华东师大版九年级数学下册课件：27.1 .2 圆的对称性（34张）

27.1 .2 圆的对称性
情境导入
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
获取新知
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
用折叠的方法
●O
圆的对称性1：
圆是轴对称图形，其对称轴是直径所在的直线
问题3：1.将圆绕圆心旋转180°后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
.
O
A
B
180°
所以圆是中心对称图形，对称中心是圆心
问题4：把圆绕圆心旋转任意一个角度呢？
仍与原来的圆重合吗？
·
性质：把圆绕圆心旋转任意一个角度后，仍与原来的圆重合．（圆具有旋转不变性）
圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
·
O
B
A
∠AOB为圆心角
圆心角∠AOB所对的弦为AB，所对的弧为AB.
⌒
在同圆中探究
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，那么，AB与CD，弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
⌒
⌒
·
O
A
B
C
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么，AB=CD，弦AB=弦CD
⌒
⌒
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现的等量关系是否依然成立？为什么？
·
O
A
B
C
·
O'
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
┐
E
·
┐
F
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
例题讲解
解：
∵
例1 如图，AB是⊙O 的直径， ∠COD=35°，求∠AOE 的度数．
·
A
O
B
C
D
E
随堂演练
1．如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
2.弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 　.
D
60 °
3.在同圆中，圆心角∠AOB=2∠COD,则AB与CD的关系是（ ）
⌒ ⌒
A
A. AB=2CD
⌒ ⌒
B. AB>CD
⌒ ⌒
C. AB⌒ ⌒
D. 不能确定
课堂小结
圆心角
圆心角
相等
弧
相等
弦
相等
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
27.1.2 圆的对称性
第2课时 垂径定理
情景导入
问题:你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
获取新知
如图, AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD丄AB，垂足为P.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，
其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关
系？说一说你的理由.
（1）此图是轴对称图形，对称轴是直径CD所在的直线
（2）AP=BP， AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，垂足为P. 求证：AP=BP， AC =BC，AD =BD.
⌒
⌒
⌒
⌒
证明：连接OA、OB、CA、CB，则OA=OB.
即△AOB是等腰三角形.
∵AB⊥CD，
∴AP=BP，∠AOC=∠BOC.
⌒
⌒
AC =BC.
∴AD =BD
⌒
⌒
从而∠AOD=∠BOD.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，CD⊥AB，(条件)
∴ AM=BM，AC =BC,AD =BD.(结论)
⌒
⌒
⌒
⌒
如图, AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD， 交AB于点M.
（1）图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？
说一说你的理由.
是，对称轴是直径CD所在的直线
CD⊥AB，AC=BC，AD=BD
⌒
⌒
⌒
⌒
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AP=BP.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
⌒
⌒
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC，AD =BD.
解：（1）连接AO,BO,则AO=BO,
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE（SSS），
∴∠AEO=∠BEO=90°，
∴CD⊥AB.
⌒
⌒
⌒
⌒
垂径定理的逆定理
平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
用几何语言表述为：
∵ CD是直径，AP=BP，(条件)
∴ AB⊥CD，AC =BC，AD =BD.(结论)
⌒
⌒
⌒
⌒
?
垂径定理的本质是:
知二得三
（1）一条直线过圆心
（2）这条直线垂直于弦
（3）这条直线平分不是直径的弦
（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧
（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧
例题讲解
例1 你知道赵州桥吗? 它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
A
B
O
C
D
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
∵
A
B
O
C
D
例2 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径约为545m.
● O
C
D
E
F
┗
随堂演练
1.下列说法中,不正确的是(　　) A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形 B.圆绕着它的圆心旋转任意角度,都会与自身重合 C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个 D.圆的每一条直径都是它的对称轴
D
2.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是(　　)
A．CM＝DM B. CB＝DB
C．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB
⌒
⌒
D
3. 如图，⊙O的直径CD＝10 cm，AB是⊙O的弦，AM＝BM，OM∶OC＝3∶5，则AB的长为(　　)
A．8 cm　　
cm　　
C．6 cm　　
D．2 cm
A
4.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___
4
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
理由：过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE。
∴ AE－CE＝BE－DE
即 AC＝BD.
解：AC=BD
O
.
A
C
D
B
E
课堂小结
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径;作弦心距
构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.
基本图形及变式图形