(共21张PPT)
25.2
随机事件的概率（5）
—列表法列举所有机会均等的结果
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．
下面我们来做一个小游戏，规则如下：
老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？
复习回顾
例1同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1)两枚两面一样；
(2)一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上；
①
②
用列举法求概率
合作学习
“掷两枚硬币”所有结果如下：
正正
正反
反正
反反
①
②
①
②
①
②
①
②
合作学习
解：
（1）两枚硬币两面一样包括两面都是正面，两面都是反面，共两种情形；所以学生赢的概率是
（2）一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上,共有反正，正反两种情形；所以老师赢的概率是
∵P
(学生赢）=P
(老师赢）.
∴这个游戏是公平的.
合作学习
想一想
“同时掷两枚硬币”与“先后两次掷一枚硬币”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
随机事件“同时”与“先后”的关系：“两个相同的随机事件同时发生”与
“一个随机事件先后两次发生”的结果是一样的.
归纳
合作学习
列表法求概率
对于列举复杂事件的发生情况有什么更好的方法呢？
列表法
合作学习
怎样列表格？
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况,即n
列表法中表格构造特点:
说明：如果第一个因素包含2种情况；第二个因素包含3种情况；那么所有情况n=2×3=6
合作学习
例2同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同；
（2）两个骰子点数的和是9；
（3）至少有一个骰子的点数为2.
合作学习
合作探究
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两个骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
把两个骰子分别标记为第1个和第2个，列表如下：
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
第
一
个
第
二
个
(1,1)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(1,2)
(2,2)
(3,2)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(1,3)
(2,3)
(3,3)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(1,4)
(2,4)
(3,4)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(1,5)
(2,5)
(3,5)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(1,6)
(2,6)
(3,6)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
注意有序数对要统一顺序
合作学习
解：由列表得，同时掷两枚骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两枚骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则P（A）=
；
（2）满足两枚骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则P（B）=
；
（3）满足至少有一枚骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，则P（C）=
.
列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验结果是一种有效的方法.
提示
合作学习
我们发现：
与前面掷硬币问题一样，“同时掷两个质地相同的骰子”与“把一个骰子掷两次”，所得到的结果没有变化.
所以，当试验涉及两个因素时，可以“分步”对问题进行分析.
想一想
“同时掷两枚骰子”与“先后两次掷一枚骰子”，这两种试验的所有可能结果一样吗？
合作学习
第一步：列表格；
第二步：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m；
第三步：代入概率公式
计算事件的概率.
列表法求概率的基本步骤
合作学习
对应练习
对应练习
例3
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，求两次摸出的球为（1）都是红球；（2）都是白球；（3）一红一白的概率.
（1）P（红红）=
?
（2）P（白白）=
?
（3）P（红红）=
?
如果不放回，如何列表？，
由上表可知，所有等可能的情况有9种，都是红球的结果有1种，都是白球的结果有4种，一红一白的结果有4种。
第1个球
第2个球
红
白1
白2
红
白1
白2
红
红
白1
红
白2
红
红
白1
白1
白1
白2
白1
红
白2
白1
白2
白2
白2
【解】由题意，列表如下：
对应练习
（课本153页练习2）同时投掷两枚普通的正四面体骰子，求下列事件的概率.
（1）所得点数之和恰为偶数；
（2）所得点数之和恰为奇数；
（3）所得点数之和恰为质数.
例4
投掷两枚普通的正方体骰子，掷得的点数之积有多少种可能？点数之积为多少时概率最大？
【解】
由题意，列表如下：
第1枚
积
第2枚
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
2
4
6
8
10
12
3
6
9
12
15
18
4
8
12
16
20
24
5
10
15
20
25
30
6
12
18
24
30
36
点数之积共有_____种可能，
36
点数之积为_______时概率最大，
6和12
P（积为6）=P（积为12）=
?
1.列表法对于列举涉及两个因素或分两步进行的试验结果是一种有效的方法.
第一步：列表格；
第二步：在所有可能情况n中,再找到满足条件的事件的个数m；
第三步：代入概率公式
计算事件的概率.
2.列表法求概率的基本步骤
知识概括(共13张PPT)
25.2
随机事件的概率（3）
—频率与概率
知识回顾
概率计算公式：
P（A）=
频率计算公式：
频率=
什么是频数与频率？
考察中，每个对象出现的次数叫做频数.而每个对象出现的次数与总次数的比值叫做频率.
知识探索
50%
试验得出的频率与理论分析计算出的概率一致.
前面我们做过抛一枚硬币的试验发现：“出现正面”的频率稳定在______附近，概率求出为_______.
问题1
问题2
抛掷两枚硬币，“出现两个正面”.
