人教版八年级数学上册教学课件-11.2.2 三角形的外角（30张）

三角形的外角及其性质
人教版数学八年级上册第十一章
情境引入
学习目标
1.理解并掌握三角形的外角的概念．
2.能够在能够复杂图形中找出外角.（难点）
3.掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角
的和及三角形的外角和．（重点）
4.会利用三角形的外角性质解决问题.
导入新课
复习引入
1.什么是三角形的内角？其内角和等于多少？
三角形相邻两边组成的角叫作三角形的内角， 三角形的和是180 °
2.如图，在△ABC中， ∠A=70°, ∠B=60°, 则∠ACB= ，∠ACD= .
50°
130°
A
B
C
D
70°
60°
50°
B
D
C
A
40 °
70 °
？
●
●
●
问题：周末李明打算去看望生病的好友张强，他从家A处出发，打算去附近的C处超市，给李明买礼物，然后再折回到B处张强家，已知∠BAC=40°,∠ABC=70°,李明从C处要转多少度才能直达B处？
探究新知
知识点 1
三角形的外角的概念
利用“三角形的内角和为180°”来求∠BCD，你会吗？
思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？猜想它的性质.
这节课让我们一起来探讨吧.
B
D
C
A
40 °
70 °
？
●
●
●
由三角形内角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，
所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.
探究新知
70 °
110 °
看一看观察∠ACD的特征：
①∠ACD的顶点是 ；
②一边AC是 ；
③另一边CD是 。
探究新知
在三角形的一个顶点上
三角形的一条边
三角形中一条边的延长线
A
B
C
D
定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD，像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
探究新知
三角形的外角的概念
问题1 如图∠ACD是△ABC的一个外角，那么延长AC到E，∠BCE是不是△ABC的一个外角？∠DCE是不是△ABC的一个外角？
E
在三角形每个顶点处都有两个外角.
∠ACD 与∠BCE为对顶角，∠ACD =∠BCE；
C
B
A
D
∠DCE不是△ABC的一个外角
问题2 如图，∠ACD与∠BCE有什么关系？在三角形的每个顶点处有多少个外角？
探究新知
∠ACD是△ABC的一个外角
∠BCE是△ABC的一个外角
A
B
C
画一画 画出△ABC的所有外角，共有几个呢?
1、每一个三角形都有6个外角；
2、每一个顶点相对应的外角都有2个，且这2个角为对顶角。
3、这6个外角中有3对外角相等。
4、每个外角与相应的内角是邻补角。
4
3
2
1
5
6
探究新知
三角形的外角应具备的条件：
①角的顶点是三角形的顶点；
②角的一边是三角形的一边；
③另一边是三角形中一边的延长线.
∠ACD是△ABC的一个外角
C
B
A
D
每一个三角形都有6个外角．
探究新知
总结归纳
如图,∠BEC是哪个三角形的外角？
练一练
∠AEC是哪个三角形的外角？
∠EFD是哪个三角形的外角？
F
B
E
A
C
D
是△AEC
是△AEC
是△BEF和△DCF
（1）图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
探究新知
知识点 2
三角形的外角的性质
E
A
B
C
D
三角形的外角
相邻的内角
外角ACD的两个不相邻的内角
三角形内角
（2）若∠BAC=55°，∠B=60°，试求∠ACB，∠ACD，∠CAE，的度数，并说出你的理由？
探究新知
三角形的外角的性质
E
A
B
C
D
解：在△ABC中，由三角形的内角和180°得
∠BAC+∠B+∠ACB=180°
∠ACB=180°-∠BAC-∠B
=180°-55°-60°=65°
55°
60°
115°
125°
65°
∠ACD=180°-∠ACB=115°
∠CAE=180°-∠BAC=125°
想一想:
通过上面的计算，你发现∠ACD，∠CAE与三角形的内角之间有怎样的数量关系？请你试着用自己的语言说一说，你能简述一下推到过程吗？
探究新知
三角形的外角的性质
E
A
B
C
D
55°
60°
115°
125°
65°
∠ACD=∠BAC+∠B ;
∠ACD+∠ACB=180°;
∠ACD＞∠BAC，∠ACD＞∠B
∠CAE=∠B+∠ACB ;
∠CAE+∠BAC=180°;
∠CAE＞∠B，∠CAE＞∠ACB
猜想：
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
你能用作平行线的方法证明以上结论吗？
探究新知
D
证明：过C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（两直线平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（两直线平行，内错角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如图，△ABC，求证：∠ACD=∠A+∠B.
