人教版九年级下册数学 28.2.1解直角三角形 同步习题（Word版 含解析）

28.2.1解直角三角形
同步习题
一．选择题
1．如图，A，B，C是3×1的正方形网格中的三个格点，则tanB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
2．在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，则AB边的长是（　　）
A．7sin40°
B．7cos40°
C．
D．
3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，若CD＝5，AC＝8，则tanA＝（　　）
A．
B．
C．
D．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，sin∠B＝，则BC＝（　　）
A．15
B．6
C．9
D．8
5．如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，AD＝2，∠B＝30°，S△ABC＝10，则tanC的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
6．在△ABC中，CD是AB边上的高，且CD＝5，tanA＝，sinB＝，则a，b，c三边的长分别是（　　）
A．
B．
C．
D．
7．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B和∠C的对边，则△ABC的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，连接BD，若cos∠BDC＝，则BC的长是（　　）
A．4cm
B．6cm
C．8cm
D．10cm
9．如图，已知A，B两点的坐标分别为（8，0），（0，8），点C，F分别是直线x＝﹣5和x轴上的动点，CF＝10，点D是线段CF的中点，连接AD交y轴于点E，当△ABE面积取得最小值时，sin∠BAD的值是（　　）
A．
B．
C．
D．
10．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图．在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为（　　）
A．+1
B．﹣1
C．
D．
二．填空题
11．在△ABC中，∠B＝30°，AB＝8，AC＝2，则BC的长为　
　．
12．在△ABC中，AB＝4，AC＝2，tanB＝，则BC的长为　
　．
13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝7，∠B＝60°，点D在边BC上，CD＝3，连接AD．如果将△ACD沿直线AD翻折后，点C的对应点为点E，那么点E到直线BD的距离为　
　．
14．如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE．若BC＝12，S△BCE＝24，则tanC＝　
　．
15．如图，sin∠O＝，长度为2的线段DE在射线OB上滑动，点C在射线OA上，且OC＝5，△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，过点F作FG⊥DE，垂足为G，则FG的最大值为　
　．
三．解答题（共3小题）
16．如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝，tanB＝2，点D为边BC延长线上一点，CD＝BC，联结AD．求∠D的正切值．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，BC＝18，AD＝6．
（1）求sinB的值；
（2）点E在AB上，且BE＝2AE，过E作EF⊥BC，垂足为点F，求DE的长．
18．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，D、E分别是AB、BC边上的中点，AE与CD相交于点G．
（1）求CG的长；
（2）求tan∠BAE的值．
参考答案
一．选择题
1．解：如图所示，在Rt△ABD中，
tanB＝＝．
故选：A．
2．解：∵在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，BC＝7，
∴sinA＝，
∴AB＝＝．
故选：C．
3．解：∵∠ACB＝90°，D是AB的中点，CD＝5，
∴AB＝2CD＝10，
∵AC＝8，AB＝10，
∴BC＝＝6，
∴tanA＝＝＝．
故选：C．
4．解：∵sinB＝＝，
∴AC＝AB×＝6，
∴直角△ABC中，BC＝＝＝8．
故选：D．
5．解：∵在△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝2，∠B＝30°，
∴BD＝＝＝6．
∵S△ABC＝BC?AD＝10，
∴BC?2＝10，
∴BC＝10，
∴CD＝BC﹣BD＝10﹣6＝4，
∴tanC＝＝＝．
故选：D．
6．解：如图，在Rt△ACD中，∵tanA＝＝，CD＝5，
