北师大版八年级数学下册课件：4.1 因式分解（16张）

第四章 因式分解
1 因式分解
知识回顾
问题1：21能被哪些数整除？
1，3，7，21.
问题2：你是怎样想到的？
因为21=1×21=3×7.
思考：既然有些数能分解因数，那么类似地，有些多项式可以分解成几个整式的积吗？
可以.
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993－99能被100整除吗？你是怎样想的？与同伴交流.
小明是这样做的:
993－99
＝99×992－99×1
＝99(992－1)
＝99×9 800
＝98×99×100.
所以，993－ 99能被100整除.
在这里，解决问题的关键是把一个数式化成了几个数
的积的形式.
993－99还能被哪些正整数整除？
议一议
你能尝试把a3－a化成几个整式的乘积的形式吗？与同伴交流.
解： a3-a
=a·a2-a·1
=a(a2-1)
=a(a+1) (a-1).
你是怎么想的呢？你如何检查做的是否正确呢？
做一做 观察下面拼图过程，写出相应的关系式.
a
b
c
m
m
m
a+b+c
m
x
x
x
1
1
1
1
x
ma+mb+mc
=
m(a+b+c)
x2+x+x+1
=
(x+1)2
x+1
x+1
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解. 例如，a3－a＝ a (a＋1)(a－1)，am＋bm＋cm＝m(a＋b＋c)，x2＋2x＋l＝(x＋1)2都是因式分解. 因式分解也可称为分解因式.
整式乘法与因式分解的关系：
整式乘法与因式分解一个是积化和差，另一个是和差化积，是两种互逆的变形．
即：多项式 整式乘积．
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
和差化积
整式乘法
积化和差
例题讲解
例1 下列各式从左到右的变形属于因式分解的是(　　)
A．a2＋1＝a(a＋ )
B．(x＋1)(x－1)＝x2－1
C．a2＋a－5＝(a－2)(a＋3)＋1
D．x2y＋xy2＝xy(x＋y)
D
分解因式的要求：
1.分解的结果最后是积的形式；
2.每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于多项式的次数；
3.必须分解到每个因式不能再分解为止
例2 若多项式x2+ax+b分解因式的结果为a(x﹣2)(x+3)，
求a，b的值.
解：∵x2+ax+b=a(x﹣2)(x+3)
=ax2+ax-6a，
∴a=1，b=﹣6a=﹣6.
方法归纳：掌握因式分解与整式乘法为互逆运算
随堂演练
1.下列各式由左到右的变形中,属于因式分解的是(　　) A.a(m+n)=am+an B.a2-b2-c2=(a-b)(a+b)-c2 C.10x2-5x=5x(2x-1) D.x2-xy+y2=(x-y)2
C
3.下列多项式因式分解的结果是2x(x-3)的是(　　) A.6x-2x2 B.2x2+6x C.2x2-6x D.-2x2-6x
C
3. 因为(a－2)2＝a2－4a＋4，所以a2－4a＋4可因式分解为_________．
(a－2)2
4. 把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，
则a= ，b=___
-2
-3
5.如图所示,由一个边长为a的小正方形与两个长、宽分别为a,b的小长方形拼接成一个大长方形,则利用整个图形可表达出一些有关多项式因式分解的等式,请你写出任意一个表示因式分解的等式:　　　　　　　 .
a2+2ab=a(a+2b)
6. 甲、乙两个同学分解因式x2+ax+b时，甲看错了b，分解结果为(x+2)(x+4)；乙看错了a，分解结果为(x+1)(x+9).求a+b的值.
解：分解因式甲看错了b，但a是正确的，
其分解结果为x2+ax+b=(x+2)(x+4)=x2+6x+8，
∴a=6.
同理，乙看错了a，但b是正确的，
分解结果为x2+ax+b=(x+1)(x+9)=x2+10x+9，
∴b=9.
∴a+b=15．
课堂小结
因式分解
定义：把一个多项式化成几个整式的_____的形式，叫做因式分解，也可称为___________
其中，每个整式叫做这个多项式的_______
与整式乘法运算的关系
的变形过程
前者是把一个多项式化为几个整式的_____，后者是把几个整式的______化为一个_________
积
分解因式
因式
互逆
多项式
乘积
乘积