第19周
第三章
圆（二）
（内容：§3.1
—§3.5）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019春?巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（ ）
A．等于6cm
B．等于12cm
C．小于6cm
D．大于12cm
【解析】解：根据点和圆的位置关系，得OP＝6，再根据线段的中点的概念，得OA＝2OP＝12．
故选：B．
2．（2019春?高密市期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（ ）
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
【解析】解：以AB为直径的半圆的长是：π?AB；
设四个小半圆的直径分别是a，b，c，d，则a+b+c+d＝AB．
则老鼠行走的路径长是：aπbπcπdπ（a+b+c+d）π?AB．
故猫和老鼠行走的路径长相同．
故选：C．
3．（2020?拱墅区二模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．无法判断
【解析】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，
∴4＜5，
∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，
故选：A．
4．（2020?桥东区模拟）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
【解析】解：作直径CF，连结BF，如图，
则∠FBC＝90°，
∵∠BAC+∠EAD＝180°，
而∠BAC+∠BAF＝180°，
∴∠DAE＝∠BAF，
∴，
∴DE＝BF＝6，
∴BC8．
故选：A．
5．（2020?孝感期末）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A．52°
B．57°
C．66°
D．78°
【解析】解：∵，∠COD＝38°，
∴∠BOC＝∠EOD＝∠COD＝38°，
∴∠AOE＝180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC＝66°．
又∵OA＝OE，
∴∠AEO＝∠OAE，
∴∠AEO（180°﹣66°）＝57°．
故选：B．
6．（2019秋?滦南县期末）如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（ ）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
【解析】解：如图，
连接OA，
∵⊙O的直径CD＝12cm，
∴OD＝OA＝OC＝6，
∵OE：OC＝1：3，
∴OE＝2，
∵AB⊥CD，
∴AB＝2AE，∠OEA＝90°，
在Rt△OAE中，AE4，
∴AB＝2AE＝8cm．
故选：D．
7．（2020?长葛市一模）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．65°
D．70°
【解析】
解：连接OD，
∵∠DAB＝25°，∴∠BOD＝2∠DAB＝50°，∴∠COD＝90°﹣50°＝40°，
∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC（180°﹣∠COD）＝70°，
故选：D．
8．（2020?东莞市校级二模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48°
B．96°
C．114°
D．132°
【解析】解：∵AD∥BC，
∴∠B＝180°﹣∠DAB＝132°，
∵四边形ABCD内接于圆O，
∴∠D＝180°﹣∠B＝48°，
由圆周角定理得，∠AOC＝2∠D＝96°，
故选：B．
9．（2020?浙江自主招生）如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．
【解析】解：∵AD，BE，CF为△ABC的三条高，易知B，C，E，F四点共圆
∴△AEF∽△ABC
∴，即cos∠BAC
∴sin∠BAC
∴在Rt△ABE中，BE＝AB?sin∠BAC＝6．
故选：D．
10．（2020?浙江自主招生）图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：∵AB，CD为两等圆的公切线，
∴四边形ABCD为矩形，BC＝2，
设中间一块阴影的面积为S，
∵中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，
∴BC?AB﹣（S半圆AD+S半圆BC﹣S）＝S，即2AB﹣π?12+S＝S，
∴AB．
如图，EF为公共弦，PO⊥EF，
OPAB，
∴EP，
∴EF＝2EP．
故选：D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2020?越秀区校级期中）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为 60° ．
【解析】解：如图，
∵AB＝OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
故答案为60°．
12．（2020?淮安校级期中）到点P的距离等于6厘米的点的集合是 以P为圆心，以6cm为半径的圆 ．
【解析】解：到点P的距离等于6cm的点的集合是以P为圆心，以6cm为半径的圆．
故答案为：以P为圆心，以6cm为半径的圆．
13．（2019秋?南宁期末）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为 m．
【解析】解：∵M是⊙O弦CD的中点，
根据垂径定理：EM⊥CD，
又CD＝4则有：CMCD＝2m，
设圆的半径是x米，
在Rt△COM中，有OC2＝CM2+OM2，
即：x2＝22+（6﹣x）2，
解得：x，
所以圆的半径长是m．
故答案为：．
14．（2020?随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝ 60 度．
【解析】解：如图，连接OA，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝20°，
∴∠OAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴∠B＝∠OAB＝60°，
故答案为：60．
15．（2020?罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长 51.81 m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）
【解析】解：4÷2＝2（cm），
7÷2＝3.5（cm），
胶带的体积是：π（3.52﹣22）?1＝8.25πcm3＝8.25π×10﹣6（m3），
一米长的胶带的体积是：0.01×1×5×10﹣5＝5×10﹣7（m3），
因而胶带长是：（8.25π×10﹣6）÷（5×10﹣7）≈51.81（m）．
故答案为：51.81．
三．解答题（共55分）
16．（每小题6分?共12分）
（1）（2019秋?鼓楼区校级期中）已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．
【解析】解：∵弦AB＝CD（已知），
∴；
∴∠AOB＝∠COD，
∴∠AOB﹣∠BOC＝∠COD﹣∠BOC，
即∠AOC＝∠BOD．
（2）（2020?溧水区期末）如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
【解析】证明：连接OA、OB，
∵OA＝OB，
∴∠A＝∠B，
∵，
∴∠AOC＝∠BOD，
在△AOC和△BOD中，
，
∴△AOC≌△BOD，
∴AC＝BD．
17．（每小题8分?共16分）
（1）（2020?台安县一模）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
【解析】解：（1）如图1，设∠BDC＝α，∠DAC＝β，
则∠CAB＝∠BDC＝α，
∵点C为弧ABD中点，
∴，
∴∠ADC＝∠DAC＝β，
∴∠DAB＝β﹣α，
连接AD，
∵AB为⊙O直径，
∴∠ADB＝90°，
∴α+β＝90°，
∴β＝90°﹣α，
∴∠ABD＝90°﹣∠DAB＝90°﹣（β﹣α），
∴∠ABD＝2α，
∴∠ABD＝2∠BDC；
（2）∵CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAB＝∠ADC+∠BDC＝90°，
∵∠CAB＝∠CDB，
∴∠ACE＝∠ADC，
∵∠CAE＝∠ADC，
∴∠ACE＝∠CAE，
∴AE＝CE；
（3）如图2，连接OC，
∴∠COB＝2∠CAB，
∵∠ABD＝2∠BDC，∠BDC＝∠CAB，
∴∠COB＝∠ABD，
∵∠OHC＝∠ADB＝90°，
∴△OCH∽△ABD，
∴，
∵OH＝5，
∴BD＝10，
∴AB26，
∴AO＝13，
∴AH＝18，
∵△AHE∽△ADB，
∴，即，
∴AE，
∴DE．
（2）（2019秋?商州区校级期末）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
【解析】解：由题意得出：OC⊥AB于点D，
由垂径定理知，点D为AB的中点，AB＝2AD，
∵直径是52cm，
∴OB＝26cm，
∴OD＝OC﹣CD＝26﹣16＝10（cm），
由勾股定理知，
BD24（cm），
∴AB＝48cm．
18．（8分）（2020?资中县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD，AE＝2，求⊙O的半径．
【解析】（1）证明：如图．
∵OC＝OB，
∴∠BCO＝∠B．
∵∠B＝∠D，
∴∠BCO＝∠D；
（2）∵AB是⊙O的直径，且CD⊥AB于点E，
∴CECD42，
在Rt△OCE中，OC2＝CE2+OE2，
设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣AE＝r﹣2，
∴r2＝（2）2+（r﹣2）2，
解得：r＝3，
∴⊙O的半径为3．
19．（9分）（2020?武汉模拟）已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
【解析】证明：∵A，B，C，D是⊙O上的四点，
∴∠A＝∠BCE，
∵BC＝BE，
∴∠E＝∠BCE，
∴∠A＝∠E，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形．
20．（10分）（2019秋?新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 （2，0） ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【解析】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．
故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM2．
线段MD2，
所以点D在⊙M内．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2019秋?汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 2 ．
【解析】解：作OH⊥CD于H，连结OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OHOP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2
22．（2020?浙江自主招生）如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于 4 ．
【解析】解：作OG⊥EF于G，连接OE，
根据垂径定理，可设EG＝FG＝x，则PE＝x+PG，PF＝x﹣PG，
又∵PE2+PF2＝8，
∴（x+PG）2+（x﹣PG）2＝8，
整理得2x2+2PG2＝8，x2+PG2＝4，
