《同角三角函数的基本关系》——（教学设计）
一、教材分析
教材的地位和作用：
《同角三角函数的基本关系》的内容是学习了三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。
教学目标
根据大纲要求，考虑到学生的接受能力和课容量，确定了本次课的教学目标：
A、知识与技能目标：通过观察猜想出两个公式，运用数形结合的思想让学生掌握公式的推导过程，理解同角三角函数的基本关系式，掌握基本关系式在两个方面的应用：1）已知一个角的一个三角函数值能求这个角的其他三角函数值；2）证明简单的三角恒等式。
B、过程与方法：培养学生观察——猜想——证明的科学思维方式；通过公式的推导过程培养学生数形结合的思想；通过求值、证明来培养学生逻辑推理能力；通过例题与练习提高学生动手能力、分析问题解决问题的能力以及其知识迁移能力。
C、情感、态度与价值观：经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。
D、核心素养：通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力。
3、教学重点和难点
根据《课程标准》，我将本节课的教学重点确立为：
重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
教学上结合我校学生真实情况我将本节课的教学难点确立为：
难点：1）对于“同角”的理解；
2）角α所在象限不定时对于三角函数值的讨论；
3）证明三角恒等式的一般思路，及公式在解题中的灵活运用。
二、教学流程
本节的教学流程由以下几个环节构成
三：课堂设计：
1.同角三角函数基本关系的建构
复习旧知—铺垫新知
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？
2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？
对于一个任意角α，sinα，cosα，tanα是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．
设计意图：带领学生回顾旧知识，为这节课解决新知识作准备。从理论出发，强调事物之间的联系，而建立初步印象，为下一步的教学做准备。
归纳证明—形成概念
思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？
设计意图：从已有的知识出发，类比探索知识的延展，得到合理的猜想，为发现新知奠定基础，体会由特殊到一般的数学思想。
思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
设计意图：通过讨论，感知并理解公式的使用条件，培养严谨的思维习惯。
思考3：设角α的终边与单位圆交于点P(x,y)，根据三角函数定义，有由此可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
设计意图：再一次强化定义，又让学生自己得出关系式，也有利于关系式的记忆。符合学生的认知过程。运用定义进行严格证明，是解决数学问题的常用方法。
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？
设计意图：通过讨论，感知并理解公式的使用条件，培养严谨的思维习惯。
思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
设计意图：让学生由符号语言转化为文字语言，既深化对公式的认识，又利于关系式的记忆。符合学生的认知过程。
①学生：写出几个特殊角的三角函数值，观察他们之间的关系。猜想之间的联系。
设计意图：从具体到抽象，引导学生完成抽象与具体之间的相互转换。
②思考：
问题1：从以上的过程中，你能发现什么一般规律？
问题2：你能否用代数式表示这两个规律？
设计意图：引导学生用特殊到一般的思维来处理问题，通过观察思考，感知同角三角函数的基本关系。
③强调：sin?α是（sinα）?并不是sinα
?
设计意图：解释式子中的简写形式，消除学生认知误区。
④证明公式：
回忆：任意角三角函数的定义？
如图：设α是一个任意角，它的
终边与单位圆交于点P（x，y）则：
sinα=y；cosα=x
直角三角形MPO中：
|MP|?+|OM|?=|OP|?，既x?+y?=1
所以：
sin?α+cos?α=1
设计意图：充分发挥学生的主观能动性，提高学生运用数形结合思想解决所遇见的问题。
辨析讨论—深化公式
思考1：对于平方关系sin2α+cos2α=1可作哪些变形？
思考2：对于商数关系
tan=可作哪些变形？
（师生活动：对于公式变式的认识，强调灵活运用公式的几大要点。）
设计意图：通过问题辨析与讨论，加深公式的理解，对公式的变形有初步认识。
温馨提示：⑴
注意“同角”，至于角的形式无关重要，如sin24?＋cos24?＝1等.
⑵注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的.
⑶
对这些关系式不仅要牢固掌握，还要能灵活运用（正用、反用、变形用）。
判断下列等式是否成立：
设计意图：辨析同角的概念，以便突破难点。
2.两个公式在计算三角函数值上的应用
（1）分析实例—应用公式
例1（P183例题6）：已知，sinα=
-3/5
，求cosα，tanα的值.
