因数与倍数
教学内容：
五年级《数学》下册第30～32页例1、例2和“试一试”、例3和“试一试”“练一练”。
教学目标：
1．理解因数与倍数的含义；
2．探索并掌握找一个数的因数与倍数的方法；
3．熟练掌握一个数因数与倍数的特征。
教学重点：
因数和倍数的意义。
教学难点：
求一个数的因数、倍数的方法。
教学准备：
同桌准备12个同样大的正方形学具。教学目标：
教学方法：创设情境法，引导质疑法、总结概括法、启示诱导法等。
学法指导：自主探究法、合作交流法
教具：多媒体课件
学具：12个同样大的正方形纸片，常规学具
教学过程：
一、导入定向：（约3分钟）
1、谈话导入，板书课题
谁来说说我们学过了哪些数？（学生自主发言）
刚才有的同学谈到我们学习了自然数，你能列举说说哪些数是自然数吗？（指名回答）本单元我们将从一个特定的角度研究除了0之外的自然数。（板书课题：倍数与因数）
2、出示学习目标：
1．理解因数与倍数的含义；
2．探索并掌握找一个数的因数与倍数的方法；
3．熟练掌握一个数因数与倍数的特征。
二、自主学习，交流展示（15分）（自主学习与交流展示交叉进行）
1、自学前的指导
出示自主学习单，全体学生阅读自学内容、学习目标、自学方法。明确了本节课的学习目标。下面请大家按照自学提纲（一）的要求认真的自主学习。有疑惑的地方可以在同伴的帮助下完成。交流时重点讨论自学提纲（一）中的（4）
2、学生自主学习，教师巡回指导。（重点关注各组中的学困生，可以针对自学提纲中的一些问题个别提问、个别指导。）
明确了本节课的学习目标。下面请大家按照自学提纲（一）的要求认真的自主学习。有疑惑的地方可以在同伴的帮助下完成。交流时重点讨论自学提纲（一）中的（4）
自学提纲（一）：探索因数的特点
（1）通过拼摆正方形纸片，根据乘法算式，能够说出哪个数是哪个数的因数，哪个数是哪个数的倍数？弄清倍数和因数的意义。
（2）在列举某个数的倍数和因数时，怎样找才可以做到不重复，不遗漏？
（3）试一试
15的因数有
________________;
16的因数有__________________.
（4）
思考：一个数的因数有什么特点？（提示思考：观察例1、例2与试一试）
3、交流展示
按照自学提纲的内容自学完后，小组长组织本组学生进行展示。可采取组长问指名答的方式、或者一人抢答其他人补充的方式，将自己的发现，说给小组内的同学听。注意：听的同学要边听边思考你的同学说的哪些与你不一样。
（教师归纳并板书：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。）
4、过渡：通过自己的探究，以合作交流的方式
，
大家学会了这么多知识，那么你能用这些知识来解决问题吗？大家有信心接受挑战吗？（相信同学们在自学提纲（二）的学习中一定会有更精彩的表现）
自学提纲（二）：探索倍数的特点
（1）自学例3，有顺序地写出3的倍数有：_____
_____
_____
____
____
____…
（2）
尝试写出2的倍数有：___
___
___ … ；
5的倍数有：___
___
___
…
.
