(共21张PPT)
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-2
0
θ/?C
t/h
某市一天24小时的气温变化图
y＝f(x)，x∈[0，24]
请问气温在哪段时间内是逐渐升高的或下降的?
一、探究概念——直观感知“形”
问题探究：
(1)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,
y=1,当x=2时,y=3,
那么y是否随着x的增大而增大？
x
y
2
1
0
1
3
一、探究概念——具体感知“数”
问题探究：
(2)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,
对应地y=1,2,3,5,
那么y是否随着x的增大而增大？
x
y
1
3
4
2
0
1
2
3
5
问题探究：
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1
对应地y1那么y是否随着x的增大而增大？
若x取无数个值呢？
x应该取区间D内的任意实数
x
y
0
xn
y1
y2
y3
yn
x2
x1
x3
任意性
文字语言:
当x≥0时，y随x的增大而增大；
x增大
y
增
大
x
0
1
2
3
…
…
…
f(x)=x2
…
…
…
图形语言:
图象从左到右是逐渐
f(x1)?x1,
x2∈[0,+∞),当x1<
x2时,都有
符号语言:
x1
x2
f(x1)
f(x2)
上升的；
有序性
同区间性
任意性
二、深度学习——精确刻画“性质”
0
1
4
9
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D?I:
如果
那么就称函数f(x)在区间D上单调递增.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.
?x1,
x2∈D，当x1如果函数y=f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间.
如果?x1,
x2∈D，当x1f(x2)，
那么就称函数f(x)在区间D上单调递减.
特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，
我们就称它是减函数.
f(x1)
f(x2)
x1
0
x2
x
y
f(x1)
f(x2)
x1
0
x2
x
y
同区间性
有序性
任意性
问题探究：
函数f(x)=
在定义域上的单调性？
单调区间为(-∞,0),(0,+∞)
注意：单调区间一般不能取并集，
应该用“和”或“,”连接
f(x)在(-∞,0)上单调递减
f(x)在定义域(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递减
f(x)在(0,+∞)上单调递减
√
×
函数f(x)在区间D上单调递增
(1)定义：
?x1,
x2∈D，当x1作差法
即x1-x2<0
(2)等价结论：
?x1,
x2∈D，当x1≠x2时，
等价于[x1-x2
][f(x1)-f(x2)]>0
等价于
三、深化应用——思路灵感
f(x1)-f(x2)<0
x1-x2与
f(x1)-f(x2)同号
函数f(x)在区间D上单调递减
(1)定义：
?x1,
x2∈D，当x1f(x2)，
作差法
即x1-x2<0
f(x1)-f(x2)>0
(2)等价结论：
?x1,
x2∈D，当x1≠x2时，x1-x2与
f(x1)-f(x2)异号
等价于[x1-x2
][f(x1)-f(x2)]<0
等价于
证明:?x1,x2∈R且x1又k>0，
∵x1，
例1.根据定义证明函数f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函数.
∴函数f(x)=kx+b(k>0)是R上的增函数.
取值
作差
变形
定号
结论
∴x1-x2<0
∴k(x1-x2)<0，
(kx1+b)-(kx2+b)=k(x1-x2)
∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)f(x1)-f(x2)=
∴当k>0时，f(x)=kx+b是R上的增函数；
当k<0时，f(x)=kx+b是R上的减函数.
作差法
三、深化应用——严谨规范
为了定号，所以因式分解
证明:定义域为(0,+∞)，?V1,V2∈(0,+∞)且V1取值
作差
变形
定号
结论
∴V2-V1>0，
∴p1-p2>0，即p1>p2.
例2.物理学中的玻意耳定律
(k为正常数)告诉我们，对
于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大.试对此用函数
的单调性证明.
∵V1，
又k>0，
∵V1,V2∈(0,+∞)，
∴V1V2>0,
∴函数
是(0,+∞)上的减函数.即当体积V减小时，压强
p将增大.
彻底因式分解
数学建模
数学抽象
数学运算
∵x1,x2∈(1,+∞)，
证明:?x1,x2∈(1,+∞)且x1∴x1>1,
x2>1，∴x1x2>1,
x1x2-1>0
又x1，
取值
例3.根据定义证明函数
在区间(1,+∞)上单调递增.