∵交角为45°，
∴OG＝PG，
∴OE2＝OG2+EG2＝4，
即圆的半径是2，
∴直径是4．
23．（2020?建邺区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝ 80° ．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC+∠ABC＝180°，∠ECD＝∠A＝50°，∠BCF＝∠A＝50°，
∴∠EDC+∠FBC＝180°，
∴∠E+∠F＝360°﹣180°﹣50°﹣50°＝80°，
故答案为：80°．
24．（2020?连云区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为 7 ．
【解析】解：作AB的中点E，连接EM、CE．
在直角△ABC中，AB10，
∵E是直角△ABC斜边AB上的中点，
∴CEAB＝5．
∵M是BD的中点，E是AB的中点，
∴MEAD＝2．
∵5﹣2≤CM≤5+2，即3≤CM≤7．
∴最大值为7，
故答案为：7．
25．（2020?宁夏）如图，点
A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为 5 ．
【解析】解：如图，分别作AB、BC的中垂线，两直线的交点为O，
以O为圆心、OA为半径作圆，则⊙O即为过A，B，C三点的外接圆，
由图可知，⊙O还经过点D、E、F、G、H这5个格点，
故答案为：5．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2020?徐汇区校级自主招生）已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
【解析】解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB，MD，所以MB＝MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．
（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，
∵AC＝4，∴BM＝2，
∴BE＝1，EM，MD＝2，
从而可知
BD2
∴BN．
由Rt△BMN可得：
MN．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MDAC，MBAC，
∴MD＝MB，
∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，
∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝30°，
∴∠BDM75°，
∵∠MDA＝45°
∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，
令ED＝x，则BEx，AD＝2，AB＝2，
∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，
解得x，则BD＝2，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝2
DN．
由Rt△MND可得：
MN．
综上所述，MN或．
27．（10分）（2020?金华）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ l ；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ l ；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝ l ．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【解析】解：（2）l；
（3）l；
（4）l；；
每个小圆面积＝π（?a）2?，而大圆的面积＝π（?a）2πa2
即每个小圆的面积是大圆的面积的．
28．（12分）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．
（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长 L2aL ；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝ aL， ；
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝ aL ；
…
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝ aL ；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝ S．
【解析】解：（1）根据L＝πd，
①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2aL；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3aL，
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4aL；
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长LnaL．
（2）以a为直径的圆的面积为S1π．
把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2πS1；
把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3πS1；
把AB分成四条相等的线段，每个小圆的面积S4πS1；
把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积SnS1．第18周
第三章
圆（一）
（内容：§3.1
—§3.3）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020秋?兴化市月考）下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧
D．直径是圆中最长的弦
【解析】解：A、错误．弦不一定是直径．
B、错误．弧是圆上两点间的部分．
C、错误．优弧大于半圆．
D、正确．直径是圆中最长的弦．
故选：D．
2．（2020春?诸城市期末）下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
【解析】解：A、圆有无数条直径，故本选项说法正确；
B、连接圆上任意两点的线段叫弦，故本选项说法正确；
C、过圆心的弦是直径，故本选项说法错误；
D、能够重合的圆全等，则它们是等圆，故本选项说法正确；
故选：C．
3．（2020?北海模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
【解析】解：A、直径是弦，但弦不一定是直径，故错误；
B、半圆是弧，正确；
C、过圆心的弦是直径，故错误；
D、圆心相同半径不同的两个圆是同心圆，故错误，
故选：B．
4．（2019?通州区模拟）⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（ ）
A．a＞b
B．a≥b
C．a＜b
D．a≤b
【解析】解：直径是圆中最长的弦，因而有a≥b．
故选：B．
5．（2020秋?玄武区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65°
B．55°
C．60°
D．75°
【解析】解：∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠CAB＝25°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝65°，
∴∠ADC＝∠ABC＝65°．
故选：A．
6．（2019?安州区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
【解析】解：∵OD⊥BC，∠ABC＝30°，
∴在直角三角形OBE中，
∠BOE＝60°（直角三角形的两个锐角互余），即∠DOB＝60°．
又∵∠DCB∠DOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠DCB＝30°；
故选：A．
7．（2018?相山区四模）如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
【解析】解：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等，所对的弦的弦心距相等．
故选：D．
8．（2019秋?莫旗期末）如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．2
B．2
C．
D．
【解析】解：如图，连接OD，
∵CD⊥OC，
∴∠DCO＝90°，
∴CD，
当OC的值最小时，CD的值最大，
OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，
∴CD＝CBAB＝2，
即CD的最大值为2，
故选：B．
9．（2020?黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．2
【解析】解：连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OC＝3：5，
∴OC＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴AM8，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
10．（2019秋?苍溪县期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．6
【解析】解：∵OC⊥AB，OC过圆心O点，
∴BC＝ACAB16＝8，
在Rt△OCB中，由勾股定理得：OC6，
故选：D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2020?常熟市校级月考）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是 28° ．
【解析】解：由AB＝OC，得
AB＝OB，
∠A＝∠AOB．
由BO＝EO，得
∠BEO＝∠EBO．
由∠EBO是△ABO的外角，得
∠EBO＝∠A+∠AOB＝2∠A，
∠BEO＝∠EBO＝2∠A．
由∠DOE是△AOE的外角，得
∠A+∠AEO＝∠EOD，
即∠A+2∠A＝84°，
∠A＝28°．
故答案为：28°．
12．（2020?邗江区校级月考）到点O的距离等于8的点的集合是 以点O为圆心，以8为半径的圆 ．
【解析】解：到点O的距离等于8的点的集合是：以点O为圆心，以8为半径的圆．
故答案是：以点O为圆心，以8为半径的圆．
13．（2020?嘉祥县校级期末）已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为 10 cm．
【解析】解：∵⊙O的半径为5cm，
∴⊙O的直径为10cm，
即圆中最长的弦长为10cm．
故答案为10．
14．（2020?博罗县校级期中）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为 8 cm．
【解析】解：∵⊙O中最长的弦为16cm，即直径为16cm，
∴⊙O的半径为8cm．
故答案为：8．
15．（2019秋?澧县期末）如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝ 3 ．
【解析】解：∵在⊙O中，，
∴AC＝AB＝3，
故答案为：3
三．解答题（共55分）
16．（每小题3分?共12分）（2020?金华）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ l ；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ l ；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝ l ．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【解析】解：（2）l；