思考：一个数的倍数有什么特点？
5、小组长先领着组员逐一交流自学提纲中的问题，根据组员情况组长合理安排每个同学要交流的题目。其中3要重点交流。口述3小问
，板演1、2小问。
（教师归纳并板书：一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。）
三、归纳提升：（约6分钟）
1、引导学生认真关注各组展示结果。
师：请同学们把目光聚焦在这里。这是第
组
同学做的展示，大家认为做的怎么样？请从解题方法、规范程度、计算情况三个方面做出公正科学的评价。
2、引导学生质疑、答疑、点拨
（1）学生质疑
（2）教师质疑（解决预设问题）
预设问题：2和6是因数，12是倍数，这种说法正确吗？
这种说法是错误的。因数、倍数都是表示两个数之间的关系，不能单说哪个数是倍数，哪个数是因数，应该是2和6是12的因数，12是2和6的倍数。
3、引导学生回顾本节学习内容
请同学们把对照自学提纲和板书，认真复习今天的学习内容，时间1分钟。下面我们开始检测。
四、检测反馈：（约15分钟）
1、发检测单提出要求：（1）认真独立完成
（2）时间10分钟
2、学生独立做题
3、评改：指名说答案集体评改
4、在组长指导下纠错到位。
五、总结拓展：（约2分钟）
1、通过本节课的学习，你有什么收获？
2、教师引导学生梳理、归纳本节知识点。
这节课我们认识了因数和倍数，我们学会了找一个自然数的因数和倍数，发现了一个数最小的因数是1，最大的因数是它本身；一个数最小的倍数是它本身，没有最大的倍数，还知道了一个数的倍数的个数是无限的，一个数的因数的个数是无限的。
教学反思3的倍数
教材分析：
3的倍数的特征是在因数和倍数的基础上进行教学的，是求最大公因数、最小公倍数的重要基础，也是学习约分和通分的必要前提。因此，使学生熟练地掌握2、5、3的倍数的特征，具有十分重要的意义。2、5的倍数的特征仅仅体现在个位上的数，比较明显，容易理解。而3的倍数的特征，不能只从个位上的数来判定，而是把其各位上的数相加，看所得的和是否是3的倍数来判断，学生理解起来有一定的难，因此，把它放在2、5的倍数的特征后面教学。
学情分析：
学生已经学习了2、5的倍数的特征，但3的倍数的特征与2、5的倍数的特征有很大的区别，学生不能仅从一个数的个位加以观察、归纳来得出结论，因此对于孩子们来讲如何探索得出这个特征就较有难度，而对于一些学习能力较弱的孩子，能够正确掌握3的倍数的特征并加以正确运用都会有一定的难度。
教学目标：
经历探索3的倍数的特征的过程，理解3的倍数的特征。
能判断一个数是不是3的倍数。
培养合情推理的能力，积累观察、猜想、归纳等思维活动的经验。
教学重点：探索3的倍数的特征。
教学难点：归纳举证3的倍数的特征。
教学准备：多媒体，百数表
教学过程：
复习导入（3分钟）
师：上节课我们学习了2和5的倍数，那我们怎么判断一个数是2或5的倍数呢？
生：个位上是偶数的数都是2的倍数。个位上是0或5的数都是5的倍数。
师：还记得咱们当时是怎么得出结论的吗？
生：通过百数表圈数、观察、猜想、验证、归纳得到的。
师：真是会学习的孩子，今天，我们能不能再用这些好方法来研究“3的倍数”（办书：3的倍数）
探索新知
找出3的倍数
师：（1）拿出你手中的百数表，依次圈出3的倍数。出示百数表（投影）
师：认真检查你所圈的数和老师的是否相同，观察这些3的倍数，它们在排列上有什么规律？
生：他们都是斜着出现的。
师：真善于观察，那我们就以这样的一斜行为一组，观察每组数据，把你的发现在小组内交流。
预设1：发现3的倍数个位数字都有可能出现，找不出规律
师：个位和十位都在变化，但这组数中，有没有什么是没有变化的呢？
生：十位和个位上的数相加都是9
师：老师把这重要的发现记录下来，大家快为他鼓鼓掌。
师：
现在我们能像他一样，记录下你的发现吗？思考这些数都有哪些特点？
预设1：生：相差3，
师：那他们和3有什么关系呢？
生：都是3的倍数
师：刚才我们研究的是百数表以内的数，那百数表以外的数有没有这个规律呢？
谁来举个三位数考考大家？
生：123
师：123是不是3的倍数，你是怎么判断的？
生汇报判断方法