提问1：根据已知，可以先求哪一个值？通过那个公式求？
提问2：开平方取正负，是否都要？要哪一个？依据是什么？
教师在学生回答问题时，把学生回答的解题过程，写在黑板上。
设计意图：借助学生对于刚学习的知识所拥有的探求心理，让他们学习使用两个公式来求三角函数值。设计2个问题，层层递进，给出学生一种解题思路和思考方法。并把解题过程进行板书，以便让学生掌握解题的书写格式，和解题步骤。
注意：对于不知道α是第几象限角的情况，采用“符号看象限”及分类讨论的思想来处理。
变式训练：
思考1：提示：当角的象限范围在1种以上时，求其它值时要分象限分别求。
思考2：如何建立cosα与sinα的联系？如何建立他们与tanα的联系？
(找两名学生爬黑板演练。)
设计意图：例题分层设计，由简单到复杂，符合学生的认知过程，使学生易接受引导学生自主探
索，亲自体验解题思路的形成过程，学会分析问题，解决问题的方法，培养学生分类讨论的思想。同时使本节课的难点得以突破。跟踪练习2在解题方法上与前两道例题略有不同，设计该练习是为了进一步突出重点，给学生一个更全面的解题方法。同时也让学生更深刻的体会到解方程的思想。3道例题中计算较多，通过多练，也可以增强学生的计算技能。
方法总结：
一：若已知sinα或cosα，先通过平方关系得出另外一个三角函数值，再用商数关系求得tanα。
二：若已知tanα，先通过商数关系确定sinα与cosα的联系，再代入平方关系求得sinα与cosα。
注意：若α所在象限未定，应讨论α所在象限。
设计意图：利用之前三道题，共同总结两类问题的解决方法，培养学生归纳分析能力。
（2）动手操作—运用公式
练习：
方法总结：
关于sinα、cosα的齐次分式，可以弦化切，变形为关于tanα的式子。
注意”1”的妙用。
设计意图：两个公式的灵活使用，通过对公式正向、逆向、变式使用加深对公式的理解与认识。
3.公式在证明上的应用
公式变式—灵活运用
例3：（P19.例题7）
思考：是否还有其他的证明方法？
方法3：左边减去右边，如果等于零，则等式成立。
方法4：左边除以右边，如果等于一，则等式成立。(保证分母不为零)
设计意图：三角等式的证明方法很多，先让学生回想以前学过的方法，再结合本节课的两个关系，通过该题熟悉三角函数等式证明的思路和技巧。对例题适当归纳，从直观认识提升到理论的水平。
证明三角恒等式经常使用的方法：
1：从等式左边变形到右边；
2：从恒等式出发，转化到所要证明的等式上；
3：左边减去右边等于0；
4：左边除以右边等于1(保证分母不为零)。
（新课到此结束）
设计意图：总结证明方法，以便突破本节难点。
总结反思—提高认识
提出问题：
通过本节课的学习，你学会了哪两个公式？
学会了运用两个公式去处理什么类型的问题？
在解决遇见的两类问题时，应分别注意哪些方面的要点？
你能总结本节课的知识体系么？
（先有学生总结，老师再点拨）
设计意图：①回顾本节内容加强学生对本节内容知识体系的理解。
②通过小结使本节课的知识系统化，使学生深刻理解数学思想方法在解题中的地位和应用，培养学生认真总结的学习习惯。
5.布置作业—自主探究
一：书中P184页练习题10、11、12.