（1）通过试验，发现“出现两个正面”的频率稳定在25%附近.
（2）你能用理论分析求出“出现两个正面”的概率吗？
硬币1
硬币2
正
反
正
反
正正
正反
反正
反反
出现机会均等的结果有_______种，“出现两个正面”结果有______种.
4
1
P（出现两个正面）=
试验得到的频率与理论分析计算出的概率有何关系？
这种方法称为列表法求概率
也可用如下方法求概率：
开始
硬币1
正
反
硬币2
正
反
正
反
P（出现两个正面）=
树状图
知识概括
在随机事件中，一方面，我们可以通过分析用计算的方法预测概率，另一方面，也可以通过重复试验用频率来估计概率.
P（转盘甲指针停在蓝色区域）=
P（转盘乙指针停在蓝色区域）=
问题3
用力旋转如图的转盘甲和转盘乙的指针，如果想让指针停在蓝色区域额，那么选哪个转盘成功的概率较大？
转盘甲
转盘乙
选两个转盘成功的概率一样大.
思考
你能计算出如图转盘指针停在红色区域的概率吗？
P（指针停在红色区域）=
将一枚图钉随意向上抛起，求图钉落定后钉尖触地的概率。
问题4
1.一枚图钉被抛起后落地的结果有几种？
两种：“钉尖朝上”或“钉尖触地”.
2.你能用理论分析的方法计算出“钉尖触地”的概率？
不能.由于图钉的形状比较特殊，我们无法用分析的方法预测P（钉尖朝上）与P（钉尖朝下）的数值.
这样的话，我们就只能用重复试验的方法来估计P（钉尖触地）
通过小组合作，分别记录抛掷40次、80次、120次、160次、200次、240次、280次、320次、360次、400次、440次、180次后出现钉尖触地的频数和频率，列出统计表，绘制折线图。
抛图钉次数
40
80
120
160
200
240
280
320
钉尖触地的频数
20
37
50
69
88
105
125
146
钉尖触地的频率
50.0%
46.3%
41.7%
43.1%
44.0%
43.8%
44.6%
45.6%
抛图钉次数
360
400
440
480
520
560
600
640
钉尖触地的频数
163
183
196
219
228
248
269
285
钉尖触地的频率
45.3%
45.8%
44.5%
45.6%
43.8%
44.3%
44.7%
44.5%
抛图钉次数
680
720
760
800
840
880
920
960
钉尖触地的频数
305
328
347
366
383
401
421
445
钉尖触地的频率
44.9%
45.6%
45.7%
45.6%
45.6%
45.6%
45.8%
46.4%
抛掷次数
频率
可以看出，当试验进行到720次以后，所得频率值就在46％上下浮动，所以，我们可以取46％作为这个事件概率的估计值．即P（钉尖触地）≈46%.
思考
如果使用的图钉形状分别是如图所示的两种，那么两种图钉钉尖触地的概率相同吗？
不相同
注意:通过重复试验用频率估计概率，
必须要求试验的条件相同.
练习
（课本147页练习）用力旋转如图的转盘甲和转盘乙的指针，求两个指针都停在红色区域的概率.
转盘甲
转盘乙
【解】
在转盘甲中，P（指针停在红色区域）=
在转盘乙中，P（指针停在红色区域）=
知识小结
这节课你收获了几何？
频率与概率关系：
用事件的频率估计事件
发生的概率的试验条件：(共11张PPT)
25.2
随机事件的概率（1）
—概率及其意义
知识回顾
1.抛掷一枚普通硬币仅有两种可能的结果：____________或__________.“出现正面”的频率为__________.
“出现正面”
“出现反面”
0.5
2.抛掷一枚正四面体骰子，四个顶点分别标有1、2、3、4，抛掷“4”的频率为__________.
0.25
概括
知识点1
概率的意义
一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，用P（事件）表示.
?
?
试一试
游戏
关注的结果
频率稳定值
所有机会均等的结果
关注的结果发生的概率
抛掷一枚硬币
出现正面
投掷一枚正四面体骰子
掷得“4”
投掷一枚正方体骰子
掷得“6”
从一副没有大小王扑克牌中随机地抽一张
抽得黑桃
0.5左右
出现正面；出现反面
0.25左右
掷得“1”；“2”；“3”；“4”；“5”；“6”
0.17左右
掷得“1”；“2”；“3”；“4”；
0.25左右
抽得黑桃；
红桃；梅花；方块
你知道如何求事件发生的概率了吗？
概括
知识点2
概率的计算公式
?
试一试
1.投掷手中的一枚普通的正四面体骰子，“出现数字1”的概
率是________.