∴AD＝6，AC＝＝，
在Rt△CDB中，sinB＝＝，CD＝5，
∴BC＝13，BD＝＝12，
∴a＝BC＝13，b＝AC＝，c＝AB＝6+12＝18，
故选：B．
7．解：过点A作b边上的高AD，
则Rt△ACD中，
AD＝AC?sinC＝bsinC，
△ABC的面积等于absinC．
故选：C．
8．解：∵∠C＝90°，AC＝8cm，AB的垂直平分线MN交AC于D，
∴BD＝AD，
∴CD+BD＝8，
∵cos∠BDC＝＝，
∴＝，
解得：CD＝3，BD＝5，
∴BC＝4．
故选：A．
9．解：如图，设直线x＝﹣5交x轴于K．由题意KD＝CF＝5，
∴点D的运动轨迹是以K为圆心，5为半径的圆，
∴当直线AD与⊙K相切时，△ABE的面积最小，
∵AD是切线，点D是切点，
∴AD⊥KD，
∵AK＝13，DK＝5，
∴AD＝12，
∵tan∠EAO＝＝，
∴＝，
∴OE＝，
∴AE＝＝，
作EH⊥AB于H．
∵S△ABE＝?AB?EH＝S△AOB﹣S△AOE，
∴EH＝，
∴sin∠BAD＝＝＝．
故选：D．
10．解：在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝45°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝22.5°，
设AC＝BC＝1，则AB＝BD＝，
∴tan22.5°＝＝＝﹣1，
故选：B．
二．填空题
11．解：如图1，过点A作AD⊥BC于点D，
∵∠B＝30°，AB＝8，
∴AD＝AB＝3，BD＝AB?cos30°＝6×＝4．
在Rt△ACD中，∵AD＝4，AC＝2，
∴DC＝＝＝2，
∴BC＝BD+DC＝4+2＝6．
如图2，同理可得，
AD＝4，BD＝4，CD＝2，
∴BC＝BD﹣DC＝4﹣2＝2．
综上所述，BC的长为6或2．
12．解：当∠ACB为锐角时，如下图所示，
过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tanB＝，
设AD＝x，则BD＝2x，则AB＝＝x＝4，解得x＝4，
故AD＝4，BD＝8，
在Rt△ACD中，CD＝＝＝2，
故BC＝BD+CD＝8+2＝10；
当∠ACB为钝角时，
同理可得BC＝8﹣2＝6，
故答案为10或6．
13．解：如图，过点E作EH⊥BC于H．
∵BC＝7，CD＝3，
∴BD＝BC﹣CD＝4，
∵AB＝4＝BD，∠B＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴∠ADB＝60°，
∴∠ADC＝∠ADE＝120°，
∴∠EDH＝60°，
∵EH⊥BC，
∴∠EHD＝90°，
∵DE＝DC＝3，
∴EH＝DE?sin60°＝，
∴E到直线BD的距离为，
故答案为．
14．解：∵DE垂直平分线段BC，
∴BD＝DC＝6，
∵S△EBC＝×BC×DE＝24，
∴DE＝4，
∴tanC＝＝＝，
故答案为．
15．解：如图1中，连接CF，过点F作FM⊥CD于M，FN⊥EC于N，过点C作CH⊥OE于H．
∵△CDE的两个内角的角平分线相交于点F，FG⊥DE，FM⊥CD，FN⊥EC，
∴FG＝FM＝FN，
在Rt△OCH中，∵∠CHO＝90°，OC＝5，
∴sinO＝＝，
∴CH＝3，
∴S△DEC＝?DE?CH＝?EC?FN+?CD?FM+?DE?FG，
∴FG?（2+EC+CD）＝6，
∴当EC+CD的值最小时，FG的值最大，
如图2中，过点C作CK∥DE，使得CK＝DE＝2，作点K关于直线OB的对称点J，连接CJ交OB于E，连接EJ交OB于T，截取ED＝CD，此时CE+CD的值最小，最小值＝CJ的长．
由图1可知KT＝TJ＝3，
在Rt△JKC中，∵∠JKC＝90°，CK＝2，JK＝6，
∴CJ＝＝＝2，
∴CE+CD的最小值＝2，
∴FG的最大值＝＝．
故答案为：．
三．解答题（共3小题）
16．解：过点A作AH⊥BC于H，
∵
∴在Rt△ABH中
AB2＝AH2+BH2
解得BH＝2，
则AH＝4，
∵AB＝AC，AH⊥BC
∴HC＝BH＝2
∴CD＝BC＝2BH＝4
∴HD＝HC+CD＝6
17．解：（1）∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝18，
∴BD＝DC＝BC＝9，
∴AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝；
（2）∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥AD，
∴＝＝＝，
∴EF＝AD＝×6＝4，BF＝BD＝×9＝6，
∴DF＝BD﹣BF＝9﹣6＝3，
在Rt△DEF中，DE＝＝＝5．
18．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝12，cosB＝，
∴，
∵D是斜边AB上的中点，
∴，
又∵点E是BC边上的中点，
∴点G是△ABC的重心，
∴；
（2）∵点E是BC边上的中点，
∴，
过点E作EF⊥AB，垂足为F，
∵在Rt△BEF中，cosB＝，
BF＝BE?cosB＝，
∴，
∵AF＝AB﹣BF＝18﹣4＝14，
∴tan∠BAE＝．