（3）l；
（4）l；；
每个小圆面积＝π（?a）2?，而大圆的面积＝π（?a）2πa2
即每个小圆的面积是大圆的面积的．
17．（每小题8分?共16分）
（1）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．
（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长 L2aL ；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝ aL， ；
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝ aL ；
…
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝ aL ；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝ S．
【解析】解：（1）根据L＝πd，
①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长L2aL；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3aL，
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4aL；
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长LnaL．
（2）以a为直径的圆的面积为S1π．
把AB分成两条相等的线段，每个小圆的面积S2πS1；
把AB分成三条相等的线段，每个小圆的面积S3πS1；
把AB分成四条相等的线段，每个小圆的面积S4πS1；
把AB分成n条相等的线段，每个小圆的面积SnS1．
（2）（2020?吉林）如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是SA，所有标注B的图形面积都是SB．
（1）求标注C的图形面积SC；
（2）求SA：SB．
【解析】解：（1）由题意得到圆M的半径为（6﹣4）÷2＝1，
则．（1分）
（2）
∴（3分）
∵
∴（5分）
∴
即SA：SB＝5：6（6分）
18．（8分）（2020秋?江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
【解析】证明：连接OC、OD，
∵AB是⊙O的直径，
∴AO＝BO，
∵M，N分别为AO、BO的中点，
∴OM＝ON，
∵CM⊥AB，DN⊥AB，
∴∠CMO＝∠DNO＝90°，
∴△OCM与△ODN都是直角三角形，
又∵OC＝OD，
∴△OCM≌△ODN（HL），
∴∠AOC＝∠BOD，
∴AC＝BD．
19．（9分）（2019秋?泗阳县期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？
【解析】解：AC与BD相等．
理由如下：∵AB＝DC，
∴弧AB＝弧CD，
∴弧AB+弧BC＝弧BC+弧CD，
即弧AC＝弧BD，
∴AC＝BD．
20．（10分）（2019秋?江夏区期中）如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
【解析】证明：∵AD＝BC，
∴，
∴，
即，
∴DC＝AB．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2019秋?奉化区期中）如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝ 40 °．
【解析】解：∵在⊙O中，，
∴，
∵∠AOB＝40°，
∴∠COD＝∠AOB＝40°．
故答案为：40．
22．（2020?双清区模拟）如图，⊙O中，已知弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，则∠AOC＝ 144 度．
【解析】解：∵弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，
∴弧ABC：弧AmC＝6：4，
∴∠AOC的度数为（360°÷10）×4＝144°．
23．（2020?香坊区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝ 5 ．AD＝ ．
【解析】解：过C作CF⊥AB于F，
在Rt△ACB中，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝5，
由三角形的面积公式得：SAC×BCAB×CF，
则CF，
在Rt△CFA中，由勾股定理得：AF，
∵CF⊥AD，CF过圆心C，
∴AD＝2AF，
故答案为：5，．
24．（2020?老河口市模拟）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是 17或7． ．
【解析】解：如图，作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，连OA，OC，OA＝OC＝13，
则AEAB＝12，CFCD＝5，
∵AB∥CD，
∴E、O、F三点共线，
在Rt△AOE中，OE5，
在Rt△OCF中，OF12，
当圆心O在弦AB与CD之间时，AB与CD的距离＝OF+OE＝12+5＝17；
当圆心O在弦AB与CD的外部时，AB与CD的距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7．
所以AB与CD的距离是17或7．
故答案为17或7．
25．（2020?武侯区模拟）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝ 26寸 ．
【解析】解：连接OA，如图所示，
设直径CD的长为2x寸，则半径OC＝x寸，
∵CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，AB＝10寸，
∴AE＝BEAB10＝5寸，
连接OA，则OA＝x寸，
根据勾股定理得x2＝52+（x﹣1）2，
解得x＝13，
CD＝2x＝2×13＝26（寸）．
故答案为：26寸．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2020?武汉模拟）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
【解析】解：作OP⊥CD于P，连接OD，
∴CP＝PD，
∵AE＝1，EB＝5，
∴AB＝6，
∴OE＝2，
在Rt△OPE中，OP＝OE?sin∠DEB，
∴PD，
∴CD＝2PD＝2（cm）．
27．（10分）（2020?硚口区模拟）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
【解析】证明：连OC，如图，
∵C是的中点，∠AOB＝l20°
∴∠AOC＝∠BOC＝60°，
又∵OA＝OC＝OB，
∴△OAC和△OBC都是等边三角形，
∴AC＝OA＝OB＝BC，
∴四边形OACB是菱形．
28．（12分）（2019秋?相山区期末）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．
【解析】解：这辆卡车能通过厂门．理由如下：
如图M，N为卡车的宽度，过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD＝MN＝1.6m，AB＝2m，
由作法得，CE＝DE＝0.8m，
又∵OC＝OA＝1m，
在Rt△OCE中，OE0.6（m），
∴CM＝2.3+0.6＝2.9m＞2.5m．
所以这辆卡车能通过厂门．第23周
第三章
圆（四
）
（内容：§3.1
—§3.9）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020?南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42°
B．28°
C．21°
D．20°
2．（2020?海安市一模）如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
3．（2019秋?金平区期末）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
4．（2020?仪征市一模）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．不能确定
5．（2020?路北区一模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，，∠B＝122°，则∠D＝（ ）
A．58°
B．116°
C．122°
D．128°
6．（2020?环江县一模）已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝62°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是（ ）
A．68°
B．72°
C．78°
D．82°
7．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
8．（2020?中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2020?北京模拟）如图，抛物线y1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
10．（2020?宁城县期末）下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2019?中原区校级模拟）某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备
cm内径的管道（内径指内部直径）．
12．（2020?余姚市校级模拟）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件
．
13．（2019秋?锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是
．
14．（2019秋?长白县期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝
．
15．（2020?枣阳市校级模拟）在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为
．
三．解答题（共55分）
16．（每小题6分?共12分）
（1）（2019秋?海安市期末）求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
（2）（2019秋?宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
17．（每小题8分?共16分）
（1）（2019秋?任城区期末）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．
（2）（2020?唐河县一模）如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为
时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为
．
18．（8分）（2020秋?江都区月考）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为
．
19．（9分）（2019?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
20．（10分）（2019秋?伊通县期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．
求证：∠OCF＝∠ECB．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2019秋?伊通县期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是