2.口袋里有8个红球,3个黑球,2个白球,每个球除颜色外都相
同,从中任取一个,则P(取到红球)=
＿＿,P(取到黑球)=＿＿.
3.从一副52张的扑克牌（除去大小王）中任抽一张，
（1）P
（抽到红心）
=
；
（2）P
（抽到不是红心）=______；
（3）P
（抽到红心3）=_______；
（4）P
（抽到5）=
.
问题
?
?
也有同学说：它表示每6次就有1次掷得“6”,你同意
这种说法吗？
错误.概率表示的是事件发生的可能性，并不是一定是掷6次，就一定发生1次掷得“6”.
正确。出现等可能的结果有6种，而出现“6”就只有1种，所以，出现“6”的概率是
注意
概率是反映随机事件发生的可能性的大小，但不能肯定是否发生，反映的是一种趋势.
练习
1.（课本139页练习）一枚质地均匀的正八面体骰子的八个面上分别标有数字1、2、3、4、5、6、7、8.投掷这枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果.
（1）掷得“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？
?
（2）抛掷的数不是“7”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？
?
（3）抛掷的数小于或等于“6”的概率等于多少？这个数值表示什么意思？
?
观察（1）、（2）的概率，你能得出什么结论？
一个事件发生的各种等可能的概率之和等于1
2.下列事件是什么事件？它们发生的概率是多少？
（1）每天太阳从西边落下.
（2）在一个装有5个红球、3个黑球、2的白球的袋子中摸到绿球.
必然事件，
概率为1.
不可能事件，
概率为0.
你能总结事件发生的概率的取值范围吗？
知识点3
概率的取值范围
0≤P(A)≤1.
当A为不可能事件时，P(A)=0;当A为必然事件时，P(A)=1.
知识小结
这节课收获了些什么？
事件发生的概率：
一个事件发生的可能性就叫做该事件的概率，用P（事件）表示.
概率的计算公式：
?
概率的取值范围：
0≤P(A)≤1(共10张PPT)
25.2
随机事件的概率（2）
—简单事件概率的计算
知识回顾
1.概率计算公式：P（A）=
_____________________
2.在分别写有1到20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片.试求以下事件的概率.
（1）该卡片上的数字是5的倍数的概率是_______；
（2）该卡片上的数字不是5的倍数__________.
3、掷一枚普通正六面体骰子，求出下列事件出现的概率：
（
1
）点数是3的概率为_____;
（
3
）点数小于5的概率为_____;
（
5
）点数大于6的概率为_____.
例题解析
班级里有20位女同学和22位男同学，班上每位同学的名字都被分别写在一张小纸条上，放入一个盒中搅匀.如果老师随机地从盒中取出1张纸条，那么抽到男同学名字的概率大还是抽到女同学名字的概率大？
例1
P（抽到男同学的名字）=
P（抽到女同学的名字）=
所以抽到男同学的概率大.
【解】
思考
?
如果重复抽很多次的话，那么平均每抽21次有11次抽到“男同学的名字”.
2.P（抽到女同学的名字）+P（抽到男同学的名字）=100%吗？如果改变男女同学的人数，这个关系还成立吗？
等于100%.
仍然成立.
?
不同意.男同学人数比女同学人数多，发生的概率要大.
练习
（课本141页练习）袋中装有大小相同的3个绿球、3个黑球和6个篮球，从袋中任意摸出1个球，分别求以下各个事件发生的概率：
（1）摸出的球的颜色为绿色；
（2）摸出的球的颜色为白色；
（3）摸出的球的颜色为蓝色；
（4）摸出的球的颜色为黑色；
（5）摸出的球的颜色为黑色或绿色；
（6）摸出的球的颜色为蓝色、黑色或绿色.
【解】
?
?
?
?
?
?
例2
一个布袋中放着8个红球和16个黑球，这两种球除了颜色以外没有任何其他区别.布袋中的球已经搅匀.从布袋中任意取1个球，取出黑球与取出红球的概率分别是多少？
【解】
P（取出黑球）=
P（取出红球）=
还有其他方法没有？
?
在分别写有1到20的20张小卡片中，随机地抽出1张卡片.试求以下事件的概率.
（1）该卡片上的数字是3的倍数；
（2）该卡片上的数字不是3的倍数.
练习
【解】
P（3的倍数）=
P（不是3的倍数）=
例3
甲袋中放着22个红球和8个黑球，乙袋中放着200个红球、80个黑球和10个白球.三种球除了颜色以外没有任何其他区别.两袋中的球都已经各自搅匀.从袋中任取1个球，如果你想取出1个黑球，选哪个袋成功的机会大？
【解】
在甲袋中，P（取出黑球）=
在乙袋中，P（取出黑球）=
?