∴
，即y1∴函数
在区间(1,+∞)上单调递增.
作差
变形
定号
结论
∴x1-x2<0，
常用的变形技巧：
(1)因式分解：
当原函数是多项式函数时，通常作差变形后进行因式分解；
(2)通分：
当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子
进行因式分解；
(3)配方：
当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
(4)分子有理化：
当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化；
(5)分离常数法：
当原函数是分式函数时，可以考虑分离常数后再作差，
例如
.
因式分解出x1-x2或x2-x1
变式训练：一题多解、一题多变、多题一解、多题归一
(3)函数f(x)在区间[2,6]上单调，则实数a的取值范围为
；
已知函数f(x)=x2-2(a+1)x+3.
(1)函数f(x)的单调递增区间是[3,+∞)，则实数a的值为
；
(2)函数f(x)在区间[3,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围为
；
{a|a≤1或a≥5｝
(4)函数f(x)在区间[2,6]上不单调，则实数a的取值范围为
.
a=2
注意体会两者的细微差别:
f(x)的单调递增区间是[3,+∞)；
f(x)在区间[3,+∞)上单调递增.
{a|a≤2｝
{a|1a+1
a+1
a+1
a+1
对称轴x=a+1
四、拓展延伸——步步生涟漪
1.如图是定义在区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象，
则函数y=f(x)的单调递增区间是
，
单调递减区间是
．
[-5,-2]，(1,3]
(-2,1]，(3,5]
五、巩固提升——优化思维
2.若?x1,
x2∈(1,2)且x1≠x2时，则以下式子可以说明
函数f(x)在(1,2)上单调递减的是(
)
A.
f(x1)B.
f(x1)-f(x2)>0
C.
[x1-x2
][f(x1)-f(x2)]<0
D.
C
本节课主要学习了哪些内容？
1.知识层面：
①单调性的定义
②利用定义法证明单调性
利用图象法观察单调性
2.数学思想：
3.学科核心
素养：
数学抽象、逻辑推理、数学建模
直观想象、数学运算、数据分析
转化化归、数形结合、分类讨论
类比思想、函数与方程(不等式)思想
六、课堂小结——回眸百媚生
作业布置：
1.课本第79页练习的第2、3题；
2.探究对勾函数的图象与性质.
利用几何画板探究对勾函数
的单调性.
探究结论：
对勾函数
在(-∞,
)上单调递增
在(
,0)上单调递减
在(0,
)上单调递减
在(
,+∞)上单调递增
拓展延伸——优化思维
谢
谢3.2.1函数的单调性
教材：普通高中教科书《数学》必修第一册（人民教育出版社）
教学目标：
【知识与技能】
1、通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；
2、能够运用函数图象理解和研究函数的性质；
3、能够熟练应用定义法证明函数在某区间上的单调性.
【过程与方法】
通过观察函数图象的升降，形成增(减)函数的直观认识.再通过具体函数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大而增大(减小)的规律，由此得出增(减)函数的定义，进而掌握利用定义法证明函数单调性的基本方法和步骤.
【情感、态度与价值观】
函数单调性的研究经历了从直观到抽象，从图形语言到数学语言，理解增函数、减函数、单调区间概念的过程.在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程，使学生学习数学思考的基本方法，培养学生的数学思维能力.
教学重难点：
【教学重点】
形成增(减)函数的形式化定义，利用定义法证明函数的单调性.
【教学难点】
形成增(减)函数概念的过程中，如何从图象升降的直观认识过渡到函数增减的数学符号语言表述；利用定义法证明函数的单调性.
教学准备：
【教师准备】
多媒体课件和几何画板课件，用于展示问题，引导讨论，展示答案.
【学生准备】
整式的因式分解、分式的加减运算和一次函数、反比例函数、二次函数的基本性质.
