用列举法求概率
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口袋中一红三黑共4个小球,一次从中取出两个小球,求“取出的小球都是黑球”的概率
用列举法求概率
解：一次从口袋中取出两个小球时，所有可能出现的结果共6个，即
（红，黑1）（红，黑2）（红，黑3）
（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3）
且它们出现的可能性相等。
满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有3个，即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则
P（A）= =
例题5
中考点击
课堂小结
思考一
例题6
思考二
直接列举
数学病院
用下图所示的转盘进行“配紫色”游戏，游戏者获胜的概率是多少？
刘华的思考过程如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下：
开始
灰
蓝 （灰，蓝）
绿 （灰，绿）
黄 （灰，黄）
白
蓝 （白，蓝）
绿 （白，绿）
黄 （白，黄）
红
蓝 （红，蓝）
绿 （红，绿）
黄 （红，黄）
你认为她的想法对吗，为什么？
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏者获胜的概率为1∕9 。
用树状图或列表法求概率时，各种结果出现的可能性务必相同。
用树状图和列表的方法求概率的前提是:
各种结果出现的可能性务必相同.
注意：
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同
(2)两个骰子的点数之和是9
(3)至少有一个骰子的点数为2
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课堂小结
思考一
例题6
思考二
例题5
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用列举法求概率
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则
P（A）= =
（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则
P（B）= =
（3）满足至少有一个骰子的点数为 2（记为事件C）的结果有11个，则
P（C）=
第
一
个
第
二
个
例题5
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
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课堂小结
思考一
例题6
思考二
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用列举法求概率
思考一
2.如果把上一个例题中的“同时掷两个骰子”改为
“把一个骰子掷两次”, 所有可能出现的结果有
变化吗？
当一次试验涉及两个因素时,且可能出现的结果较多时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.
1.什么时候用“列表法”方便？
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例题5
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思考二
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用列举法求概率
改动后所有可能出现的结果没有变化
在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第
一
张
第
二
张
解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件A）的结果有14个，则
P（A）= =
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例题5
思考一
例题6
思考二
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用列举法求概率
例题6
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;
乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C、D和E;
丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I.
从3个口袋中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
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例题5
思考一
思考二
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用列举法求概率
本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
例题6
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B; 乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C、D和E; 丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I. 从3个口袋中各随机地取出1个小球.
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
解：由树形图得，所有可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等.
（1）满足只有一个元音字母的结果有5个，则 P（一个元音）=
满足只有两个元音字母的结果有4个,则 P（两个元音）= =
满足三个全部为元音字母的结果有1个,则 P（三个元音）=
（2）满足全是辅音字母的结果有2个，则 P（三个辅音）= =
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例题5
思考一
思考二
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用列举法求概率
思考二
想一想,什么时候用“列表法”方便,什么时候用“树形图”方便
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第
一
个
第
二
个
当一次试验涉及两个因素时,且可能出现的结果较多时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时,列表法就不方便了,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用树形图.
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例题5
思考一
例题6
课堂小结
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用列举法求概率
思考二
巩固练习:
在一个盒子中有质地均匀的3个小球,其中两个小球都涂着红色,另一个小球涂着黑色,则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便
1.从盒子中取出一个小球,小球是红球
2.从盒子中每次取出一个小球,取出后再放回,取出两球的颜色相同
3.从盒子中每次取出一个小球,取出后再放回,连取了三次,三个小球的颜色都相同
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例题5
思考一
例题6
课堂小结
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用列举法求概率
直接列举
列表法或树形图
树形图
1.小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？
解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则
B1
A1
B2
A2
开始
A2
B1
B2
A1
B1
B2
A1
A1
B2
A1
A2
B1
所以穿相同一双袜子的概率为
练习
课堂小结
这节课我们学习了哪些内容？
通过学习你有什么收获？
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例题5
思考一
例题6
思考二
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用列举法求概率
中考点击
1.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项,若某学生不知道正确答案就瞎猜,则这两道题恰好全部被猜对的概率是（ ）
A. B. C. D.
2.如图,小明的奶奶家到学校有3条路可走,学校到小明的外婆家也有3条路可走,若小明要从奶奶家经学校到外婆家,不同的走法共有________种
1
4
1
2
1
8
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例题5
思考一
例题6
思考二
课堂小结
用列举法求概率
D
9
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
直
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个,它们出现的可能性相等.