验证结论
三角形内角和定理推论1：
A
B
C
D
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
应用格式：
∵ ∠ACD是△ABC的一个外角
∴ ∠ACD= ∠A+ ∠B.
知识要点
三角形内角和定理的推论2：
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。
应用格式：
∵在△ABC中，∠ACD是△ABC的一个外角。
∴∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.
例1 如图,∠A=42°,∠ABD=28°,∠ACE=18°,
求∠BEC、∠BFC的度数.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角，
∴ ∠BEC= ∠A+ ∠ACE，
∵∠A=42° ，∠ACE=18°，
∴ ∠BEC=60°.
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∴ ∠BFC= ∠ABD+ ∠BEF，
∵ ∠ABD=28° ，∠BEC=60°，
∴ ∠BFC=88°.
解：
F
A
C
D
E
B
探究新知
知识点 3
利用三角形外角的性质求角的度数
42°
28°
18°
练一练：说出下列图形中∠1和∠2的度数：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
巩固练习
练一练：把图形中∠1、∠2、∠3按照由大到小的顺序排列
∠1 ＞ ∠2 ＞ ∠3
巩固练习
3
2
1
（1）在一个三角形花坛的外圈走一圈，在每一个拐弯的地方都转了一个角度（∠1，∠2，∠3），那么回到原来的位置时（方向与出发时相同），一共走了多少度？
探究新知
知识点 4
三角形三个外角的和是360°
注意：我们讲三角形的外角和时，是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加，得到的和称为三角形的外角和。
如图: ∠1+ ∠2+ ∠3就是△ABC的外角和。
思考： ∠1+∠2+∠3= ？度
例题2：如图△ABC中，有∠1， ∠2， ∠3，三个外角，求∠1+ ∠2+ ∠3的度数？
典例精析
B
C
A
1
2
3
解：由三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。得：
∠1=∠ABC+∠ACB,
∠2=∠BAC+∠ACB,
∠3=∠BAC+∠ABC,
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180° （三角形内角和为180°）
∠1+∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC,
∠1+∠2+∠3=2（∠ABC+∠BCA+∠ACB）=360°
你还有其他解法吗？
解法二：
解：三角形的一个外角与它相邻的内角互补。
典例精析
∠1+∠BAC=180°,
∠2+∠ABC=180°,
∠3+∠ACB=180°,
三个式子相加得：
∠1+∠BAC+∠2+∠ABC+
∠3+∠ACB=540°,
∵∠ABC+∠BCA+∠ACB=180°
（三角形内角和为180°）
∴∠1+∠2+∠3=360°
你能有作平行线的方法证明以上结论吗？
B
C
A
1
2
3
解法三：过A作AD平行于BC，
∠3＝ ∠4
B
C
1
2
3
4
A
∠2＝ ∠BAD，
所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠4＋ ∠BAD=360°
D
∠2＋ ∠ 3＝ ∠ 4＋∠BAD，
结论：三角形的外角和等于360°.
思考 你能总结出三角形的外角和的数量关系吗？
E
F
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍. （ ）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角. （ ）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
当堂练习
是在三角形的每一个顶点处取一个外角相加
与它不相邻的两个内角
任何一个与它不相邻的内角
2、如图D是△ABC的BC边上一点，
∠B=∠BAD, ∠ADC=80°，
∠BAC=70°，
求：1）∠B 的度数， 2）∠C的度数。
在△ABC中：
∠B+∠BAC+∠C=180°
∠C=180?-40?-70?=70°
解：∵ ∠ADC是△ABD的外角
∴ ∠ADC=∠B+∠BAD=80°
∵ ∠B=∠BAD
∴∠B=80?×
=40°
40°
A
B
C
D
70°
80°
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180?,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180?.
3.如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数.
能力提升：
1
2
3
B
A
C
P
N
M
D
E
F
4.如图，试求出∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F
=________.
360°
能力提升：
三角形的外角
定义
角一边必须是三角形的一边，另一边必须是三角形另一边的延长线
性质
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的外角和
三角形的外角和等于360 °
课堂小结
祝同学们学习进步
再见