教学过程：
准备活动：情境引入
这是纪录片《航拍中国》的一个瞬间，作为中国地理文化的象征，泰山以其拔地通天之势屹立在齐鲁大地之上，泰山的美在于它的起伏变化.类似的，作为高中数学的核心，函数的魅力也是如此.今天我们一起来探究函数的单调性.
活动一：探究概念
问题1：这是某市一天24小时的气温变化图，请问气温在哪段时间内是逐渐升高的，在哪段时间内是逐渐下降的?
教师活动：请学生直接描述气温的升高、下降规律.
学生活动：分别从[4,14]和[0,4]，[14,24]三个时间段描述气温的变化情况.
【设计意图】通过生活中熟悉的实例，让学生从“形”的角度逐步形成对函数单调性的直观认识.
问题2：(1)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1时,y=1,当x=2时,y=3,那么y是否随着x的增大而增大？
(2)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x=1,2,3,4时,对应地y=1,2,3,5,那么y是否随着x的增大而增大？
(3)对于函数y=f(x),如果在区间D上,当x1(4)若x取无数个值呢？x应该取区间D内的任意实数，x的任意性.
教师活动：引导学生先从函数值的角度思考问题，再从图象的角度进行对比，进而引出自变量x的任意性.
学生活动：学生通过比较函数值的大小，猜想函数的增减变化趋势.再通过函数图象进行强烈的对比，从而意识到自己思维认知的漏洞，逐渐产生严谨规范地概括概念的欲望.
【设计意图】通过问题串层层引入，引导学生从“数形结合”的角度深入思考，通过对“数”和“形”的认知困惑，激发学生的思维碰撞，让学生意识到即使无数个函数值的大小比较，仍不能推出函数的增减变化趋势，进而体验数学的严谨性.
活动二：概括概念
问题1：在平面直角坐标系中，画出二次函数的图象，只考虑当的情形.从图形上看，图象从左到右是怎么变化的？y随着x的增大而怎么变化？
刚才从“形”的角度直观感受了函数的变化趋势，接下来，我们从“数”的角度来精确描述和刻画这种性质？当x依次取0,1,2,3时，对应的函数值f(x)依次是多少？当x取x1,x2时，对应的f(x1),f(x2)有什么大小关系？
任何结论都是有前提条件的.要求x1,x2的任意性；只考虑的情形，所以必须保证x1,x2在同一个区间上；为了便于比较大小，我们通常约定x1教师活动：借助于课件动态地演示抛物线y=x2()，引导学生观察图形、计算数值、比较大小，从图形语言、文字语言逐渐过渡到数学符号语言，为精确刻画函数的单调性做准备.
学生活动：学生观察图象、仔细分析、深入思考，逐步学会用规范的数学符号语言去精确地描述与刻画函数的性质.
【设计意图】分别从图形语言、文字语言、数学符号语言三个角度探究问题，从直观认知逐渐过渡到精确刻画函数的单调性，为概括函数单调性的定义做铺垫，进而培养学生的认知能力和优化学生的思维品质.
问题2：回想刚才的探究过程，谁能用规范严谨的数学符号语言概括出单调递增的定义呢？
注意增函数与单调递增的区别，增函数是在整个定义域上单调递增，而单调递增的区间可能是整个定义域，也可能是整个定义域的一部分，是它的真子集.
改变定义中的条件和结论，谁能类比地归纳出单调递减和减函数的定义呢？区间D叫做单调区间.
教师活动：引导学生结合刚才的探究过程，抽象地概括出单调递增的定义，并指出增函数与单调递增的细微差别.然后引导学生类比归纳出单调递减和减函数的定义，指出单调区间的定义.
学生活动：学生思考刚才的探究过程，着重从数学符号语言的角度尝试着归纳出单调递增的定义，细心体会增函数与单调递增的细微差别.改变部分条件和结论，类比归纳出单调递减和减函数的定义.
【设计意图】通过让学生亲自经历抽象出数学概念的过程，感受知识发生发展的生成过程，有助于对函数单调性的深化理解，更有助于培养学生的数学抽象概括能力.