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）=
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
P（两辆车右转，一辆车左转）= =
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则 P（至少有两辆车左转）=
左
直
右
左
左
左
左
左
左
左
直
右
直
左
左
直
左
直
左
直
右
右
左
左
右
左
右
直
直
右
左
左
直
左
直
左
直
直
右
直
左
直
直
直
直
直
直
右
右
左
直
右
直
右
右
直
右
左
左
右
左
右
左
右
直
右
直
左
右
直
右
直
右
直
右
右
左
右
右
右
右
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例题5
思考一
例题6
思考二
课堂小结
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用列举法求概率
课堂总结:
用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况？
利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便.
用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数字的概率.
1
2
3
1
组数开始
百位
个位
十位
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
解:
由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的可能性相等.
其中恰有2个数字相同的结果有18个.
∴ P(恰有两个数字相同)=
18
27
2
3
=
例3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢 他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少
石
剪
布
石
游戏开始
甲
乙
丙
石
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
剪
布
解:
由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可能性相等.
由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” “剪剪布” “布布石”三类.
而满足条件(记为事件A)的结果有9种
∴ P(A)=
1
3
=
9
27
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口袋中一红三黑共4个小球,一次从中取出两个小球,求“取出的小球都是黑球”的概率
用列举法求概率
解：一次从口袋中取出两个小球时，所有可能出现的结果共6个，即
（红，黑1）（红，黑2）（红，黑3）
（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3）
且它们出现的可能性相等。
满足取出的小球都是黑球（记为事件A）的结果有3个，即（黑1，黑2）（黑1，黑3）（黑2，黑3） ， 则
P（A）= =
例题5
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思考一
例题6
思考二
直接列举
数学病院
用下图所示的转盘进行“配紫色”游戏，游戏者获胜的概率是多少？
刘华的思考过程如下：
随机转动两个转盘，所有可能出现的结果如下：
开始
灰
蓝 （灰，蓝）
绿 （灰，绿）
黄 （灰，黄）
白
蓝 （白，蓝）
绿 （白，绿）
黄 （白，黄）
红
蓝 （红，蓝）
绿 （红，绿）
黄 （红，黄）
你认为她的想法对吗，为什么？
总共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，而能够 配成紫色的结果只有一种： （红，蓝），故游戏者获胜的概率为1∕9 。
用树状图或列表法求概率时，各种结果出现的可能性务必相同。
用树状图和列表的方法求概率的前提是:
各种结果出现的可能性务必相同.
注意：
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
(1)两个骰子的点数相同
(2)两个骰子的点数之和是9
(3)至少有一个骰子的点数为2
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课堂小结
思考一
例题6
思考二
例题5
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用列举法求概率
同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：
（1）两个骰子的点数相同
（2）两个骰子的点数之和是9
（3）至少有一个骰子的点数为2
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，则
P（A）= =
（2）满足两个骰子的点数之和是9（记为事件B）的结果有4个，则
P（B）= =
（3）满足至少有一个骰子的点数为 2（记为事件C）的结果有11个，则
P（C）=
第
一
个
第
二
个
例题5
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
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思考一
例题6
思考二
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用列举法求概率
思考一
2.如果把上一个例题中的“同时掷两个骰子”改为
“把一个骰子掷两次”, 所有可能出现的结果有
变化吗？
当一次试验涉及两个因素时,且可能出现的结果较多时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.
1.什么时候用“列表法”方便？
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例题5
例题6
思考二
课堂小结
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用列举法求概率
改动后所有可能出现的结果没有变化
在6张卡片上分别写有1－6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字的概率是多少？
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第
一
张
第
二
张
解：由列表得，两次抽取卡片后，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字（记为事件A）的结果有14个，则
P（A）= =
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例题5
思考一
例题6
思考二
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用列举法求概率
例题6
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B;
乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C、D和E;
丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I.
从3个口袋中各随机地取出1个小球.
(1)取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？
(2)取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
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例题5
思考一
思考二
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用列举法求概率
本题中元音字母: A E I 辅音字母: B C D H
例题6
甲口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母A和B; 乙口袋中装有3个相同的小球,它们分别写有字母C、D和E; 丙口袋中装有2个相同的小球,它们分别写有字母H和I. 从3个口袋中各随机地取出1个小球.
（1）取出的3个小球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别是多少？ （2）取出的3个小球上全是辅音字母的概率是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
解：由树形图得，所有可能出现的结果有12个，它们出现的可能性相等.