．
22．（2020?平遥县一模）如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝
．
23．（2020?辽阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是
cm．
24．（2020?下城区模拟）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为
．
25．（2020?邗江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为
．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2020秋?句容市月考）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
⊙D的半径＝
（结果保留根号）．点（7，0）在⊙D
；（填“上”、“内”、“外”）
③∠ADC的度数为
．
27．（10分）（2020?徐汇区校级自主招生）已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
28．（12分）（2019秋?新罗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．第22周
第三章
圆（三）
（内容：§3.1
—§3.7）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019秋?临西县期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧
B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径
D．直径是弦
2．（2020?江阴市期末）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
3．（2020?泗阳县期中）在同圆中，若AB＝2CD，则与2的大小关系是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．不能确定
4．（2020?蔡甸区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
5．（2020?梅列区一模）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝50°，则∠APB的度数为（ ）
A．100°
B．50°
C．40°
D．25°
6．（2019秋?定州市期末）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
7．（2020?厦门期末）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD
B．BE＝CD
C．AC＝BD
D．BE＝AD
8．（2020?武汉模拟）圆的直径为10cm，如果点P到圆心O的距离是d，则（ ）
A．当d＝8cm时，点P在⊙O内
B．当d＝10cm时，点P在⊙O上
C．当d＝5cm时，点P在⊙O上
D．当d＝6cm时，点P在⊙O内
9．（2019秋?官渡区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40°
B．140°
C．70°
D．80°
10．（2020?河北一模）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2020?松江区期末）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹是
．
12．（2020?湖州）请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的
个格点．
13．（2020?烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是
cm．
14．（2019秋?永吉县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为
．
15．（2019?东营二模）“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为
寸．
三．解答题（共55分）
16．（每小题6分?共12分）
（1）（2020?安徽模拟）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）
（2）（2020?芜湖一模）如图，AB是⊙O的直径，P、C是圆周上的点，，弦PC交AB于点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若OD＝DC，求∠A的度数．
17．（每小题8分?共16分）
（1）（2020?吉林）如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是SA，所有标注B的图形面积都是SB．
（1）求标注C的图形面积SC；
（2）求SA：SB．
（2）（2020?香洲区校级期中）如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB＝CD．
18．（8分）（2020?牡丹江）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．
19．（9分）（2019?赤峰一模）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
20．（10分）（2020?杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2020?惠州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝
°．
22．（2020秋?句容市月考）有一张矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是
．
23．（2020?栖霞区期中）如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为
°．
24．（2020?伊通县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是
．
25．（2019?河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝
°．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
27．（2020?金华）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝
；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝
；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝
．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的
．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
28．（2020?江都区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．第18周
第三章
圆（一）
（内容：§3.1
—§3.3）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020秋?兴化市月考）下列说法中正确的是（ ）
A．弦是直径
B．弧是半圆
C．半圆是圆中最长的弧
D．直径是圆中最长的弦
2．（2020春?诸城市期末）下列说法错误的是（ ）
A．圆有无数条直径
B．连接圆上任意两点之间的线段叫弦
C．过圆心的线段是直径
D．能够重合的圆叫做等圆
3．（2020?北海模拟）下列说法中，正确的是（ ）
A．弦是直径
B．半圆是弧
C．过圆心的线段是直径
D．圆心相同半径相同的两个圆是同心圆
4．（2019?通州区模拟）⊙O中，直径AB＝a，弦CD＝b，则a与b大小为（ ）
A．a＞b
B．a≥b
C．a＜b
D．a≤b
5．（2020秋?玄武区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是⊙O上的点，若∠CAB＝25°，则∠ADC的度数为（ ）
A．65°
B．55°
C．60°
D．75°
6．（2019?安州区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，BC是弦，∠ABC＝30°，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，则∠DCB的度数为（ ）度．
A．30
B．45
C．50
D．60
7．（2020?相山区四模）如果两个圆心角相等，那么（ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
8．（2019秋?莫旗期末）如图，在圆O中，弦AB＝4，点C在AB上移动，连接OC，过点C做CD⊥OC交圆O于点D，则CD的最大值为（ ）
A．2
B．2
C．
D．
9．（2020?黔东南州）如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OC＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8
B．12
C．16
D．2
10．（2019秋?苍溪县期末）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是（ ）
A．4
B．5
C．6
D．6
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2020?常熟市校级月考）如图，CD是⊙O的直径，∠EOD＝84°，AE交⊙O于点B，且AB＝OC，则∠A的度数是
．
12．（2020?邗江区校级月考）到点O的距离等于8的点的集合是
．
13．（2020?嘉祥县校级期末）已知⊙O的半径为5cm，则圆中最长的弦长为
cm．
14．（2020?博罗县校级期中）已知⊙O中最长的弦为16cm，则⊙O的半径为
cm．
15．（2019秋?澧县期末）如图，在⊙O中，，AB＝3，则AC＝
．
三．解答题（共55分）
16．（每小题3分?共12分）（每小题8分?共16分）（2000?金华）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝
；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝
；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝
．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的
．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
17．（每小题8分?共16分）
（1）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．
（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长
；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝
；
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝
；
…
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝
；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝
S．
（2）（2020?吉林）如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是SA，所有标注B的图形面积都是SB．
