青岛版九年级数学上册课件：3.1圆的对称性（共19张PPT）

(共19张PPT)
3.1
圆的对称性
---垂径定理
学习目标：
理解圆的轴对称性及其相关性质；
理解垂径定理；
会运用垂径定理解决有关问题。
重点、难点：
垂径定理及其应用。
预习案的交流与展示：
知识准备：
什么是轴对称图形？我们曾经学过哪些轴对称图形？
如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫轴对称图形。如线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形等。
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).
●O
经过圆心的弦叫做直径(如直径AC).
AB
⌒
以A,B两点为端点的弧.记作
,读作“弧AB”.
AB
⌒
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作
(用两个字母).
⌒
ADB
大于半圆的弧叫做优弧,如记作
(用三个字母).
A
B
C
D
圆的相关概念
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1、圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
你是用什么方法找到对称轴的?
自主学习：
圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过
圆心的直线,它有无数条对称轴.
利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
2、按下面的步骤做一做：
1）拿出一张圆形纸片，把这个圆对折，
使圆的两半部分重合．
2）得到一条折痕CD．
3）在⊙O上任取一点A，过点A作CD折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足．
4）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B，如上图．
在上述的操作过程中，你发现了哪些相等
的线段和相等的弧？
它们为什么相等呢？
自主学习：
如图,小明的理由是:
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
∵OA=OB，OM=OM，
∴Rt△OAM≌Rt△OBM.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴
AC
=
BC,
⌒
⌒
　
AD
=
BD.
自主学习：
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
连接OA,OB,
●O
A
B
C
D
M└
则OA=OB.
∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称.
∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B重合,
⌒
⌒
AC和BC重合,
⌒
⌒
AD和BD重合.
⌒
⌒
∴
AC
=
BC,
⌒
⌒
　
AD
=
BD.
∵CD⊥AB于M
证明：
自主学习：
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？
探究一：垂径定理的三种语言
定理
垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.
●O
A
B
C
D
M└
CD⊥AB,
∵
CD是直径,
∴
AM=BM,
⌒
⌒
AC
=
BC,
⌒
⌒
AD
=
BD.
条件
①一条直径
②垂直于弦
③直径平分弦
④平分弦所对的劣弧
结论
⑤平分弦所对的优弧
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？
同步训练：
探究二：垂径定理的应用
例１：如图，以△OAB的顶点O为圆心的⊙O交AB于点C、D，且AC=BD。
求证：OA＝OB。
例2：如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
E
.
A
B
O
探究二：垂径定理的应用
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中
，点o是
的圆
心)，其中CD=600m,E为
上一点，且OE⊥CD
，垂足为F，EF=90m,求这段弯路的半径。
C
D
E
F
O
CD
⌒
CD
⌒
CD
⌒
实际应用
挑战自我：
如图，P为⊙O内一点，你能用尺规作⊙O的一
条弦AB，使点P恰为AB的中点吗？
说明你的理由。
你说、我说、大家说：
A、AC=AD
B、BC=BD
C、AM=OM
D、CM=DM
⌒
⌒
⌒
⌒
1.在⊙O中，若CD
⊥AB于M，AB为直径，则下列结论不正确的是（
）
2.已知⊙O的直径AB=10，弦CD
⊥AB，垂足为M，OM=3，则CD=
.
3.在⊙O中，CD
⊥AB于M，AB为直径，若CD=10，AM=1，则⊙O的半径是
.
C
8
13
●O
C
D
A
B
M└
当堂达标：
赵州石拱桥
1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).
船能过拱桥吗
如图,某地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
课后提升：