（1）满足只有一个元音字母的结果有5个，则 P（一个元音）=
满足只有两个元音字母的结果有4个,则 P（两个元音）= =
满足三个全部为元音字母的结果有1个,则 P（三个元音）=
（2）满足全是辅音字母的结果有2个，则 P（三个辅音）= =
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例题5
思考一
思考二
课堂小结
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用列举法求概率
思考二
想一想,什么时候用“列表法”方便,什么时候用“树形图”方便
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第
一
个
第
二
个
当一次试验涉及两个因素时,且可能出现的结果较多时,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用列表法.
当一次试验涉及3个因素或3个以上的因素时,列表法就不方便了,为不重复不遗漏地列出所有可能的结果,通常用树形图.
复 习
例题5
思考一
例题6
课堂小结
中考点击
用列举法求概率
思考二
巩固练习:
在一个盒子中有质地均匀的3个小球,其中两个小球都涂着红色,另一个小球涂着黑色,则计算以下事件的概率选用哪种方法更方便
1.从盒子中取出一个小球,小球是红球
2.从盒子中每次取出一个小球,取出后再放回,取出两球的颜色相同
3.从盒子中每次取出一个小球,取出后再放回,连取了三次,三个小球的颜色都相同
复 习
例题5
思考一
例题6
课堂小结
中考点击
用列举法求概率
直接列举
列表法或树形图
树形图
1.小明是个小马虎,晚上睡觉时将两双不同的袜子放在床头，早上起床没看清随便穿了两只就去上学，问小明正好穿的是相同的一双袜子的概率是多少？
解：设两双袜子分别为A1、A2、B1、B2，则
B1
A1
B2
A2
开始
A2
B1
B2
A1
B1
B2
A1
A1
B2
A1
A2
B1
所以穿相同一双袜子的概率为
练习
课堂小结
这节课我们学习了哪些内容？
通过学习你有什么收获？
复 习
例题5
思考一
例题6
思考二
中考点击
用列举法求概率
中考点击
1.两道单项选择题都含有A、B、C、D四个选项,若某学生不知道正确答案就瞎猜,则这两道题恰好全部被猜对的概率是（ ）
A. B. C. D.
2.如图,小明的奶奶家到学校有3条路可走,学校到小明的外婆家也有3条路可走,若小明要从奶奶家经学校到外婆家,不同的走法共有________种
1
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1
2
1
8
复 习
例题5
思考一
例题6
思考二
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用列举法求概率
D
9
经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，同向而行的三辆汽车都经过这个十字路口时，求下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行（2）两辆车右转，一辆车左转（3）至少有两辆车左转
左
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
直
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
左
直
右
解：由树形图得，所有可能出现的结果有27个,它们出现的可能性相等.
（1）三辆车全部继续直行的结果有1个，则 P（三辆车全部继续直行）=
（2）两辆车右转，一辆车左转的结果有3个，则
P（两辆车右转，一辆车左转）= =
（3）至少有两辆车左转的结果有7个，则 P（至少有两辆车左转）=
左
直
右
左
左
左
左
左
左
左
直
右
直
左
左
直
左
直
左
直
右
右
左
左
右
左
右
直
直
右
左
左
直
左
直
左
直
直
右
直
左
直
直
直
直
直
直
右
右
左
直
右
直
右
右
直
右
左
左
右
左
右
左
右
直
右
直
左
右
直
右
直
右
直
右
右
左
右
右
右
右
复 习
例题5
思考一
例题6
思考二
课堂小结
中考点击
用列举法求概率
课堂总结:
用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况？
利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果;从而较方便地求出某些事件发生的概率.当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便.
用数字1、2、3,组成三位数,求其中恰有2个相同的数字的概率.
1
2
3
1
组数开始
百位
个位
十位
1
2
3
1
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
解:
由树形图可以看出,所有可能的结果有27种,它们出现的可能性相等.
其中恰有2个数字相同的结果有18个.
∴ P(恰有两个数字相同)=
18
27
2
3
=
例3.甲、乙、丙三人打乒乓球.由哪两人先打呢 他们决定用 “石头、剪刀、布”的游戏来决定,游戏时三人每次做“石头” “剪刀”“布”三种手势中的一种,规定“石头” 胜“剪刀”, “剪刀”胜“布”, “布”胜“石头”. 问一次比赛能淘汰一人的概率是多少
石
剪
布
石
游戏开始
甲
乙
丙
石
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
剪
布
石
剪
布
石
剪
布
剪
布
解:
由树形图可以看出,游戏的结果有27种,它们出现的可能性相等.
由规则可知,一次能淘汰一人的结果应是:“石石剪” “剪剪布” “布布石”三类.
而满足条件(记为事件A)的结果有9种
∴ P(A)=
1
3
=
9
27
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