师：谁在说一个四位数？我们一起判断一下
师：
对于较大的数，也符合这个规律，现在我们能归纳出3的倍数有哪些规律了吗？
生：每个数位上的数相加是3的倍数，这个数就是3的倍数。
师：表达的既清楚，又全面，快把你的发现记录下来
师：对比上节课2、5的倍数规律，你有什么新的发现吗？
生：2、5的倍数只看个位就可以，3的倍数要把各个位上的数进行相加。
师：这究竟是为什么呢？我们借助小棒帮助我们研究其中的奥秘。
师：因为个位上的数是4，
所以24是2的倍数，老师想问为什么我们不用考虑十位的2？谁能借助小棒说明原因？
生：2表示2个十，一捆小棒有10根，两个、两个分没有剩余，只要是整捆小棒都没有剩余。所以只看个位的4就可以了。
师：那我们看24，先判断它是不是3的倍数，怎样判断的？
生：2+4=6，6是3的倍数，所以24是3的倍数。
师：24中的2表示的是2个十，本来是2个十加4个一，怎么你判断的时候是2个一加4个一，那这2个一哪来的，拿出小棒图分一分，看能不能找出2个一
师：哪一组来分享一下你们的想法。
师：那如果百位上是1，表示的是100，我们也3个3个的分，最后剩几个？十位的2这样分剩几个？剩下的数和数位上的数有什么关系？
生：剩下的数和数位上的数相等
师：现在我们明白为什么在判断3的倍数时，是把数位上的数相加了吧。
师：下面我们一起来做两个练习
1．出示数字卡片
判断数字卡片摆出的数是不是3的倍数
在这个数后面增加一张卡片，使这个三位数是3的倍数，这个卡片可以是数字几？有几种可能？最小是几？最大是几？
这张卡片还可以放在什么位置？得到的新的三位数，都是3的倍数吗？
2.同时是2、3、5的倍数的最大两位数是（
）
师：这节课很快的过去了，说说你有哪些收获？
板书设计
找数
观察
猜想
各个数位上的数的和是3的倍数
验证
归纳教学设计模板
教学基本信息
学校
课
题
3的倍数的特征
授课教师
学
科
数学
年级
五年级
学段：
高段
本课体现的研究点
以学生为主体自主探究
指导思想与理论依据
本节课从学生已有的知识经验出发，通过运用多种有效的教学策略，创设情境，引导学生在动手操作的过程中，自主探究新知，自主发展，满足学生的学习需求，让学生在实践中求学习，在学习中求发展，真正成为学习的主人。新课程倡导：教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，为学生提供足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。教师要引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能，体会和运用数学思想和方法，获得基本的数学活动经验。
教学背景分析
教学内容：能被3整除数的特征，属于数与代数知识领域，它是在因数和倍数的基础上进行教学的，是求最大公因数、最小公倍数的重要基础。学习2、5、3的倍数的特征，一个很重要的目的就是利用这些特征，把一个合数尽快地分解质因数；为今后学习约分和通分提供必要的前提。三个版本的教材共同之处：都利用学生概括2和5的倍数的特征知识基础，引发联想：概括3的倍数时，会很自然地寻找个位上的数，于是产生认知冲突；经过观察摆小棒：引导学生观察各位上数字的和，发现各位上数字的和是3的倍数。引导学生经历观察、猜测、验证的过程。我确定了本课的整体思路：
利用已有的2、5的倍数的特征引发迁移，进行猜想，并最终制造矛盾与冲突，在冲突中寻找规律，验证猜想，经历知识的形成过程。学生情况：学生在二年级学习乘法口诀时已经掌握了1——9的口诀，对积的特征有了一定的了解，为学习2、5、3数的特征打下了基础。为了了解学生对这部分知识掌握情况，我进行了前测：从前测的结果来看：（1）能被2和5整除数的特征掌握较好。学生对于能被2和5整除数的特征掌握较好，为研究“3的倍数的特征”做好了准备，学生能把研究“被2和5整除数的特征”的方法迁移到研究“3的倍数的特征”。（2）学生并没有掌握能被3整除的数的特征。尽管学生能写出一些3的倍数，但未真正掌握能被3整除的数的特征。这是因为所要求填的都是两位数，学生能通过除法计算很快算出来，而不是用3的倍数的特征去写的。我的思考：1、如何在课堂中成功地处理知识的迁移，以便更有利于学生的学习与研究？
