍。
五、练习下面老师要来考考大家：
（１）做一做：P31
先独立完成。
第一题：反馈错例，错在哪里？
课堂小结
通过今天的学习，你有什么收获？有什么需要提醒大家的？还有什么疑问？
板书设计：
长方体和正方体的体积
长方体的体积＝
长
×
宽
×
高
V=abh
正方体的体积＝
棱长
×
棱长
×
棱长
V=a·a·a=a3教学内容：
九年义务教育六年制小学数学第十册第二单元第三节《长方体和正方体的体积》。
?
教学目标：（1）知识目标
?1、理解并掌握长方体和正方体体积的计算方法。
?
?2、能运用长、正方体的体积计算公式，正确进行简单的体积计算。
?
（2）能力目标
?1、通过动手操作，找出规律，总结出体积公式，培养学生分析、比较、综合的能力以及归纳推理、抽象概括的能力。
?2、进一步培养学生培养学生动手操作能力和空间想象能力。
?3、培养学生运用所学知识解决实际问题的能力。
?（3）情感目标
?
?1、结合教学内容向学生渗透辨证唯物主义观点。
?2、使学生感悟数学知识内在联系的逻辑之美。
?
教学重点：指导学生探究长方体和正方体的体积形成过程。
?
教学难点：理解公式的意义。
?
教具、学具准备：课件，每个小组3个不同的长方体木块，1cm3的正方体若干个。
?
一、谈话导入
?
1、复习长方体和正方体的表面积计算公式。
?
师：同学们还记得长方体和正方体的表面积怎么求吗？
?
生回答
?
师：长方体的表面积跟长方体的什么有关？正方体的呢？这个单元我们认识了体积，什么叫体积？
?
生回答后完成下边练习。
?2、练习（课本第40页“做一做”的第2题）。
?
小黑板出示
?
师：你是怎么知道它们的体积的？
?
?
?
生：通过数正方体的个数知道的。
?
师：这两个长方体是用体积为1cm3的小正方体摆成的，我们只要数一数一共有几个这样的小正方体就知道它们的体积了。
?
出示一个长方体模型。
?
师：该怎样才能知道这个长方体的体积是多少呢？怎么知道一间房的体积呢？
?
生说自己的方法。
?
生1：把它切成一些小正方体。
?
生2：先测量，再计算。
?
师：是呀！前面我们学的平面图形，如长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形求面积都有自己的计算公式，那这个单元我们学的长方体、正方体这样的立体图形会不会也有自己的体积计算公式呢？今天我们就要来研究“长方体和正方体的体积”（板书课题）。
?
二、探究新知
?
师：我们说正方体是特殊的长方体，如果长方体的体积我们会求了，那正方体的也就容易推导出来了，所以我们先来研究长方体的体积。
?
（一）长方体的体积
?
1、大胆猜想
?
师：
很多数学家在研究数学时都是从猜想开始的，今天我们也大胆猜想一下长方体的体积会跟长方体的什么有关？
?
生猜测。
?
师：你们敢大胆猜测已经离数学家更近一步了，你们猜测的对不对呢？我们可以动手做实验来验证。
?
2、观察验证
?
师：老师这里有24个小正方体，假设它们都是棱长为1cm的小正方体，把它们摆成不同形状的长方体，可以怎么摆？谁来摆？
?请生1摆。
?
师：观察生
1摆的长方体的长、宽、高各是多少？小正方体的数量是？长方体的体积？把这些数据填在下边的表格中。
?
?长cm?宽cm?高cm?小正方体的个数长方体的体积cm
3长方体①
长方体②
?
?
?
?长方体③
?
?
?长方体④
?
?
?
?
?
?
师：还可以怎么摆？每个小组也都有24个棱长为1cm的小正方体，小组合作动手摆一摆，进行观察，把观察到的数据填入表格中。
?
?小组活动，并请小组汇报情况。
?
师：观察表中的数据，你有什么发现？
?
生1：长方体的体积与长方体的长、宽、高有关系。
?
生2：长方体的长×宽×高的积正好等于所用小方块的个数。
?生3：长方体的体积正好等于长×宽×高的积。
?
3、归纳结论
?
师：同学们观察非常的仔细，总结的也很准确，通过我们大胆猜想观察验证得出长方体的体积计算公式：长方体的体积=长×宽×高
?
师：我们归纳的公式具不具有应用广泛性呢？再回头看看第40页“做一做”的第二题用我们的体积计算公式去算一下和我们刚才通过数小正方体的个数得出的结果一样吗？
?
生计算后得出肯定的结论。
?
介绍用字母表示：V=abh?
4、巩固应用
?
教学课本第42页例1。
?
请一名学生上台板演，全班评价。
?
（二）正方体的体积
?
1、迁移
?
师：刚才我们已经说了，如果长方体的体积我们会求了，正方体的体积也就能推理出来了，
现在请同学们根据长方体和正方体的关系，
想一想正方体的体积
怎样计算？