问题3：借助于几何画板探究函数的单调性，对自变量x有什么要求吗？函数是不是在整个定义域上一直单调递减？
教师活动：动态演示函数f(x)随自变量x的变化而变化的情形，引导学生通过比较数值的大小，得出函数分别在(-∞,0)，(0,+∞)上单调递减，但不能说函数在整个定义域上一直单调递减.所以在说明函数的单调性时，应该分区间描述，不能笼统地一概而论.在表示单调区间时，一般不能取并集，应该用“和”或“,”连接.
学生活动：观察几何画板中自变量x、函数值f(x)的数据，准确感受函数的变化趋势.着重考虑分母的要求，把定义域分成两个区间(-∞,0)，(0,+∞)，在每个区间内函数都是单调递减，但在整个定义域上却不是一直单调递减.
【设计意图】充分发挥几何画板的动态演示和定量刻画的功能，这种视觉上的直观效果，是用语言文字描述所无法比拟的.在描述函数的单调性时，要优先考虑函数的定义域.单调区间是连续的，函数增减也可能是变化的，所以应该分区间描述函数的单调性，而不能笼统地一概而论.而且单调性的表示要注意格式规范.
活动三：深化应用
问题：从单调递增的定义，经过移项变形，我们能得到什么结论？这其实就是不等式证明中的作差法.
交换x1,x2的大小位置，式子x1-x2与f(x1)-f(x2)的符号有什么变化？因为x1-x2与f(x1)-f(x2)始终同号，所以可以得出单调递增的等价定义.
类似地，单调递减时x1-x2与f(x1)-f(x2)异号，也可以得出单调递减的等价定义.
教师活动：着重引导学生从代数式的符号思考问题，为作差法和定义法中的“作差”“变形”“定号”做好坚实的铺垫.交换x1,x2的大小位置，引出单调递增(减)的等价定义，培养学生思维的灵活性.
学生活动：通过式子变形、改变大小、改变符号等一系列活动，逐渐寻找到证明函数单调性的方法和思路.
【设计意图】从定义中直接引出作差法，为知识应用激发出思路灵感，顺便引出等价定义从而更为灵活地刻画函数的单调性，避免学生的思维被定义束缚固化住.对概念的认知和理解，不能只局限于x1例1.改编自课本第78页例1，将的情形分类成和两种情况.
教师活动：教师投影例1，引导学生用作差法和定义法证明函数的单调性.让学生独立完成后，再小组交流，如有困难可以求助课本、同学，也可以求助老师.在讲解时，引导学生梳理总结证明过程的几个步骤，重点分析“因式分解”的作用是什么？然后改变题目的条件，把改为，修改证明过程，分类讨论得出一次函数的单调性.
学生活动：学生重点完成“变形”“定号”两个环节，独立解决后，可与同伴交流.然后积极思考，改变条件后，题目的证明过程和结论会有什么变化？
【设计意图】通过例题的教学，加深对函数单调性的理解，加强解题过程的规范性和严谨性，培养学生的语言组织表达能力.通过讨论“因式分解”的作用，即为了更好地判断每个因式的符号，培养学生思考的条理性和思路的明确性，同时培养学生的应用意识和逻辑推理能力.
例2.课本第78页例2.
教师活动：教师投影例2，引导学生分析为正的不变的常数，例1是一次函数模型，例2是反比例函数模型，体积是自变量，是的反比例函数.请学生代表仿照例1，到黑板上板演证明过程.在分析例2的解题过程中，引导学生根据实际问题的意义，优先考虑函数的定义域，重点突出“分式通分”“因式分解”，然后根据题目条件判断每个因式的符号.
学生活动：学生阅读题目，完成证明过程，重点思考“分式通分”“因式分解”，注重解题的规范性.
【设计意图】通过例题的教学，继续培养学生解题的规范性，突破重难点“分式通分”“因式分解”，渗透学科核心素养“数学抽象”“数学建模”“数学运算”.
例3.课本第79页例3.
教师活动：教师投影例3，引导学生集中突破“变形”的环节，让学生独立完成后，再小组交流，最后由学生口述证明过程.重点分析与不同号，加起来仍无法确定符号，所以必须继续因式分解，进行提公因式.及时归纳常用的变形技巧，尤其是分离常数法.
