华师大版 九年级下册数学 27.3圆中的计算问题 同步习题（Word版 含解析）

27.3圆中的计算问题
同步习题
一．选择题
1．如图，从一块半径为20cm的圆形铁皮上剪出一个圆心角是60°的扇形ABC，则此扇形围成的圆锥的侧面积为（　　）
A．200πcm2
B．100πcm2
C．100πcm2
D．50πcm2
2．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝4，以A为圆心，AC长为半径作弧，交AB于点D，则阴影部分的面积是（　　）
A．2π
B．8
C．8﹣2π
D．16﹣2π
3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以BC的中点O为圆心，OB的长为半径作半圆交AC于点D，若AD＝1，DC＝3，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．
B．
C．
D．3π﹣2
4．将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为120o的扇形，则（　　）
A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cm
B．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cm
C．圆锥形冰淇淋纸套的高为
D．圆锥形冰淇淋纸套的高为
5．如图，边长为4的正方形ABCD外切于圆O，则阴影部分面积为（　　）
A．2π﹣4
B．2π+4
C．15
D．14
6．如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径，画圆弧DE得到扇形DAE（阴影部分，点E在对角线AC上）．若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（　　）
A．
B．1
C．
D．
7．如图，已知点C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，弧CD的长为π，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．π
B．π
C．π
D．π+
8．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（　　）
A．10π
B．9π
C．8π
D．6π
9．在△ABC中，已知∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1．如图所示，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转90°后得到△AB′C′．则图中阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．π
10．如图，点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，∠C＝90°，∠A＝30°，以点O为旋转中心顺时针旋转△ABC得到△A1B1C1，若BC＝2，当BC∥A1C1时，图中弧BC1所构成的阴影部分面积为（　　）
A．
B．
C．
D．
二．填空题
11．如图，△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，若AB＝5，则图中阴影部分的面积为　
　．
12．如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．若∠CDE＝36°，则图中阴影部分的面积为　
　．
13．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为半径OA的中点，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，点E为弧AB的中点，连接CE、DE．若OA＝4，则阴影部分的面积为　
　．
14．圆锥的母线长为5，圆锥高为3，则该圆锥的侧面积为　
　．（结果保留π）
15．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），弧AA1是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；弧A1A2是以点O为圆心，OA2为半径的圆弧；弧A2A3是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧；弧A3A4是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B，O，C，A为圆心，按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…，称为正方形的“渐开线”，则点A2021的坐标是　
