华东师大版九年级数学下册课件：26.2.3　求二次函数的表达式（15张）

26.2.3 求二次函数的表达式
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1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？
2个
2个
待定系数法
(1)设：（表达式）
(2)代：（坐标代入）
(3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
获取新知
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线AOB）的薄壳屋顶，它的拱长AB为4m，拱高CO为0.8m．
施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢？
想一想
如图，以点O 为原点，以AB的垂直平分线为y轴，以1cm为单位长度，建立平面直角坐标系。这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可以设抛物线对应的二次函数表达式为
y=ax2(a<0)
因为，AB与x轴相交于点C，
所以，CB是AB的一半，为2m，
OC=0.8m,所以B（2，-0.8）
将B的坐标带入解析式得a=-0.2

所以 ，函数表达式为 y=-0.2x2 ，根据这个函数表达式，容易画出模板的轮廓线。
例1 一个二次函数的图象经点 (0, 1)，它的顶点坐标为(8,9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为(8,9)，因此，可以设函数表达式为
y=a(x-8)2+9.
又由于它的图象经过点(0 ,1)，可得 0=a(0-8)2+9.
解得
∴所求的二次函数的解析式是
例题讲解
设顶点式求二次函数的表达式，通常有以下三种情况：
①已知顶点坐标；
②已知对称轴或顶点的横坐标；
③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标．
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-h)2+k；
②先代入顶点坐标，得到关于a的一元一次方程；
③将另一点的坐标代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
解： ∵（-3，0）（-1，0）是抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点.所以可设这个二次函数的表达式是y=a(x-x1)(x-x2).(其中x1、x2为交点的横坐标.因此得
y=a(x+3)(x+1).
再把点（0，-3）代入上式得
∴ a(0+3)(0+1)=-3，
解得a=-1，
∴所求的二次函数的表达式是y=-(x+3)(x+1),即y=-x2-4x-3.
例2 一个二次函数经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），求这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-1
-2
-3
-4
-5
1
2
交点法求二次函数表达式的方法
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的方法叫做交点法.
其步骤是：
①设函数表达式是y=a(x-x1)(x-x2)；
②先把两交点的横坐标x1,x2代入到表达式中，得到关于a的一元一次方程；
③将方程的解代入原方程求出a值；
④a用数值换掉，写出函数表达式.
例3 一个二次函数的图象经点 (0, 1)， (2, 4)， (3, 10)三点，求这个二次函数的表达式.
解： 设这个二次函数的表达式y=ax2+bx+c,由这个函数图像经过（0，1），可得 c=1又由于其图像经过（2，4），（3，10）可得
4a+2b+1=0，
9a+3b+1=0，
解得
a= ，
b=- ，
∴所求的二次函数的表达式是
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其步骤是：
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
一般式法求二次函数表达式的方法
随堂演练
2.若当x=1时,某二次函数有最大值5,且该二次函数的图象
与y轴交于点(0,2),则其表达式为 .
1.若抛物线y=ax2+bx+c经过点(-1,12),(0,5)和(2,-3),
则a+b+c的值为 .
y=-3x2+6x+2
0
3.抛物线y=-x2+bx+c如图所示,则b+c的值等于 ( )
A.8 B.9
C.10 D.11
B
4.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－4，－3)，与y轴交于点B，对称轴是x＝－3，求抛物线的表达式
解：(1)把点A(－4，－3)代入y＝x2＋bx＋c
得16－4b＋c＝－3，c－4b＝－19.
∵对称轴是x＝－3，∴ ＝－3，
∴b＝6，∴c＝5，
∴抛物线的表达式是y＝x2＋6x＋5；
课堂小结
①已知三点坐标
②已知顶点坐标或对称轴或最值
③已知抛物线与x轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y=ax2+bx+c
用顶点法：y=a(x-h)2+k
用交点法：y=a(x-x1)(x-x2)
(x1,x2为交点的横坐标）
待定系数法
求二次函数解析式