（1）求标注C的图形面积SC；
（2）求SA：SB．
18．（8分）（2020秋?江都区月考）已知，如图，AB是⊙O的直径，M，N分别为AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，垂足分别为M，N．
求证：AC＝BD．
19．（9分）（2019秋?泗阳县期中）如图，点A、B、C、D在⊙O上，AB＝DC，AC与BD相等吗？为什么？
20．（10分）（2019秋?江夏区期中）如图，在⊙O中，AD＝BC，求证：DC＝AB．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2019秋?奉化区期中）如图，在⊙O中，，若∠AOB＝40°，则∠COD＝
°．
22．（2020?双清区模拟）如图，⊙O中，已知弧AB＝弧BC，且弧AB：弧AmC＝3：4，则∠AOC＝
度．
23．（2020?香坊区模拟）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E，则AB＝
．AD＝
．
24．（2020?老河口市模拟）⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是
．
25．（2020?武侯区模拟）“圆材埋壁”是我国古代著名数学著作《九章算术》中的问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．（1尺＝10寸）则CD＝
．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2020?武汉模拟）⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，已知AE＝1cm，EB＝5cm，且∠DEB＝60°，求CD的长．
27．（10分）（2020?硚口区模拟）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧的中点，求证四边形OACB是菱形．
28．（12分）（2019秋?相山区期末）一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门（厂门上方为半圆形拱门）？说明你的理由．第22周
第三章
圆（三）
（内容：§3.1
—§3.7）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019秋?临西县期中）下列说法中，错误的是（ ）
A．半圆是弧
B．半径相等的圆是等圆
C．过圆心的线段是直径
D．直径是弦
【解析】解：A、半圆是弧，所以A选项的说法正确；
B、半径相等的圆是等圆，所以B选项的说法正确；
C、过圆心的弦为直径，所以C选项的说法错误；
D、直径是弦，所以D选项的说法正确．
故选：C．
2．（2020?江阴市期末）下列说法错误的是（ ）
A．直径是圆中最长的弦
B．长度相等的两条弧是等弧
C．面积相等的两个圆是等圆
D．半径相等的两个半圆是等弧
【解析】解：A、直径是圆中最长的弦，所以A选项的说法正确；
B、在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，所以B选项的说法错误；
C、面积相等的两个圆的半径相等，则它们是等圆，所以C选项的说法正确；
D、半径相等的两个半圆是等弧，所以D选项的说法正确．
故选：B．
3．（2020?泗阳县期中）在同圆中，若AB＝2CD，则与2的大小关系是（ ）
A．2
B．2
C．2
D．不能确定
【解析】解：如图所示，CD＝DE，AB＝2CD，
在△CDE中，
∵CD＝DE，
∴CE＜CD+DE，即CE＜2CD＝AB，
∴CE＜AB，
∴2．
故选：A．
4．（2020?蔡甸区模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为（ ）
A．10
B．8
C．6
D．4
【解析】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝16，
∴CE＝DECD＝8，
又∵ODAB＝10，
∵CD⊥AB，
∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE6，
则OE的长度为6，
故选：C．
5．（2020?梅列区一模）如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB＝50°，则∠APB的度数为（ ）
A．100°
B．50°
C．40°
D．25°
【解析】解：由圆周角定理知，∠P∠AOB＝25°，故选D．
6．（2019秋?定州市期末）在平面直角坐标系xOy中，以点（3，4）为圆心，4为半径的圆与y轴所在直线的位置关系是（ ）
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
【解析】解：依题意得：圆心到y轴的距离为：3＜半径4，
所以圆与y轴相交，
故选：C．
7．（2020?厦门期末）如图，已知A，B，C，D是圆上的点，弧AD＝弧BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是（ ）
A．AB＝AD
B．BE＝CD
C．AC＝BD
D．BE＝AD
【解析】解：
∵，
∴，
∴，
∴AC＝BD，
故选：C．
8．（2020?武汉模拟）圆的直径为10cm，如果点P到圆心O的距离是d，则（ ）
A．当d＝8cm时，点P在⊙O内
B．当d＝10cm时，点P在⊙O上
C．当d＝5cm时，点P在⊙O上
D．当d＝6cm时，点P在⊙O内
【解析】解：∵圆的直径为10cm，
∴圆的半径为5cm，
∴当d＞5cm时，点P在⊙O外；当d＝5cm时，点P在⊙O上；当d＜5cm时，点P在⊙O内．
故选：C．
9．（2019秋?官渡区期末）如图，PA、PB、分别切⊙O于A、B两点，∠P＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．40°
B．140°
C．70°
D．80°
【解析】解：∵PA是圆的切线．
∴∠OAP＝90°，
同理∠OBP＝90°，
根据四边形内角和定理可得：
∠AOB＝360°﹣∠OAP﹣∠OBP﹣∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣40°＝140°，
∴∠ACB∠AOB＝70°．
故选：C．
10．（2020?河北一模）《九章算术》是我国古代著名数学暮作，书中记载：“今有圆材，埋在壁中，不知大小以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用数学语言可表述为：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥DC于E，ED＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长．”则CD＝（ ）
A．13寸
B．20寸
C．26寸
D．28寸
【解析】解：连接OA，∵AB⊥CD，且AB＝10，
∴AE＝BE＝5，
设圆O的半径OA的长为x寸，则OC＝OD＝x寸，
∵DE＝1，
∴OE＝x﹣1，
在直角三角形AOE中，根据勾股定理得：
x2﹣（x﹣1）2＝52，化简得：x2﹣x2+2x﹣1＝25，
即2x＝26，
解得：x＝13
所以CD＝26（寸）．
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2020?松江区期末）到定点A的距离等于3cm的点的轨迹是 以A为圆心，以3cm为半径的圆 ．
【解析】解：到定点A的距离等于3cm的点的轨迹是：以A为圆心，以3cm为半径的圆．
故答案是：以A为圆心，以3cm为半径的圆．
12．（2020?湖州）请你在如图所示的12×12的网格图形中任意画一个圆，则所画的圆最多能经过169个格点中的 16 个格点．
【解析】解：以一个小正方形的中心为圆心．记圆心坐标为（0.5，0.5），取半径为，此圆经过（6，2），（5，4），（4，5），（2，6），（﹣1，6），（﹣3，5），（﹣4，4），（﹣5，2），（﹣5，﹣1），（﹣4，﹣3），（﹣3，﹣4），（﹣1，5），（2，﹣5），（4，﹣4），（5，﹣3），（6，﹣1），共16个格点．
故答案为：16
13．（2020?烟台）如图，在正方形纸片ABCD中，EF∥AD，M，N是线段EF的六等分点，若把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，此时，底面圆的直径为10cm，则圆柱上M，N两点间的距离是 5 cm．
【解析】解：根据题意得：EF＝AD＝BC，MN＝2EMEF，
把该正方形纸片卷成一个圆柱，使点A与点D重合，则线段EF形成一直径为10cm的圆，线段EF为圆上的一段弧．
所对的圆心角为：360°＝120°，
所以圆柱上M，N两点间的距离为：2×5×sin60°＝5cm．
故答案为：5．
14．（2020?永吉县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为 6 ．
【解析】解：如图所示，连接OD．
∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，
∴E为CD的中点，
又∵CD＝16，
∴CE＝DECD＝8，
又∵ODAB＝10，
∵CD⊥AB，
∴∠OED＝90°，
在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，
根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，
∴OE6，
则OE的长度为6．
15．（2019?东营二模）“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为 26 寸．
【解析】解：连接OA，设OA＝r，则OE＝r﹣CE＝r﹣1，
∵AB⊥CD，AB＝1尺，
∴AEAB＝5寸，
在Rt△OAE中，
OA2＝AE2+OE2，即r2＝52+（r﹣1）2，
解得r＝13（寸）．
∴CD＝2r＝26寸．
故答案为：26．
三．解答题（共55分）
16．（每小题6分?共12分）
（1）（2020?安徽模拟）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）
【解析】解：如图，连接OC，AB交CD于E，
由题意知：AB＝1.6+6.4+4＝12，
所以OC＝OB＝6，
OE＝OB﹣BE＝6﹣4＝2，
由题意可知：AB⊥CD，
∵AB过O，
∴CD＝2CE，
在Rt△OCE中，由勾股定理得：CE4，
∴CD＝2CE＝811.3m，
所以路面CD的宽度为11.3m．
（2）（2020?芜湖一模）如图，AB是⊙O的直径，P、C是圆周上的点，，弦PC交AB于点D．
（1）求证：∠A＝∠C；
（2）若OD＝DC，求∠A的度数．
【解析】（1）证明：如图，连接OP．
∵，
∴PA＝PC．
在△POA与△POC中，
．
∴△POA≌△POC（SSS）．
∴∠A＝∠C；
（2）设∠A＝∠C＝x°，则∠POB＝2∠A＝2x°．
∵OD＝DC，
∴∠DOC＝∠C＝x°．
在△POC中，x+3x+x＝180°
x＝36．
∴∠A＝36°．
17．（每小题8分?共16分）
（1）（2020?吉林）如图，圆心为点M的三个半圆的直径都在x轴上，所有标注A的图形面积都是SA，所有标注B的图形面积都是SB．
（1）求标注C的图形面积SC；
（2）求SA：SB．
【解析】解：（1）由题意得到圆M的半径为（6﹣4）÷2＝1，
则．（1分）
（2）
∴（3分）
∵
∴（5分）
∴
即SA：SB＝5：6（6分）
（2）（2020?香洲区校级期中）如图，已知AB、CD为⊙O的两条弦，，求证：AB＝CD．
【解析】解：∵，
∴，
即：，
∴AB＝CD．
18．（8分）（2020?牡丹江）如图，在⊙O中，，CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，求证：AD＝BE．
【解析】证明：连接OC，
∵，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∵AO＝BO，
∴AD＝BE．
