人教版数学九年级上册第二十一章《21.2.3因式分解法》课件（共21张PPT）

第二十一章 二元一次方程
人教版数学九年级上册
21.2.3 因式分解法
学习目标
1.能用因式分解法解一些一元二次方程；能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。
2.能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性。
3.在探究因式分解法解方程的过程中体会转化、降次的数学思想。
4.知道因分解式法是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法，它避免了复杂的计算，提高了解题速度和准确程度。
同学们，这个阶段我们一直都在学习研究如何解一元二次方程，那至此已经学过几种解一元二次方程的解法了？
导入新知
因式分解的方法：
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
公式法：
提公因式法：
利用平方差公式 和完全平方公式
分解因式.
十字相乘法：
简单来讲就是，十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项，其实就是运用乘法公式 (x+a)(x+b)=x?+(a+b)x+ab 的逆运算来进行因式分解.
解一元二次方程的方法：
直接开平方法：
直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.
用直接开平方法解形如 的方程，
其解为
配方法：
把一元二次方程移项之后，在等式两边都加上一次项系数的一半的平方（配方），使方程一边是完全平方式，另一边是常数，当此常数是非负数时，直接开平方求解.
公式法：
把一元二次方程化成一般形式，然后计算判别式 Δ=b2-4ac 的值，当 b2-4ac≥0 时，把各项系数 a，b，c 的值代入求根公式 x= 就可得到方程的根.
观察方程 10x－4.9x2＝0，它有什么特点？你能根据它的特点找到更简便的方法吗？
两个因式的积等于零
至少有一个因式为零
10x - 4.9x 2 = 0
x1 = 0，x2 =
x = 0
或　10 - 4.9x = 0
x(10 - 4.9x) = 0
因式分解法的依据：如果 a·b=0，那么 a=0 或 b=0．
合作探究
解方程10x－4.9x2＝0时，二次方程是如何降为一次的？
可以发现，上面的解法中，不是用开平方降次，而是先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．
例1 解方程：x(x－2)＋x－2＝0.
解：



因式分解，得
(x－2)(x＋1)＝0.
于是得
x－2＝0，或x＋1＝0，
x1＝2，x2＝－1.
转化为两个一元一次方程
例2 解方程：
移项、合并同类项，得
4x2－1＝0.
因式分解，得
(2x＋1)(2x－1)＝0.
于是得
2x＋1＝0，或 2x－1＝0，
解：
用因式分解法解一元二次方程的步骤：
1.移项：将方程化为一般形式；
2.分解：将方程的左边分解为两个一次式的乘积；
3.转化：令每一个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；
4.求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解.
不能随意在方程的两边约去含未知数的代数式，如 x(x-1)=x， 若约去 x，则会导致丢掉 x=0 这个根.
常见的可以用因式分解法求解的方程的类型：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}常见类型
因式分解
方程的解
x2+bx=0
x(x+b)=0
x1=0，x2=-b
x2-a2=0
(x-a) (x+a)=0
x1=-a，x2=a
x2±2ax+a2=0
x2+(a+b)x+ab=0
(a，b为常数)
(x+a)(x+b)=0
x1=-a，x2=-b
（1）因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握分解因式的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.”
（2）因式分解法，突出了转化的思想方法，鲜明地显示了“二次”转化为“一次”的过程.
（3）在解一元二次方程的时候，要具体情况具体分析，选择合适的解一元二次方程的方法.
解：(1)因式分解，得x(x＋1)＝0，
于是得x＝0，或x＋1＝0，
即x1＝0，x2＝－1.
1.解下列方程：
(1) x2＋x＝0； (2) (3) 3x2－6x＝－3.
典型例题
解：(2)因式分解，得x(x－ )＝0，
于是得x＝0，或x－ ＝0，
解得x1＝0，x2＝ .
(3)移项，化简，得x2－2x＋1＝0，
因式分解，得(x－1)2＝0，
于是得x－1＝0，即x1＝x2＝1.
2.解下列方程：
(1) x2＋x＝0； (2) (3) 3x2－6x＝－3.
1.用因式分解法解下列方程：
(1) 3x2-12x＝-12； (2) 3x(x-1)＝2(x-1).
解：(1) 方程整理为 x2-4x+4=0，
(x-2)2=0，
所以 x1=x2=2.
?
课堂练习
2.如图，把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积扩大了一倍，求小圆形场地的半径.
?
3.解方程：2(x-3)=3x(x-3).
?
4.用因式分解法解下列方程：
(1) (x-5) (x-6)=x-5； (2) 16(x-3)2-25(x-2)2=0.
解：(1)移项，得 (x-5) (x-6)- (x-5) =0，
因式分解，得 (x-5) (x-6-1)=0，
所以 x-5=0 或 x-6-1=0，
所以 x1=5，x2=7.
5.用因式分解法解下列方程：
(1) (x-5) (x-6)=x-5； (2) 16(x-3)2-25(x-2)2=0.
?
6.由多项式乘法：(x + a)(x + b)=x2+(a + b)x + ab，将该式从右到左使用，即可得到“十字相乘法”进行因式分解的公式： x2+(a + b) x+ ab = (x + a) (x + b).
示例：分解因式：x2+5x+6=x2+(2+3)x+2×3=(x+2)(x+3).
(1)尝试：
分解因式：x2+6x+8=(x+ )(x+ )；
(2)应用：请用上述方法解方程：x2-3x-4=0.
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解：（2）由 x2-3x-4=0得 (x-4)(x+1)=0，
所以 x-4=0 或 x+1=0，
所以 x1=4，x2=-1.
再 见