二：
探究题：已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα，cosα．
三：研究性学习：利用周末时间，查找课外资料了解同角三角函数的其他几个基本关系。
设计意图：课后复习本节内容的知识点，形成强化。
四、教法分析
在前节课的学习中，学生已经理解了任意角三角函数的定义，并且从图像与公式上应该有所发现，这节内容则是对他们直观感觉上的理解进行系统的研究，在这节课上我主要采用了以下的教法：
(1)“引导—探究式”教学方法。在引入公式方面，我通过几个特殊角三角函数值之间的关系，引导学生逐步猜想出公式，进而形成认识。再从理论出发，结合图像与定义，证明两个公式的正确性，培养了学生观察——猜想——证明的科学分析方法。
(2)采用讲练结合，从例题出发强调本节难点，让学生自行操作熟悉公式的运用。
（3）对于证明题，则在给出书中证明的同时，引导学生进一步分析，拓展学生对于证明简单三角恒等式的方法，提高其使用公式、处理问题的能力。
五、学法指导
对于高中的学生已经具备一定的自主探究和合作能力。教学中，安排学生以小组为单位讨论交流，对两个公式抽象概括，指导学生动手操作对公式进行证明，在处理了例题的基础上，让学生自行处理练习，培养他们运用知识的能力。从中体现出学生活跃的思维、浓厚的兴趣、强烈的参与意识和自主探究能力。
六、板书设计
在板书中突出本节重点，同时给学生留有作题的地方，整个板书充分体现了精讲多练的
教学方法。
（约需10分钟）
（约需15分钟）
（约需10分钟）
（约需3分钟）
公式推导
公式在求值上的应用
创设情境—感知概念
观察证明—形成概念
公式辨析—深化概念
动手操作—掌握公式
总结方法—深化公式
分析例题—应用公式
公式在证明上的应用
公式变式—灵活运用
总结反思—提高认识
布置作业—自主探究
（约需2分钟）
P（x，y）
O
x
y
M
1.2.2
同角三角函数的基本关系
同角三角函数基本关系
例1：┈┈┈
练习：
（公式1、公式2）
┈┈┈┈┈
2、求值时α应有所讨论
例2：┈┈┈
小结：
┈┈┈┈┈
例3：┈┈┈
（分析区域）(共25张PPT)
5.2.2同角三角函数的基本关系
1.任意角的正弦、余弦、正切函数分别是如何定义的？
P(x,y)
A(1,0)
x
y
α
O
一、复习引入
2.在单位圆中，任意角的正弦、余弦、正切函数线分别是什么？
P
O
x
y
M
A
T
3.对于一个任意角α，sinα，cosα，tanα是三个不同的三角函数，从联系的观点来看，三者之间应存在一定的内在联系，我们希望找出这种同角三角函数之间的基本关系，实现正弦、余弦、正切函数的互相转化，为进一步解决三角恒等变形问题提供理论依据．
思考1：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P，那么，正弦线MP和余弦线OM的长度有什么内在联系？由此能得到什么结论？
P
O
x
y
M
1
α
二、知识探究(一)：基本关系
思考2：上述关系反映了角α的正弦和余弦之间的内在联系，根据等式的特点，将它称为平方关系.那么当角α的终边在坐标轴上时，上述关系成立吗？
O
x
y
x
y
思考3：设角α的终边与单位圆交于点
，根据三角函数定义，有
由此
可得sinα，cosα，tanα满足什么关系？
思考4：上述关系称为商数关系，那么商数关系成立的条件是什么？
思考5：平方关系和商数关系是反映同一个角的三角函数之间的两个基本关系，它们都是恒等式，如何用文字语言描述这两个关系？
同一个角的正弦、余弦的商等于这个角的正切.
同一个角的正弦、余弦的平方和等于1
思考1：对于平方关系
可作哪些变形？
知识探究(二)：基本变形
思考2：对于商数关系
可作哪些变形？
注意
⑴
注意“同角”，至于角的形式无关重要，
如sin24?＋cos24?＝1等.
⑵注意这些关系式都是对于使它们有意义的角而言的.
⑶
对这些关系式不仅要牢固掌握，还要
能灵活运用（正用、反用、变形用）.
1
2
3
4
5
6
??
??
±
??
sin2a
+
cos2a
=
1
??
??
27
??
判断下列等式是否成立：
从而
解:因为
,
所以
是第三或第四象限角.
由
得
如果
是第三象限角,那么
如果
是第四象限角,那么
三、应用示例
分类讨论
1、已知
，求
例3
求证
恒等式证明常用方法?
基本思路:由繁到简
可以从左边往右边证，可以从右边往左边证，也可以证明等价式。
同角关系式的应用：
证明恒等式
例3．求证：
证明：
同角关系式的应用：
证明恒等式
证法一：
因为
因此
由原题知：
恒等变形的条件
分析法
证法二：
由原题知：
则
原式左边=
=右边
因此
恒等变形的条件
四、课堂小结:
同角三角函数的基本关系
两个公式
求三角函数值
化简三角函数式
注意：对α所在象限的讨论。
证明的方法及对于公式的灵活运用：正向使用、逆向使用、变形使用
本节课的知识体系:
四、课堂小结:
四、课堂小结:
1、在三角求值时，应注意：
①角所在象限；
②一般涉及到开方运算时要分类讨论。
在化简时应注意化简结果：
①涉及的三角函数名称较少；
②表达形式较简单。
2、证明恒等式时常用以下方法：
①从一边开始，证明它等于另一边；
②证明左右两边等于同一个式子；
③分析法，寻找等式成立的条件。
证明的指向一般是“由繁到简”。
五、布置作业
P184
10、11、12