19．（9分）（2019?赤峰一模）如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE＝2，EB＝6，∠DEB＝30°，求弦CD长．
【解析】解：过O作OF⊥CD，交CD于点F，连接OD，
∴F为CD的中点，即CF＝DF，
∵AE＝2，EB＝6，
∴AB＝AE+EB＝2+6＝8，
∴OA＝4，
∴OE＝OA﹣AE＝4﹣2＝2，
在Rt△OEF中，∠DEB＝30°，
∴OFOE＝1，
在Rt△ODF中，OF＝1，OD＝4，
根据勾股定理得：DF，
则CD＝2DF＝2．
20．（10分）（2020?杭州）如图1，⊙O的半径为r（r＞0），若点P′在射线OP上，满足OP′?OP＝r2，则称点P′是点P关于⊙O的“反演点”．
如图2，⊙O的半径为4，点B在⊙O上，∠BOA＝60°，OA＝8，若点A′，B′分别是点A，B关于⊙O的反演点，求A′B′的长．
【解析】解：设OA交⊙O于C，连结B′C，如图2，
∵OA′?OA＝42，
而r＝4，OA＝8，
∴OA′＝2，
∵OB′?OB＝42，
∴OB′＝4，即点B和B′重合，
∵∠BOA＝60°，OB＝OC，
∴△OBC为等边三角形，
而点A′为OC的中点，
∴B′A′⊥OC，
在Rt△OA′B′中，sin∠A′OB′，
∴A′B′＝4sin60°＝2．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2020?惠州一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，则∠BOD＝ 100 °．
【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°，
∴∠A＝50°，
∴∠BOD＝100°．
故答案为100°．
22．（2020秋?句容市月考）有一张矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，若以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围是 4cm＜r＜5cm ．
【解析】解：∵矩形的纸片，AB＝3cm，AD＝4cm，
∴AC＝5cm，
∴以A为圆心作圆，并且要使点D在⊙A内，而点C在⊙A外，⊙A的半径r的取值范围为4cm＜r＜5cm．
故答案为4cm＜r＜5cm．
23．（2020?栖霞区期中）如图，⊙O经过五边形OABCD的四个顶点，若∠AOD＝150°，∠A＝65°，∠D＝60°，则的度数为 40 °．
【解析】解：连接OB、OC，如图，
∵OA＝OB，OC＝OD，
∴∠OBA＝∠A＝65°，∠OCD＝∠D＝60°，
∴∠AOB＝180°﹣2×65°＝50°，∠COD＝180°﹣2×60°＝60°，
∴∠BOC＝∠AOD﹣∠AOB﹣∠COD＝150°﹣50°﹣60°＝40°，
∴的度数为40°．
故答案为40．
24．（2019秋?伊通县期末）已知矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，以点B为圆心r为半径作圆，且⊙B与边CD有唯一公共点，则r的取值范围是 3≤r≤5 ．
【解析】解：∵矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，
∴BD＝AC5，AD＝BC＝3，CD＝AB＝4，
∵以点B为圆心作圆，⊙B与边CD有唯一公共点，
∴⊙B的半径r的取值范围是：3≤r≤5；
故答案为：3≤r≤5
25．（2019?河池）如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝38°，则∠P＝ 76 °．
【解析】解：∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA＝PB，PA⊥OA，
∴∠PAB＝∠PBA，∠OAP＝90°，
∴∠PBA＝∠PAB＝90°﹣∠OAB＝90°﹣38°＝52°，
∴∠P＝180°﹣52°﹣52°＝76°；
故答案为：76．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2019?岳池县模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求：
（1）PA的长；
（2）∠COD的度数．
【解析】解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA＝CE，
同理DE＝DB，PA＝PB，
∴三角形PDE的周长＝PD+CD+PC＝PD+PC+CA+BD＝PA+PB＝2PA＝12，
即PA的长为6；
（2）∵∠P＝60°，
∴∠PCE+∠PDE＝120°，
∴∠ACD+∠CDB＝360°﹣120°＝240°，
∵CA，CE是圆O的切线，
∴∠OCE＝∠OCA∠ACD；
同理：∠ODE∠CDB，
∴∠OCE+∠ODE（∠ACD+∠CDB）＝120°，
∴∠COD＝180﹣120°＝60°．
27．（10分）（2020?金华）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝ l ；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝ l ；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝ l ．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的 ．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
【解析】解：（2）l；
（3）l；
（4）l；；
每个小圆面积＝π（?a）2?，而大圆的面积＝π（?a）2πa2
即每个小圆的面积是大圆的面积的．
28．（12分）（2020?江都区二模）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC为直径，，DE⊥BC，垂足为E．
（1）求证：CD平分∠ACE；
（2）判断直线ED与⊙O的位置关系，并说明理由；
（3）若CE＝2，AC＝8，求阴影部分的面积．
【解析】（1）证明：∵，
∴∠BAD＝∠ACD，
∵∠DCE＝∠BAD，
∴∠ACD＝∠DCE，
即CD平分∠ACE；
（2）解：直线ED与⊙O相切．理由如下：
连结OD，如图，
∵OC＝OD，
∴∠OCD＝∠ODC，
而∠OCD＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠ODC，
∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE为⊙O的切线；
（3）解：作OH⊥BC于H，则四边形ODEH为矩形，
∴OD＝EH，
∵CE＝2，AC＝8，
∴OC＝OD＝4，
∴CH＝HE﹣CE＝4﹣2＝2，
在Rt△OHC中，∠HOC＝30°，
∴∠COD＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形OCD﹣S△OCD
42
π﹣4．第19周
第三章
圆（二）
（内容：§3.1
—§3.5）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2019春?巨野县期末）已知⊙O的半径为6cm，P为线段OA的中点，若点P在⊙O上，则OA的长（ ）
A．等于6cm
B．等于12cm
C．小于6cm
D．大于12cm
2．（2019春?高密市期末）如图，从A地到B地有两条路可走，一条路是大半圆，另一条路是4个小半圆．有一天，一只猫和一只老鼠同时从A地到B地．老鼠见猫沿着大半圆行走，它不敢与猫同行（怕被猫吃掉），就沿着4个小半圆行走．假设猫和老鼠行走的速度相同，那么下列结论正确的是（ ）
A．猫先到达B地
B．老鼠先到达B地
C．猫和老鼠同时到达B地
D．无法确定
3．（2020?拱墅区二模）已知⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（ ）
A．点P在⊙O内
B．点P在⊙O上
C．点P在⊙O外
D．无法判断
4．（2020?桥东区模拟）如图，半径为5的⊙A中，弦BC，ED所对的圆心角分别是∠BAC，∠EAD，若DE＝6，∠BAC+∠EAD＝180°，则弦BC的长等于（ ）
A．8
B．10
C．11
D．12
5．（2020?孝感期末）如图，AB是⊙O的直径，，∠COD＝38°，则∠AEO的度数是（ ）
A．52°
B．57°
C．66°
D．78°
6．（2019秋?滦南县期末）如图，⊙O的直径CD＝12cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为E，OE：OC＝1：3，则AB的长为（ ）
A．2cm
B．4cm
C．6cm
D．8cm
7．（2020?长葛市一模）如图，以原点O为圆心的圆交x轴于点A、B两点，交y轴的正半轴于点C，D为第一象限内⊙O上的一点，若∠DAB＝25°，则∠OCD的度数是（ ）
A．45°
B．60°
C．65°
D．70°
8．（2020?东莞市校级二模）如图，四边形ABCD内接于圆O，AD∥BC，∠DAB＝48°，则∠AOC的度数是（ ）
A．48°
B．96°
C．114°
D．132°
9．（2020?浙江自主招生）如图，设AD，BE，CF为三角形ABC的三条高，若AB＝6，BC＝5，EF＝3，则线段BE的长为（ ）
A．
B．4
C．
D．
10．（2020?浙江自主招生）图中的三块阴影部分由两个半径为1的圆及其外公切线分割而成，如果中间一块阴影的面积等于上下两块面积之和，则这两圆的公共弦长是（ ）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2020?越秀区校级期中）在⊙O中，弦AB的长恰好等于半径，弦AB所对的圆心角为
．
12．（2020?淮安校级期中）到点P的距离等于6厘米的点的集合是
．
13．（2019秋?南宁期末）如图是一个隧道的横截图，它的形状是以点O为圆心的一部分，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，若CD＝4m，EM＝6m，则⊙O的半径为
m．
14．（2020?随州）如图，点A，B，C在⊙O上，∠A＝40度，∠C＝20度，则∠B＝
度．
15．（2020?罗田县校级模拟）一个塑料文具胶带如图所示，带宽为1cm，内径为4cm，外径为7cm，已知30层胶带厚1.5mm，则这卷胶带长
m．（π≈3.14，结果保留4位有效数字）
三．解答题（共55分）
16．（每小题6分?共12分）
（1）（2019秋?鼓楼区校级期中）已知：如图，A、B、C、D在⊙O上，AB＝CD．求证：∠AOC＝∠DOB．
（2）（2020?溧水区期末）如图，已知⊙O的弦AB，E，F是弧AB上两点，，OE、OF分别交于AB于C、D两点，求证：AC＝BD．
17．（每小题8分?共16分）
（1）（2020?台安县一模）如图，AB为⊙O直径，点D为AB下方⊙O上一点，点C为弧ABD中点，连接CD，CA．
（1）求证：∠ABD＝2∠BDC；
（2）过点C作CE⊥AB于H，交AD于E，求证：EA＝EC；
（3）在（2）的条件下，若OH＝5，AD＝24，求线段DE的长
（2）（2019秋?商州区校级期末）在直径是52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深度CD为16cm，求油面宽度AB的长．
18．（8分）（2020?资中县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于点E．
（1）求证：∠BCO＝∠D；
（2）若CD，AE＝2，求⊙O的半径．
19．（9分）（2020?武汉模拟）已知A，B，C，D是⊙O上的四点，延长DC，AB相交于点E，若BC＝BE．
求证：△ADE是等腰三角形．
20．（10分）（2019秋?新吴区期中）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为
；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2019秋?汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为
．
22．（2020?浙江自主招生）如图，⊙O的直径AB与弦EF相交于点P，交角为45°，若PE2+PF2＝8，则AB等于
