(共23张PPT)
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（2）
学习目标
1.理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间.
2.会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小.
3.会利用三角函数单调性求函数的最值和值域.
复习回顾
1.正弦函数的周期性和奇偶性.
2.余弦函数的周期性和奇偶性.
,
x
y
0
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
问题1：观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？
探究一
正弦函数的单调性
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
y=sinx
问题2：选择哪一个周期进行研究？
探究一
正弦函数的单调性
正弦函数在每一个闭区间
上都是增函数，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间
上都是减函数，其值从1减小到-1.
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
y=sinx
探究结果
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
探究二
余弦函数的单调性
类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
探究结果
余弦函数在每一个闭区间
上都是增函数，其值从-1增大到1；
在每一个闭区间
上都是减函数，其值从1减小到-1.
正弦函数当且仅当x=______________时取得最大值__；
当且仅当x=_____________时取得最小值___.
探究三
正余弦函数的最大值和最小值
x
y
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
余弦函数当且仅当x=__________
时取得最大值___；
当且仅当x=___________
时取得最小值___.
探究三
正余弦函数的最大值和最小值
y
x
o
-?
-1
2?
3?
4?
-2?
-3?
1
?
例3.下列函数有最大值、最小值吗？如果有，请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合，并说出最大值、最小值分别是多少.
学以致用——求最值
解：这两个函数都有最大值、最小值.
(1)使函数
取得最大值的
的集合为
使函数
取得最小值的
的集合为
最大值为
最小值为
请写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.
(1).y=2sinx,
x∈R.
跟踪训练
例4.利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小：
(1)
sin(
)
与
sin(
)；
(2)
cos(
)
与cos(
).
解：
（1）因为
又
y=sinx
在区间
上单调递增,
所以sin(
)
>
sin(
).
学以致用——比较大小
(2)
cos(
)=cos
=
cos
,
cos(
)=cos
=cos
.
因为
所以cos
>
cos
,
且函数
y=cosx
在区间
上单调递减
即cos(
)
>
cos(
).
注：解决此类问题的关键是构造适当的函数，并利用诱导公式将它们转化到同一个单调区间上进行研究
练习：
比较大小
例5.求函数
的单调递增区间.
学以致用——求单调区间
注：
1.基本函数的单调区间要记清.
2.复杂函数转化为基本函数（转化化归
思想）.
3.数形结合.
练习
这节课你有什么收获？
课堂小结
、作业布置
必做题：习题5.4
课本213页4题，5题
选做题：课本214页16题
思考题：怎样利用单位圆的性质研究正
余弦函数的性质？1.4.2
正弦函数、余弦函数的性质（2）
学习目标
1、理解正弦函数与余弦函数的单调性，会求函数的单调区间。
2、会利用三角函数单调性比较三角函数值的大小。
3、会利用三角函数单调性求函数的最值和值域。
学习重点
正弦、余弦函数的主要性质(包括单调性、值域、奇偶性)。
学习难点
利用正、余弦函数的单调区间求单调区间及函数值域。
课
型
新授课
教学用具
多媒体
实物投影仪
教学主线
复习回顾—自主探究—应用举例—小结作业
教学过程（（复习回顾、自主探究、归纳总结、双边活动、课堂小结、作业布置）
一．
复习回顾
1.正弦函数的周期性和奇偶性。
2.余弦函数的周期性和奇偶性。
二．
自主探究
探究
正余弦函数的单调性与最值
问题1
我们研究函数的单调性是在定义域范围内研究的，观察正弦函数的图象，它在整个定义域上具有单调性吗？在区间上具有单调性吗？
教师总结
由于正弦函数是周期函数，可以先在它的一个周期的区间上讨论他的单调性，再利用它的周期性，将单调性扩展到整个定义域。
问题2
选择哪一个周期进行研究？
学生活动
观察图像，小组交流，选出目标
讨论结果：应以
为出发点，原因之一这个区间有且仅有一个单调增区间和一个单调减区间，其次这个区间在原点附近，便于研究.
自主探究一
观察函数y=sinx,x∈［-,］的图象，填写下表:
x
-
…
0
…
…
π
…
sinx
问题3：整个定义域范围内的所有的单调增、减区间该怎么统一表示呢？
请同学们观察在区间内函数值的变化范围？在整个定义域范围内的函数值变化情况呢？
小结：正弦函数在每一个闭区间
(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间
(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
探究二
余弦函数的单调区间
问题4：类比正弦函数的单调区间的研究过程，你能得出余弦函数的单调区间吗？其函数值的变化情况又怎样呢？（观察余弦曲线）
自主探究二
2.观察函数y=cosx,x∈
_
的图象，填写下表:
x
…
…
…
…
cosx
小结：余弦函数在每一个闭区间
(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间
(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
探究三
正余弦函数的最大值和最小值
Ⅰ、对于正弦函数y=sinx(x∈R),
(1)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最小值-1.
Ⅱ、对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最小值-1.
学生活动
自主完成
探究一—探究三
教师活动
适时引导，同时板书知识点，以备后用。
三．
新知形成
学生活动
汇总探究结果
教师总结
规范学生结果，给出结论。
结论一
正弦函数的单调性
正弦函数在每一个闭区间
(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间
(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
结论二
余弦函数的单调性
余弦函数在每一个闭区间
(k∈Z)上都是增函数,其值从-1增大到1;在每一个闭区间
(k∈Z)上都是减函数,其值从1减小到-1.
结论三
正弦函数的最值
对于正弦函数y=sinx(x∈R),
(1)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最小值-1.
结论四
余弦函数的最值
对于余弦函数y=cosx(x∈R),
(1)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最大值1.
(2)当且仅当x=
,k∈Z时,取得最小值-1.
四．
应用举例
例1
下列函数有最大值、最小值吗?如果有,请写出取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.
(1)y=cosx+1,x∈R;
(2)y=-3sin2x,x∈R.
学生活动
尝试解答
教师活动
板书第二题，规范步骤
小结：
跟踪练习
请写出下列函数取最大值、最小值时的自变量x的集合,并说出最大值、最小值分别是什么.(1)y=2cos+1,
x∈R;
(2)y=2sinx,
x∈R.
学生活动
书写步骤
教师活动
投影学生学案，展示，纠错。
例2
函数的单调性,比较下列各组数的大小:
(1)sin(-)与sin(-);
(2)cos()与cos().
学生活动
独立解答
教师活动
巡视学生做题情况，引导规范步骤
小结：
练习
比较大小
学生独立完成
例3
函数y=sin(x+),x∈[-2π,2π]的单调递增区间.
教师活动
分析题目，板书解题步骤
小结：
思考：如何求函数
的单调递增区间？
归纳小结
学生尝试总结，教师及时补充完善
布置作业
必做题：习题5.4
课本213页4题，5题
选做题：课本214页16题
思考题：怎样利用单位圆的性质研究正余弦函数的性质？
自我测评
1.求使下列函数取得最大值、最小值的自变量的集合，并
写出最大值、最小值各是多少.
2.比较下列各组中两个三角函数值的大小：
3.（1）求函数
的单调递减区
（2）求函数
的单调递增区间.