学生活动：学生独立完成“变形”“定号”，思考为什么不能确定符号，为什么仍要继续因式分解，怎么继续因式分解？思考怎么分离常数以及为什么要分离常数？
【设计意图】通过例题的教学，再次集中突破重难点“分式通分”“因式分解”，让学生感悟“彻底因式分解”的必要性.及时总结常用的变形技巧，体会分离常数法在简化数学运算中的重要作用.
活动四：拓展延伸
变式训练：一题多解、一题多变、多题一解、多题归一
【设计意图】通过变式训练的层层深入，即一题多解、一题多变、多题一解、多题归一，培养学生思维的发散性和灵活性.不断地改变题目中的条件和结论，数形结合深化认知.
活动五：巩固提升
教师活动：教师让学生独立思考，小组交流，回答问题.
教师巡视指导，纠错点评.
学生活动：学生独立完成练习后，集体交流评价.
【设计意图】巩固对单调区间概念的理解，在表述单调区间时一般不能取并集，应该用“和”或“,”连接.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，对于单独的某个点，其函数值是唯一确定的常数，因此没有增减变化，所以不存在单调性问题.故函数在端点处有意义的前提下，单调区间可以写成开区间，也可以写成闭区间.
【设计意图】巩固单调递增(减)的等价定义，题目没有约定x1,x2的大小，所以不能比较f(x1),f(x2)的大小，但可以确定x1-x2与f(x1)-f(x2)是否同号.
活动六：课堂小结
你能说一说这节课的收获和体验，让大家与你分享吗？
让学生小组讨论后，选取小组代表分享自己的成果和感受.
活动七：作业布置
1.课本第79页练习的第2、3题；
2.利用几何画板探究对勾函数的图象与性质.
板书设计：
教学反思：
本节课是一节概念课，函数单调性的本质是利用解析的方法来研究函数图象的性质，如何将图形特征用严谨的数学符号语言来刻画是本节课的难点之一.另一难点是学生在高中阶段第一次接触代数证明，如何进行严格的推理论证并完成规范的书面表达.
一、围绕以上两个难点，在本节课的处理上，着重注意了以下几个问题
1、重视学生的亲身体验.
具体体现在两个方面：①将新知识与学生的已有知识建立了联系.如：学生对一次函数、二次函数和反比例函数的认识，学生对“y随x的增大而增大(减小)”的理解；②运用新知识尝试解决新问题.如：对函数在定义域上的单调性的讨论.
2、重视学生探究问题的过程.
如：充分暴露学生将函数图象(形)的特征转化为函数值(数)的特征的思维过程；充分暴露在正、反两个方面探讨活动中，学生认知结构升华、发现的过程.
3、重视学生的动手实践过程.
通过对定义的解读、巩固，让学生动手去实践应用定义.
4、重视课堂问题的设计.
通过对问题串的层层设计，引导学生更好地解决问题.
二、没有对比就没有差距，没有反思就没有进步
从教的角度评析这节课很到位，但从学的视角去评价就会发现：教师为了营造轻松愉快的课堂气氛，注重了学生学习兴趣的培养，但过于心切，总想尽快地“直奔主题”把主要内容教授给学生后进行习题训练；而让学生经历实践，然后通过探究等得出概念的过程却在师生间的简单问答中滑过，学生的思维情绪始终处于压抑状态，使得教学无法向纵深发展，知识目标的完成受到影响，学生必要的能力得不到良好训练，学习情感得不到有效激发.
由此，教学设计很有必要从以下几个方面进行改进：在新授课上，应从学生的已有知识和生活经验出发，围绕知识目标展开新知识出现的情境，适当推迟新知识得出时间，丰富学生的情感体验，在知识目标得到有效落实的同时，达成能力目标.在习题课上，应以能力培养为核心，注重在知识网络的交汇点设计问题，突出基础知识的应用和基本技能的运用，强化知识目标，广泛建立知识之间的联系，培养学生学习数学的情感.在知识应用课上，应强调数学走向生活，解决具有现实意义的生活问题，培养学生的数学建模能力.
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