．
23．（2020?建邺区二模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD、BC的延长线相交于点E，AB、DC的延长线相交于点F，∠A＝50°，则∠E+∠F＝
．
24．（2020?连云区二模）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是以点A为圆心4为半径的圆上一点，连接BD，点M为BD中点，线段CM长度的最大值为
．
25．（2020?宁夏）如图，点
A，B，C均在6×6的正方形网格格点上，过A，B，C三点的外接圆除经过A，B，C三点外还能经过的格点数为
．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2020?徐汇区校级自主招生）已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
27．（10分）（2020?金华）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长l＝πa．
计算：（1）把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长；
（2）把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长l3＝
；
（3）把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长l4＝
；
（4）把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长ln＝
．
结论：把大圆的直径分成n条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，那么每个小圆周长是大圆周长的
．请仿照上面的探索方法和步骤，计算推导出每个小圆面积与大圆面积的关系．
28．（12分）如图，AB是⊙O的直径，把AB分成几条相等的线段，以每条线段为直径分别画小圆，设AB＝a，那么⊙O的周长L＝πa．
（1）计算：①把AB分成两条相等的线段，每个小圆的周长
；
②把AB分成三条相等的线段，每个小圆的周长L3＝
；
③把AB分成四条相等的线段，每个小圆的周长L4＝
；
…
④把AB分成n条相等的线段，每个小圆的周长Ln＝
；
（2）请仿照上面的探索方法和步骤，计算并导出：当把大圆直径平均分成n等分时，以每条线段为直径画小圆，那么每个小圆的面积Sn与大圆的面积S的关系是：Sn＝
S．第23周
第三章
圆（四
）
（内容：§3.1
—§3.9）
（时间：120分钟
满分：150分）
A卷（100分）
一．选择题（每小题3分，共30分）
1．（2020?南召县模拟）如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE＝OB，∠AOC＝84°，则∠E等于（ ）
A．42°
B．28°
C．21°
D．20°
【解析】解：连结OD，如图，
∵OB＝DE，OB＝OD，∴DO＝DE，∴∠E＝∠DOE，
∵∠1＝∠DOE+∠E，∴∠1＝2∠E，而OC＝OD，∴∠C＝∠1，∴∠C＝2∠E，∴∠AOC＝∠C+∠E＝3∠E，∴∠E∠AOC84°＝28°．
故选：B．
2．（2020?海安市一模）如图，⊙O的半径为5，若OP＝3，则经过点P的弦长可能是（ ）
A．3
B．6
C．9
D．12
【解析】解：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，连接OA；
在Rt△OAP中，OA＝5，OP＝3；
根据勾股定理，得：AP4；
故AB＝2AP＝8；
所以过P点的弦长应该在8～10之间，
故选：C．
3．（2019秋?金平区期末）下列语句，错误的是（ ）
A．直径是弦
B．相等的圆心角所对的弧相等
C．弦的垂直平分线一定经过圆心
D．平分弧的半径垂直于弧所对的弦
【解析】解：直径是弦，A正确，不符合题意；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，B错误，符合题意；
弦的垂直平分线一定经过圆心，C正确，不符合题意；
平分弧的半径垂直于弧所对的弦，D正确，不符合题意；
故选：B．
4．（2020?仪征市一模）如图，点A、B、C、D都在⊙O上，且四边形OABC是平行四边形，则∠D的度数为（ ）
A．45°
B．60°
C．75°
D．不能确定
【解析】解：∠D∠AOC，
∵四边形OABC是平行四边形，∴∠B＝∠AOC，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，3∠D＝180°，∴∠D＝60°，故选：B．
5．（2020?路北区一模）如图，点A，B，C，D，E都是⊙O上的点，，∠B＝122°，则∠D＝（ ）
A．58°
B．116°
C．122°
D．128°
【解析】解：连接AC、CE，
∵点A、B、C、E都是⊙O上的点，∴∠AEC＝180°﹣∠B＝58°，
∵，∴∠ACE＝∠AEC＝58°，∴∠CAE＝180°﹣58°﹣58°＝64°，
∵点A、C、D、E都是⊙O上的点，∴∠D＝180°﹣64°＝116°，
故选：B．
6．（2020?环江县一模）已知△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，若∠B＝62°，∠C＝50°，则∠ADB的度数是（ ）
A．68°
B．72°
C．78°
D．82°
【解析】解：延长AD交⊙O于E，连接CE，
则∠E＝∠B＝62°，∠ACE＝90°，∴∠CAE＝90°﹣62°＝28°，
∵∠ADB＝∠CAE+∠ACB＝78°，故选：C．
7．（2019?黄冈）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点O是这段弧所在圆的圆心，AB＝40m，点C是的中点，点D是AB的中点，且CD＝10m，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A．25m
B．24m
C．30m
D．60m
【解析】解：∵OC⊥AB，∴AD＝DB＝20m，
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，设半径为r得：r2＝（r﹣10）2+202，
解得：r＝25m，∴这段弯路的半径为25m
故选：A．
8．（2020?中山市模拟）如图，正方形ABCD内接于⊙O，点P在劣弧AB上，连接DP，交AC于点Q．若QP＝QO，则的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【解析】解：如图，设⊙O的半径为r，QO＝m，则QP＝m，QC＝r+m，
QA＝r﹣m．
在⊙O中，根据相交弦定理，得QA?QC＝QP?QD．即（r﹣m）（r+m）＝m?QD，所以QD．
连接DO，由勾股定理，得QD2＝DO2+QO2，即，解得
所以，故选：D．
9．（2020?北京模拟）如图，抛物线y1与x轴交于A，B两点，D是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段AD的中点，连接OE，BD，则线段OE的最小值是（ ）
A．2
B．
C．
D．3
【解析】解：∵抛物线y1与x轴交于A，B两点，∴A、B两点坐标为（﹣3，0）、（3，0），
∵D是以点C（0，4）为圆心，根据勾股定理，得BC＝5，
∵E是线段AD的中点，O是AB中点，∴OE是三角形ABD的中位线，∴OEBD，
即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小．
如图，连接BC交圆于点D′，
∴BD′＝BC﹣CD′＝5﹣1＝4，∴OE′＝2．所以线段OE的最小值为2．故选：A．
10．（2020?宁城县期末）下随有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，④圆内接四边形对角互补．其中错误的结论有（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
【解析】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④圆内接四边形对角互补；正确；
故选：C．
二．填空题（每小题3分，共15分）
11．（2019?中原区校级模拟）某居民区一处圆形下水管道破裂，维修人员准备更换一段新管道，如图，污水水面宽度为60cm，水面到管道顶部距离为10cm，则修理人员应准备 100 cm内径的管道（内径指内部直径）．
【解析】解：如图，过O作OC⊥AB于C，连接AO，
∴ACAB60＝30，
CO＝AO﹣10，
在Rt△AOC中，AO2＝AC2+OC2，
AO2＝302+（AO﹣10）2，
解得AO＝50cm．
∴内径为2×50＝100cm．
故答案为：100．
12．（2020?余姚市校级模拟）当点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，m，n需要满足的条件 5m+2n≠9 ．
【解析】解：设直线AB的解析式为y＝kx+b，
∵A（1，2），B（3，﹣3），∴解得：k，b，
∴直线AB的解析式为y，∵点A（1，2），B（3，﹣3），C（m，n）三点可以确定一个圆时，
∴点C不在直线AB上，∴5m+2n≠9，故答案为：5m+2n≠9．
13．（2019秋?锡山区校级月考）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD＝4，OD＝3，求AB的长是 10 ．
【解析】解：连接OC，
∵CD＝4，OD＝3，在Rt△ODC中，∴OC5，
∴AB＝2OC＝10，故答案为：10．
14．（2019秋?长白县期末）如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，则弦CE＝ 3 ．
【解析】解：连接OC，
∵AC∥DE，
∴∠A＝∠1．∠2＝∠ACO，
∵∠A＝∠ACO，
∴∠1＝∠2．
∴CE＝BE＝3．
15．（2020?枣阳市校级模拟）在半径为2的⊙O中，弦AB的长为2，则弦AB所对的圆周角的度数为 30°或150° ．
【解析】解：根据题意，弦AB与两半径组成等边三角形，
∴先AB所对的圆心角＝60°，
①圆周角在优弧上时，圆周角＝30°，
②圆周角在劣弧上时，圆周角＝180°﹣30°＝150°．
∴圆周角的度数为30°或150°．
三．解答题（共55分）
16．（每小题6分?共12分）
（1）（2019秋?海安市期末）求证：圆内接平行四边形是矩形．（请思考不同证法）
【解析】已知：平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
求证：四边形ABCD是矩形，
证明：方法一、∵平行四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B＝∠D，∠B+∠D＝180°，
∴∠B＝90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形；
方法二、∵∠B＝∠D＝90°，
同理∠A＝∠C＝90°，
∴四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）．
（2）（2019秋?宜兴市期中）如图所示，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知AB＝2DE，∠AEC＝20°．求∠AOC的度数．
【解析】解：连接OD，如图，
∵AB＝2DE，
而AB＝2OD，
∴OD＝DE，
∴∠DOE＝∠E＝20°，
∴∠CDO＝∠DOE+∠E＝40°，
而OC＝OD，
∴∠C＝∠ODC＝40°，
∴∠AOC＝∠C+∠E＝60°．
17．（每小题8分?共16分）
（1）（2019秋?任城区期末）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，求EC的长．
【解析】解：连结BE，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BCAB8＝4，
设AO＝x，则OC＝OD﹣CD＝x﹣2，
在Rt△ACO中，∵AO2＝AC2+OC2，
∴x2＝42+（x﹣2）2，解得
x＝5，
∴AE＝10，OC＝3，
∵AE是直径，
∴∠ABE＝90°，