所以，选乙袋成功的机会大.
练习
一个不透明的玻璃箱中装有大小相同的1个蓝球、2个黑球、3个红球和4个黄球，闭上眼从玻璃箱中摸出一个球，想一想以下4个事件发生的概率是多少？
（1）摸出的球颜色为红色；
P（摸出红球）=
（2）摸出的球颜色为黄色；
P（摸出黄球）=
?
（3）摸出的球颜色为蓝色；
P（摸出蓝球）=
（4）摸出的球颜色为黑色.
P（摸出黑球）=
?
中考一试
?
?
知识小结
通过本节课的学习，你能正确
求出简单随机事件的概率吗？说
说看！(共14张PPT)
25.2
随机事件的概率（4）
—用树状图法列举所有机会均等的结果
知识回顾
1.什么是概率？
表示一个事件发生的可能性的大小的这个数，叫做该事件的概率。
2.概率的计算公式是什么？
P（事件发生）＝
所有机会均等的结果的个数
关注的结果的个数
3.计算概率最关键的有两点：
(1)要清楚我们关注的是发生哪个或哪些结果；
(2)要清楚所有机会均等的结果.
知识探索
在前面我们已经学过：
1.抛掷一枚硬币，P（出现正面）=________.
1.抛掷一枚硬币2次（或2枚硬币），
P（正正）=_____,P（正反）=______,P（反反）=______.
开始
正
反
第1次
正
反
反
正
第2次
涉及2步或2步以上的随机事件，用树状图或列表来找所有等可能结果，才不易重复和遗漏.
例题解析
抛掷一枚普通硬币3次，有人说“连续掷出三个正面”和“先掷出两个正面，再掷出一个反面”是一样多的，你同意吗？
例1
思路分析：
“先掷出两个正面，再掷出一个反面”
“两个正面，一个反面”
一样不？
≠
【解】
开始
正
第1次
第2次
第3次
反
正
反
正
反
正
正
反
正
反
正
反
反
反
P(正正
正）=
P(正正
反）=
说法正确.
知识探索
你能总结出画树状图的步骤吗？
①把第一个因素所有可能的结果列举出来.
②随着事件的发展,把在第一个列出的每一种
可能上都会发生第二个因素的所有可能结果
列举出来.
③随着事件的发展,把在第二步列出的每一个
可能上都会发生第三个因素的所有可能结果
列举出来，以此类推.
例2
口袋中装有1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出1个球，放回搅匀，再摸出第2个球，求两次摸出的球为（1）都是红球；（2）都是白球；（3）一红一白的概率.
【解】由题意，画树状图如下：
开始
第1个球
红
白1
白2
第2个球
红
白1
白2
红
白1
白2
红
白1
白2
（1）P（红红）=
（2）P（白白）=
（3）P（红红）=
如果不放回，树状图怎样画？，
由上图可知，所有等可能的情况有9种，都是红球的结果有1种，都是白球的结果有4种，一红一白的结果有4种。
对应练习
（课本153页练习1）在完全相同的三张白纸片上分别画出边长相等的正方形和正三角形，然后放在盒子里搅匀，闭上眼睛任取两张，看纸片上的图案能拼成菱形还是能拼成房子.预测一下拼成房子的概率有多大？
1
2
开始
【解】
第1张
1
2
第2张
1
2
2
1
P（拼成房子）=
注意区分放回与否结果完全不一样哦！
在“石头、剪刀、布”的游戏中，规定：“石头”胜“剪刀”，“剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”.求一次比赛中甲乙两人做同样手势（即不分胜负）的概率.
【解】
树状图为：
开始
甲
石头
布
剪刀
乙
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
石头
剪刀
布
P（不分胜负）=
对应练习
甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢?他们决定用
“石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头”
“剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头”
胜“剪刀”,
“剪刀”胜“布”,
“布”胜“石头”.
问一次比赛能淘汰一人的概率是多少?
石
剪
布
石
开始
甲
丙
乙
石
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
剪
布
解:由题意，画树状图如下：
对应练习
由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可能性相等.
由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪”、“剪剪布”、“布布石”三类.
而满足条件(记为事件A)的结果有9种
∴P(A)=
1
3
=
9
27
1.某校有A、B两个餐厅，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一个餐厅用餐。
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一个餐厅用餐的概率；
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有一人在B餐厅用餐的概率。
拓展练习
2.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行
（2）两辆车右转，一辆车左转
（3）至少有两辆车左转
左
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
直
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
由题意，画树状图如下：
知识概括
树状图
适
用
分2步（或2次）以上才能完成的随机事件.
画树状图的步骤