2、如何提供利于学生探究的学习材料，让学生探究规律？教学方式：动手实践、小组合作交流教学手段：观察、分析、归纳总结、拓展技术准备：多媒体课件、小棒
教学目标
1、自主探索发现能被3整除的数的特征，并能正确判断一个数能否被3整除。2、经历猜想、实验、归纳、验证过程，培养初步的分析、综合、比较、抽象、概括和推导的能力。
3、培养学生的探索意识和创新品质。教学重难点：自主探索发现能被3整除的数的特征，并能正确判断一个数能否被3整除。
教学流程示意图
——情境设疑
提出猜想——自主探究
验证猜想——合作交流
归纳性质——总结提升
深化认识
教学过程(文字具体描述)
（一）情境设疑
提出猜想1.我们刚刚学过2、5的倍数的特征。现在请你们用5、6、7三个数字组成一个是2的倍数的三位数。师：为什么要把6放在个位上？2.同样用5、6、7三个数，组成是5的倍数的三位数师：你是怎么想的？3.判断一个数是否是2或5的倍数，只要看这个数的哪一位？4.我们知道了2、5的倍数的特征，请同学们大胆猜想一下，如何判断一个数是否是3的倍数？
师：这节课我们就来研究一下，3的倍数是否具有这些特征？
板书：3的倍数的特征【设计意图】：从旧知识入手，创设探究问题的情境，从判断、分析一个数是否是2、5的倍数及其特征，让学生大胆猜想如何判断一个数是否是3的倍数，把学生引入一种与问题相关的情境。通过创设问题情境，使学生明确目标，给思维以方向，同时，引起学生强烈的探究欲望，营造出良好的探究空间，顺利地实现知识的迁移。（二）自主探究
验证猜想第一阶段：观察表格，提出猜想
1、
百数表探究：请同桌的两个同学在百数表中用彩笔画出能被3整除的数，然后前后两组同学互相检查。2、
初步交流：师：请观察这个表格，你发现3的倍数有什么特征呢？把你的发现与同桌交流一下。3、学生汇报发现的规律：预设：（1）横向看，3的倍数相邻两个数都差3；每隔两个数出现一个3的倍数；（2）竖着看相邻两个数相差30；（3）斜着看相邻两个数相差9（4）斜着看一条一条斜线排列很有规律（5）斜着看各位的数字的和都相等；（6）各位上的数字的和是3的倍数；在学生经过充分观察的基础上，课件演示去掉无关因素的干扰，将学生发现的规律进行整理，再次印证刚才的发现：一条斜线上各个数位上的数字之和分别是多少？小组汇报：一个楼梯上各个数位上的数字之和分别是3、6、9、12、15、18……这些数都是3的倍数吗？4、现在谁能归纳一下3的倍数有什么特征呢？一个数各个数位上数字之和是3的倍数，这个数就一定是3的倍数。【设计意图】
这个表格为学生的学习，构造了典型的分析材料；创设了探究的情景；激发了活跃的思维。从而使得从对统计数据的表象分析，过渡到数学语言的具体表达上来。
过渡：刚才是从100以内数中发现了规律，得出了3的倍数的特征，如果是三位数甚至更大的数，3的倍数的特征是否也相同呢?
第二阶段：操作实践、拓展验证
1、下面我们用摆小棒的实验来验证3的倍数的特征好吗？你们想不想自己来探究呢？让我们一起来做个小棒摆数的游戏。请同学们拿出实验记录表。实验的方法是这样的：用小棒在数位表上摆数。把１根小棒放在个位上表示1，放在十位上表示10，放在百位上表示100，每摆出一个数，就把数记在相应的格上，并判断一下这个数是否是3的倍数。如果是就在相应的格中打“√”，如果不能，就打“
×”2、你们真聪明，一下子就掌握这个实验方法，下面分小组进行摆小棒的实验。你们要分工协作，充分发挥你们的特长，动手能力强的同学摆，计算能力强的算，书写工整的同学做记录。看哪一组实验完成得又快又好。学生用小棒在数位表上摆数判断填表。小棒根数摆的数字是否是3的倍数3456
老师巡视进行师生交流，并对学生即时提出的问题给予解答。
3、想一想：用哪几根小棒摆出的数是3的倍数？用哪几根小棒摆出的数不是3的倍数？摆出的数与小棒的根数有什么联系？能被3整除的数有什么特征？