∵OC是△ABE的中位线，
∴BE＝2OC＝6，
在Rt△CBE中，CE2．
（2）（2020?唐河县一模）如图，△ABC内接于⊙O且AB＝AC，延长BC至点D，使CD＝CA，连接AD交⊙O于点E，连接BE、CE．
（1）求证：△ABE≌△CDE；
（2）填空：
①当∠ABC的度数为 60° 时，四边形AOCE是菱形；
②若AE＝6，EF＝4，DE的长为 9 ．
【解析】解：（1）∵AB＝AC，CD＝CA，
∴∠ABC＝∠ACB，AB＝CD，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ECD＝∠BAE，∠CED＝∠ABC，
∵∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，
∴∠CED＝∠AEB，
∴△ABE≌△CDE（AAS）；
（2）①当∠ABC的度数为60°时，四边形AOCE是菱形；
理由是：连接AO、OC，
∵四边形ABCE是圆内接四边形，
∴∠ABC+∠AEC＝180°，
∵∠ABC＝60，
∴∠AEC＝120°＝∠AOC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝30°，
∵AB＝AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠CAD+∠D，
∵AC＝CD，
∴∠CAD＝∠D＝30°，
∴∠ACE＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
∴∠OAE＝∠OCE＝60°，
∴四边形AOCE是平行四边形，
∵OA＝OC，
∴?AOCE是菱形；
②∵△ABE≌△CDE，
∴AE＝CE＝6，BE＝ED，
∴∠ABE＝∠CBE，∠CBE＝∠D，
又∵∠EAC＝∠CBE，
∴∠EAC＝∠D．
又∵∠CED＝∠AEB，
∴△AEF∽△DEC，
∴，即，解得DE＝9．
故答案为：①60°；②9．
18．（8分）（2020秋?江都区月考）木工师傅可以用角尺测量并计算出圆的半径r．用角尺的较短边紧靠⊙O，角尺的顶点B（∠B＝90°），并使较长边与⊙O相切于点C．
（1）如图，AB＜r，较短边AB＝8cm，读得BC长为12cm，则该圆的半径r为多少？
（2）如果AB＝8cm，假设角尺的边BC足够长，若读得BC长为acm，则用含a的代数式表示r为 0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，ra
2+4 ．
【解析】解：（1）如图1，连接OC、OA，作AD⊥OC，垂足为D．则OD＝r﹣8
在Rt△AOD中，r2＝（r﹣8）2+122
解得：r＝13；
答：该圆的半径r为13；
（2）①如图2，易知，0＜r≤8时，r＝a；
②当r＞8时，
如图1：连接OC，连接OA，过点A作AD⊥OC于点D，
∵BC与⊙O相切于点C，
∴OC⊥BC，
则四边形ABCD是矩形，即AD＝BC，CD＝AB．
在Rt△AOD中，OA2＝OD2+AD2，
即：r2＝（r﹣8）2+a2，
整理得：ra2+4．
故答案为：0＜r≤8时，r＝a；当r＞8时，ra
2+4．
19．（9分）（2019?绵阳）如图，AB是⊙O的直径，点C为的中点，CF为⊙O的弦，且CF⊥AB，垂足为E，连接BD交CF于点G，连接CD，AD，BF．
（1）求证：△BFG≌△CDG；
（2）若AD＝BE＝2，求BF的长．
【解析】证明：（1）∵C是的中点，
∴，
∵AB是⊙O的直径，且CF⊥AB，
∴，
∴，
∴CD＝BF，
在△BFG和△CDG中，
∵，
∴△BFG≌△CDG（AAS）；
（2）解法一：如图，连接OF，设⊙O的半径为r，
Rt△ADB中，BD2＝AB2﹣AD2，即BD2＝（2r）2﹣22，
Rt△OEF中，OF2＝OE2+EF2，即EF2＝r2﹣（r﹣2）2，
∵，
∴，
∴BD＝CF，
∴BD2＝CF2＝（2EF）2＝4EF2，
即（2r）2﹣22＝4[r2﹣（r﹣2）2]，
解得：r＝1（舍）或3，
∴BF2＝EF2+BE2＝32﹣（3﹣2）2+22＝12，
∴BF＝2；
解法二：如图，过C作CH⊥AD于H，连接AC、BC，
∵，
∴∠HAC＝∠BAC，
∵CE⊥AB，
∴CH＝CE，
∵AC＝AC，
∴Rt△AHC≌Rt△AEC（HL），
∴AE＝AH，
∵CH＝CE，CD＝CB，
∴Rt△CDH≌Rt△CBE（HL），
∴DH＝BE＝2，
∴AE＝AH＝2+2＝4，
∴AB＝4+2＝6，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠BEC＝90°，
∵∠EBC＝∠ABC，
∴△BEC∽△BCA，
∴，
∴BC2＝AB?BE＝6×2＝12，
∴BF＝BC＝2．
解法三：如图，连接OC，交BD于H，
∵C是的中点，
∴OC⊥BD，
∴DH＝BH，
∵OA＝OB，
∴OHAD＝1，
∵OC＝OB，∠COE＝∠BOH，∠OHB＝∠OEC＝90°，
∴△COE≌△BOH（AAS），
∴OH＝OE＝1，
∴CE＝EF2，
∴BF2．
20．（10分）（2019秋?伊通县期末）已知：如图，AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，BF∥OC，连接BC，CF．
求证：∠OCF＝∠ECB．
【解析】证明：延长CE交⊙O于点G．
∵AB为⊙O的直径，CE⊥AB于E，
∴BC＝BG，
∴∠G＝∠2，
∵BF∥OC，
∴∠1＝∠F，
又∵∠G＝∠F，
∴∠1＝∠2．
即∠OCF＝∠ECB．
B卷（50分）
一．填空题（每小题4分，共20分）
21．（2019秋?伊通县期末）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是 ．
【解析】解：连接OA，
∵C是AB的中点，
∴ACAB＝2，OC⊥AB，
∴OA2＝OC2+AC2，即OA2＝（OA﹣1）2+22，
解得，OA，
故答案为：．
22．（2020?平遥县一模）如图，四边形ABCD内接于圆O，四边形ABCO是平行四边形，则∠ADC＝ 60° ．
【解析】解：设∠ADC的度数＝α，∠ABC的度数＝β；
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴∠ABC＝∠AOC；
∵∠ADCβ，∠AOC＝α；而α+β＝180°，
∴，
解得：β＝120°，α＝60°，∠ADC＝60°，
故答案为：60°．
23．（2020?辽阳模拟）如图，在△ABC中，AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm．D是BC边上的一个动点，连接AD，过点C作CE⊥AD于E，连接BE，在点D变化的过程中，线段BE的最小值是 （6） cm．
【解析】解：如图，
由题意知，∠AEC＝90°，
∴E在以AC为直径的⊙M的上（不含点C、可含点N），
∴BE最短时，即为连接BM与⊙M的交点（图中点E′点），
∵AB＝13cm，AC＝12cm，BC＝5cm，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
作MF⊥AB于F，
∴∠AFM＝∠ACB＝90°，∠FAM＝∠CAB，
∴△AMF∽△ABC，
∴，即，得MF，
∴AF，
则BF＝AB﹣AF，
∴BM，
∵ME＝6，
∴BE长度的最小值BE′＝BM﹣ME′6（cm），
（方法二：BM直接用勾股定理求出）
故答案为：（6）．
24．（2020?下城区模拟）点O是△ABC的外心，若∠BOC＝80°，则∠BAC的度数为 40°或140° ．
【解析】解：如图所示：
∵O是△ABC的外心，∠BOC＝80°，
∴∠A＝40°，
∠A′＝180°﹣∠A＝140°，
故∠BAC的度数为：40°或140°
故答案为：40°或140°．
25．（2018秋?邗江区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为 ．
【解析】解：如图，连接OM，作OH⊥AB于H，CK⊥AB于K．
∵OH⊥MN，
∴MH＝HN，
∴MN＝2MH＝2，
∵∠DCE＝90°，OD＝OE，
∴OC＝OD＝OE＝OM，
∴欲求MN的最大值，只要求出OH的最小值即可，
∵OC，
∴点O的运动轨迹是以C为圆心为半径的圆，
在Rt△ACB中，∵BC＝3，AC＝4，
∴AB＝5，
∵?AB?CK?AC?BC，
∴CK，
当C，O，H共线，且与CK重合时，OH的值最小，
∴OH的最小值为，
∴MN的最大值＝2，
故答案为．
二．解答题（共30分）
26．（8分）（2020秋?句容市月考）如图，一段圆弧与长度为1的正方形网格的交点是A、B、C．
（1）请完成以下操作：
①以点O为原点，垂直和水平方向为轴，网格边长为单位长，建立平面直角坐标系；
②根据图形提供的信息，标出该圆弧所在圆的圆心D，并连接AD、CD；
（2）请在（1）的基础上，完成下列填空：
⊙D的半径＝ 2 （结果保留根号）．点（7，0）在⊙D 外 ；（填“上”、“内”、“外”）
③∠ADC的度数为 90° ．
【解析】解：（1）如图1所示：
；
（2）⊙D的半径为：2，∵OD＝2，
∴7﹣2＝5＞2，
∴（7，0）在⊙D外，
故答案为：2；外；
③∵OA＝DF＝4，CF＝OD＝2，∠AOD＝∠DFC＝90°，
∴在△AOD和△DFC中
，
∴△AOD≌△DFC（SAS），
∴∠OAD＝∠CDF，
∵∠AOD＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣（∠ADO+∠CDF）
＝180°﹣（∠ADO+∠OAD）
＝∠AOD
＝90°，
故答案为：90°．
27．（10分）（2020?徐汇区校级自主招生）已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC，M、N分别是AC，BD中点，且M、N不重合．
（1）线段MN与BD是否垂直？请说明理由；
（2）若∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，AC＝4，求MN的长．
【解析】解：（1）线段MN与BD垂直．
连接MB与MD，由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，可以知道
MB，MD，所以MB＝MD．
三角形MBD中，N是底边上的中点，等腰三角形的性质可以说明：
MN垂直BD．
（2）如图一：连接BM、MD，延长DM，过B作DM延长线的垂线段BE，
∵M是AC的中点，
∴MD⊥AC，△BCM是等边三角形，
∴在Rt△BEM中，∠EMB＝30°，
∵AC＝4，∴BM＝2，
∴BE＝1，EM，MD＝2，
从而可知
BD2
∴BN．
由Rt△BMN可得：
MN．
如图二：连接BM、MD，延长AD，过B作垂线段BE，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MDAC，MBAC，
∴MD＝MB，
∵∠BAC＝30°，∠CAD＝45°，
∴∠BMC＝60°，∠DMC＝90°，
∴∠BMD＝30°，
∴∠BDM75°，
∵∠MDA＝45°
∴∠EDB＝180°﹣∠BDM﹣∠MDA＝60°，
令ED＝x，则BEx，AD＝2，AB＝2，
∴由Rt△ABE可得：（2）2＝（x）2+（x+2）2，
解得x，则BD＝2，
∵M、N分别是AC，BD中点，
∴MD＝2
DN．
由Rt△MND可得：
MN．
综上所述，MN或．
28．（12分）（2019秋?新罗区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作EF⊥AC于点E，交AB的延长线于点F．
（1）判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）如果AB＝5，BC＝6，求DE的长．
【解析】解：（1）相切，理由如下：
连接AD，OD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°．
∴AD⊥BC．
∵AB＝AC，
∴CD＝BDBC．
∵OA＝OB，
∴OD∥AC．
∴∠ODE＝∠CED．
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝∠CED＝90°．
∴OD⊥DE．
∴DE与⊙O相切．
（2）由（1）知∠ADC＝90°，
∴在Rt△ADC中，由勾股定理 得
AD4．
∵SACDAD?CDAC?DE，
∴4×35DE．
∴DE．
