第22章 第1课时 22.1一元二次方程-华东师大版九年级数学上册课件（24张）

第22章 第1课时
22.1 一元二次方程
一、课前导学
【热身训练】
1.一元一次方程中的“一元”是指________，“一次”是指______ __，一元一次方程左右两边都是 的形式.
2.一元一次方程的一般形式是________.
3.什么是一元一次方程的根？
一个未知数
未知数的次数为1
????????+????=????(????≠????)
?
整式
使方程两边左右相等的未知数的值
【自主学习】
1.关于x的方程????????2?3????=????2?????????+2是一元二次方程，m应满足什么条件？
.
2.将方程8?2????5?2????=18化为一般形式为
， 其中的二次项系数是 、一次项系数是 、常数项是 ．
?
????≠????
?
?????????????????????????+????????=????
?
????
?
?????????
?
????????
?
3.已知????=2是一元二次方程????2+????????+2=0的一个根，则m的值为 。
?
????=?????
?
二、探究与合作
探究点1：一元二次方程的概念及一般形式
1.列方程
问题1：有一块矩形的铁皮，长为100 cm，宽为50 cm，在它的四个角分别切去一个相同的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖的长方体盒子．如果要制作的无盖长方体盒子的底面积是3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？
x
解：设应切去边长为xcm正方形。
由题知可列方程： ，
整理得： .
??????????????????????????????????????=????????????????
?
?????????????????????+????????????=????
?
问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参加比赛？
解：设 .
由题知可列方程： ，
整理得： .
比赛组织者应邀请x个队参加比赛
????(?????????)????=????????
?
??????????????????????=????
?
问题3：一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边多宽?
你怎么解决这个问题？
解：如果设花边的宽为xm ,那么地毯中央长方形图案的长为 m,宽为　　　 m,根据题意,可得方程：
（8－2x）
（5－2x）
(8 － 2x) (5 － 2x) = 18.
5
x
x
x
x
（8－2x）
（5－2x）
8
18m2
数学化
由上面三个问题，我们可以得到三个方程：
(8-2x)(5-2x)=18;
即 2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .
上面四个方程整理后含有 ___未知数,它们的最高次数
是 ___ ,等号两边是 __ 式。
一个
2
整
★.判断一个方程是否是一元二次方程不能只看表面、而是能化简必须先化简、然后再查看这个方程未知数的最高次数是否是2。
2.探究交流
判断下列方程是否为一元二次方程？
(1)x2+x =36
(2) x3+ x2=36
(3)x+3y=36
(5) x+1=0
?
?
?
?
?
?
?
?
3.一般形式
类比一元一次方程的一般形式，你能写出一元二次方程的一般形式并说出各项的名称以及一元二次方程的根的定义吗？
一般形式： ，其中 是二次项， 是一次项， 是常数项.
????????????+????????+????=????(????≠????)
?
????????????
?
????????
?
????
?
【及时反馈一】
1.判断下列方程：
①3????2+7=0；②????????2+????????+????=0；
③?????2????+5=????2?1；④3????2?5????=0；
⑤2????2+3?????1；⑥2????2?1=3????；
⑦关于y的方程????2+1????2+2?????1????+5?????=0。
是一元二次方程的有 。
?
①⑦
2.将方程3?????????1=5(????+2)化为一般形式为
，其中二次项系数为 、
一次项系数为 和常数项为 .
?
??????????????????????????????=????
?
????
?
?????
?
?????????
?
3.关于x的方程2?????4????2?2????+????=0
(1)在什么条件下，此方程为一元一次方程？
(2)什么条件下，此方程为一元二次方程？
?
解：由题意可得：
?????????????=????
解得：????=????
∴当????=????时，此方程为一元二次方程。
?
解：由题意可得：
?????????????≠????
解得：????≠????
∴当????≠????时，此方程为一元二次方程。
?
4.若关于x的方程?????1????????+1??????2=0是一元二次方程，求k的值.
?
解：由题意可得：
????+????=?????????????≠?????
解得：????=?????
∴当????=?????时，此方程为一元二次方程。
?
5.若????2????+?????3?????????????+1=0是关于x的一元二次方程，求a、b的值。
?
解：由题意可得：
????????+????=?????????????=?????或????????+????=?????????????=?????或????????+????=?????????????=?????或????????+????=?????????????=?????或????????+????=?????????????=?????
?
解得：????=????????????=??????????或????=????????=?????或????=????????????=????????或????=????????=??????或????=????????????=??????????
?
探究点2：一元二次方程的解
1.类比一元一次方程的解的定义，你能得出一元二次方程的解吗？
叫做一元二次方程的根，也就是方程的解．
使一元二次方程左、右两边相等的未知数的值
2.已知关于x的方程????2+?????????2=0的一个解与方程????+1=3(?????1)的解相同，求k的值。
?
解：∵ ????+????=????(?????????)
∴ ????=????
∴由题意可得： ????+?????????????=????
解得：????=?????
?
【及时反馈二】
1.若????=0是关于x的一元二次方程?????1????2+3????+????2?1=0的根，则k的值为 。
2.若关于x的一元二次方程????????2+????????+????=0有一个根为1，则????+????+????= ;若?????????+????=0，则方程必有一根为 。
?
????=?????
?
????
?
????=?????
?
探究点3：根据实际问题列一元二次方程
现有一张正方形纸片，长19cm，宽15cm。需要剪去边长是多少的小正方形，才能将其做成底面积为81????????2的无盖长方体盒子？
?
设需要剪去的小正方形的边长为xcm，则盒子底面长方形长为 cm，宽为 cm，由题意，得 ，整理，得
。
(?????????????????)
?
(?????????????????)
?
??????????????????????????????????=????????
?
?????????????????????+????????=????
?
【及时反馈三】
在矩形场地的中央修建一个正方形花坛，花坛四周的面积与花坛面积相等。如果矩形场地的长比花坛的边长长6m，宽比花坛的边长宽4m，求正方形花坛的边长（只列方程，不求解）
解：设求正方形花坛的边长为xcm，
则由题意可得：????????=????????(????+????)(????+????)
?
1.一元二次方程的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。
2、一元二次方程的一般形式
一般地,任何一个关于x 的一元二次方程都可以
化为 的形式,我们把
(a,b,c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式。
3、能使方程左右两边相等的未知数的值就叫方程的解。只含有一个未知数的方程的解也叫做根
课堂小结