4、请各小组汇报实验情况。用3根、6根、9根、12根小棒摆出的数都能被3整除，再摆3的倍数需要几根？用4、5、7、8、10、11根小棒摆出的数都不能被3整除（1）摆出3的倍数的小棒根数有什么特征？（2）3的倍数各数位上的数与小棒的根数有什么关系？预设：生1：小棒的根数与3成倍数关系。生2：凡是小棒的根数能被3整除的，摆出的数就能被3整除。生3：摆出的数的各个位上的数加起来的和刚好等于小棒的根数。第三阶段：归纳概括、总结规律小棍的根数不变，也就是摆出数的数字和不变，如果小棍的根数是3的倍数，那么摆出的数也就是3的倍数。一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。【设计意图】：通过摆小棒，学生发现3的倍数数与小棒的个数有关。如果小棒的个数是3的倍数，无论怎样摆，所摆成的数都是3的倍数。这样做不仅仅是为了使学生获取有限的数学知识，更重要的是让学生学习获取知识的方法，学会主动参与数学实践的本领。下面就来运用3的倍数的特征来解决下面的问题。（三）巩固反馈，灵活运用：1．判断哪些数是3的倍数：
207
891
83
54
147
222
1932．你知道327是3的倍数，根据这个数，还能说出别的数吗？此题再一次帮助学生理解：只要数字和不变，是3的倍数，这些数就是3的倍数。3．在□中填几，这个数是3的倍数：□7
□44
□42
（指导思路，要填全）4．灵活运用，拓展提升：（1）小明家的电话号码是6687992。（2）老师的手机号码15010099980。对于位数比较多的数还可以怎样判断呢？先划去3的倍数的数字；再划凑成3的倍数的数字；最后剩下的数字相加，看能否被3整除。【设计意图】练习不仅是对新授知的巩固应用，我们还可以在练习时设置思维障碍，不断引起学生的认知冲突。学生在力所能及的范围内，跳起来摘果子，刷新自我，体验成功的喜悦。判断较大数能否被3整除，运用“划数字”法进行判断能否被3整除，比把各位上数字的相加来判断显得简单。（四）总结提升：同学们，这节课你有什么收获？预设：学习了能被3整除的数的特征，并运用能被3整除的数的特征来判断一个数能否被3整除。还学会了用弃3法判断很简单。师：关于3的倍数的特征的概括，由此你能联想到一些什么问题？①
能被3整除数的特征对于被9整除的数是否适用
？②
这种方法都对哪些数适用等？希望同学们今后能灵活地运用能被2、3、5整除的数的特征来解决实际问题。这些问题我们可以课下研究研究。板书：能被3整除的数的特征 一个数的各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。
学习效果评价设计
评价方式通过动手操作自主探究，然后与同桌交流，彰显不同学生不同的思维方式和解决问题的策略，关注学生是否充分经历了解决问题的过程，培养学生思维和语言表达能力。做练习让学生运用新知解决生活中简单的实际问题，在解决问题中注意具体问题具体分析，从而灵活解决问题。评价效果
本课的教学设计，通过创设问题情境，使学生在大胆的猜想中产生认知冲突，自己的猜想在经过验证后不成功，就要寻找新的解决问题的方法，从而有效地激发了学生探究新知识的欲望，营造了良好的探究空间。教学中，教师给学生提供足够多的机会，去反思、体验探究发现的过程，增强学生主动参与探究，自主构建新知，懂得了新知识形成发展的过程。通过小组合作学习、师生、生生之间的互动交流，学生体验到主动获取知识的愉悦，增强了学生学习的兴趣。这样，不仅使学生很好地掌握了新知识，而且还学会了如何去学习新知识的方法。
本次教学设计最突出的特点或特色
如何改变学生的学习方式，提高学习效果呢？我通过运用多种教学策略，选取不同学习素材，引导学生自主探究，自主发展，收到了很好的教学效果。1、有效运用多种教学策略，激学生自主探究。本节课有效教学策略：引导学生自主探究的策略，利用学生经验学习数学的策略，利用数与形相结合的策略，抽象概括的策略，渗透数学思想的教学策略。这些策略的运用，有效地发挥出学生的主体作用，使学生在多种思维的碰撞中，显露着生机，闪动着智慧，感受着情趣。2、为学生提供了展示的舞台以学生发展为本是我们开展教学工作的指导思想。本节课课中自主探究、研讨交流、课后拓展延伸，老师都尽量做到“勇敢的退，适时的进”，目的就是为学生提供更多的展示机会。