　．
三．解答题
16．如图，扇形OAB的半径OA＝4，圆心角∠AOB＝90°，点C是弧AB上异于A、B的一点，过点C作CD⊥OA于点D，作CE⊥OB于点E，连结DE，过点C作弧AB所在圆的切线CG交OA的延长线于点G．
（1）求证：∠CGO＝∠CDE；
（2）若∠CGD＝60°，求图中阴影部分的面积．
17．如图，已知AB，CD为⊙O的直径，过点A作弦AE垂直于直径CD于F，点B恰好为的中点，连接BC，BE．
（1）求证：AE＝BC；
（2）若AE＝2，求⊙O的半径；
（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积．
18．矩形ABCD的一边长AB＝4，且BC＞AB，以边AB为直径的圆O交对角线AC于H，AH＝2．如图，点K为优弧AKB上一点．
（Ⅰ）求∠HKA的度数；
（Ⅱ）求CH的长；
（Ⅲ）求图中阴影部分的面积；
（Ⅳ）设AK＝m，若圆O的圆周上到直线AK的距离为1的点有且仅有三个，求实数m的值．
参考答案
一．选择题
1．解：作OD⊥AB于D，如图，则AD＝BD，
∵∠OAD＝∠BAC＝30°，
∴OD＝OA＝10，AD＝OD＝10，
∴AB＝2AD＝20，
∴扇形围成的圆锥的侧面积＝＝200π（cm2）．
故选：A．
2．解：∵△ACB是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠A＝∠B＝45°，
∵AB＝4，
∴AC＝BC＝AB×sin45°＝4，
∴S△ACB＝＝8，S扇形ACD＝＝2π，
∴图中阴影部分的面积是8﹣2π．
故选：C．
3．解：连接OD、BD、作DE⊥BC于点E，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠DBC+∠BCD＝90°，
∵∠ABC＝90°，
∴∠A+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠DBC，
又∵∠ADB＝∠BDC，
∴△ADB∽△BDC，
∴，
∵AD＝1，DC＝3，
∴，
∴BD＝，
∴BC＝＝2，
∴∠DCB＝30°，OD＝OC＝，
∴∠DOC＝120°，
∵DE⊥BC，
∴DE＝1.5，
∴阴影部分的面积是：＝π﹣＝，
故选：A．
4．解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）
设圆锥的底面半径是r（cm）
则：2πr＝8π，解得：r＝4
即个圆淋的底面半径是4cm；
圆锥形冰淇淋纸套的高为＝8（cm）．
故选：C．
5．解：如图，连接HO，延长HO交BC于点P，
∵正方形ABCD外切于⊙O，
∴∠A＝∠B＝∠AHP＝90°，
∴四边形AHPB为矩形，
∴∠OPB＝90°，
又∠OFB＝90°，
∴点P与点F重合
则HF为⊙O的直径，
同理EG为⊙O的直径，
由∠D＝∠OGD＝∠OHD＝90°且OH＝OG知，四边形BGOH为正方形，
同理四边形OGCF、四边形OFBE、四边形OEAH均为正方形，
∴DH＝DG＝GC＝CF＝2，∠HGO＝∠FGO＝45°，
∴∠HGF＝90°，GH＝GF＝＝＝2，
则阴影部分面积＝S⊙O+S△HGF
＝?π?22+×2×2
＝2π+4，
故选：B．
6．解：设圆锥的底面圆的半径为r，
根据题意可知：
AD＝AE＝4，∠DAE＝45°，
底面圆的周长等于弧长：
∴2πr＝，
解得r＝．
答：该圆锥的底面圆的半径是．
故选：D．
7．解：连接CD、OC、OD．
∵C，D是以AB为直径的半圆的三等分点，
∴∠AOC＝∠COD＝∠DOB＝60°，AC＝CD，
又∵OA＝OC＝OD，
∴△OAC、△OCD是等边三角形，
∴∠AOC＝∠OCD，
∴CD∥AB，
∴S△ACD＝S△OCD，
∵弧CD的长为，
∴＝，
解得：r＝1，
∴S阴影＝S扇形OCD＝＝．
故选：A．
8．解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝10π
∴图中阴影部分的面积＝10π，
故选：A．
9．解：∵∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，
∴AB＝BC＝，AC＝2BC＝2，
∴图中阴影部分面积＝﹣﹣＝，
故选：B．
10．解：设A1C1与AB的交点为D，连接OC1，作DE⊥OC1于E，
∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，
∴AB＝2BC＝4，∠ABC＝60°，
∵点O为Rt△ABC的斜边AB的中点，
∴OC＝AB＝2，
∴OC1＝OA1＝2，
∴∠A1＝∠A1C1O＝30°，
∴∠A1OC1＝120°，
∵BC∥A1C1，
∴∠ADA1＝∠ABC＝60°，
∵∠A1＝∠A＝30°，
∴∠A1OD＝90°，
∴∠DOC1＝30°，
∴∠DOC1＝∠A1C1O，
∴OD＝DC1，
∴OE＝EC1＝1，
∴DE＝OE＝，
∴S阴影＝S扇形﹣S＝﹣＝﹣，
故选：A．
二．填空题
11．解：作DM⊥AB于M，
∵△ABC绕点A逆时针旋转45°得到△ADE，AB＝5，
∴△AED的面积＝△ABC的面积，∠BAD＝45°，AB＝AD＝5，
∴DM＝AD＝，
∴S△ABD＝＝×＝，
∵图中阴影部分的面积＝△AED的面积+△ADB的面积﹣△ABC的面积＝△ADB的面积，
∴S阴影＝，
故答案为：．
12．解：连接OC，
∵∠AOB＝90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴CD∥OE，
∴∠DEO＝∠CDE＝36°，
由矩形CDOE易得到△DOE≌△CEO，
∴∠COB＝∠DEO＝36°
∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC＝＝10π
∴图中阴影部分的面积＝10π，
故答案为10π．
13．解：如图，连接AB，CD，OE，OE交CD于J．
∵OC＝AC，OD＝DB，
∴CD∥AB，
∵＝，
∴OE⊥AB，
∴CD⊥OE，
∵OC＝OD＝2，
∴CJ＝OJ，
∵∠COD＝90°，
∴CD＝＝＝2，
∴S四边形OCED＝?CD?OE＝4，
∴S阴＝S扇形AOB﹣S四边形OCED＝?π?42﹣4＝4π﹣4，
故答案为：4π﹣4．
14．解：圆锥的底面圆的半径为＝4，
所以该圆锥的侧面积＝×2π×4×5＝20π．
故答案为20π．
15．解：A（1，1），
由题意得，A1（2，0），A2（0，﹣2），A3（﹣3，1），A4（1，5），
A5（6，0），A6（0，﹣6），A7（﹣7，1），A8（1，9）…，
∴A4n（1，4n+1），A4n+1（4n+2，0），A4n+2（0，﹣（4n+2）），A4n+3（﹣（4n+3），1）．
∵2021＝505×4+1，
∴A2021的坐标为（2022，0）．
故答案为：（2022，0）．
三．解答题
16．解：（1）连接OC交DE于F，
∵CD⊥OA，CE⊥OB，
∴∠CEO＝∠AOB＝∠CDO＝90°，
∴四边形CEOD是矩形，
∴CG＝DF＝EF＝OF，∠ECD＝90°，
∴∠FCD＝∠CDF，∠ECF+∠FCD＝90°，
∵CG是⊙O的切线，
∴∠OCG＝90°，
∴∠OCD+∠GCD＝90°，
∴∠ECF＝∠GCD，
∵∠DCG+∠CGD＝90°，
∴∠FCD＝∠CGD，
∴∠CGO＝∠CDE；
（2）由（1）知，∠CGD＝∠CDE＝60°，
∴∠DCO＝60°，
∴∠COD＝30°，
∵OC＝OA＝4，
∴CD＝2，OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝﹣2×2＝π﹣2．
17．（1）证明：连接BD，
∵AB，CD为⊙O的直径，
∴∠CBD＝∠AEB＝90°，
∵点B恰好为的中点，
∴＝，
∴∠A＝∠C，
∵∠ABE＝90°﹣∠A，∠CDB＝90°﹣∠C，
∴∠ABE＝∠CDB，
∴＝，
∴AE＝BC；
（2）解：∵过点A作弦AE垂直于直径CD于F，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴∠A＝∠ABE，
∴∠A＝30°，
在Rt△ABE中，cos∠A＝，
∴AB＝＝＝4，
∴⊙O的半径为2．
（3）连接OE，
∵∠A＝30°，
∴∠EOB＝60°，
∴△EOB是等边三角形，
∵OB＝OE＝2，
∴S△EOB＝×2×＝，
∴S阴＝S扇形﹣S△EOB＝﹣＝﹣．
18．解：（Ⅰ）连接BH，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AHB＝90°，
∵AB＝4，AH＝2，
∴sin∠ABH＝＝＝，
∴∠ABH＝30°，
∴∠HKA＝∠ABH＝30°；
（Ⅱ）∵∠AHB＝90°，∠ABH＝30°，
∴∠BAH＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝90°，
∴AC＝2AB＝8，
∴CH＝AC﹣AH＝6；
（Ⅲ）连接OH，则△AOH是等边三角形，
∴AO＝AH＝2，∠AOH＝60°，
过H作HE⊥AO于E，则HE＝，
∵AC＝8，CD＝AB＝4，
∴AD＝4，
∴图中阴影部分的面积＝×44﹣（﹣×2×）＝9﹣π；
（Ⅳ）过O作平行于AK的直线交⊙O于MN，过O作OP⊥AK于Q交⊙O于P，
∵⊙O的半径＝2，则PQ＝OQ＝1，
∵OA＝2，
∴AQ＝，
∴AK＝2AQ＝2，
∴m＝2．