(共24张PPT)
第三章
函数的概念与性质
3.1.1
函数的概念
天宫二号发射过程中，
离发射点的距离随时间
的变化；
我国高速铁路营业
里程逐步增加，已
突破2万公里.
1
创设情境、引入课题
客观世界中有各种各样的运动变化现象，例如：
疫情期间新增病
例随时间的变化。
1
创设情境、引入课题
月份
1
2
3
4
数学成绩
60
90
120
150
数学成绩随
时间的变化
所有这些变化现象都表现出变量间的对应关系，数学上我们可以用函数模型来描述。
随着函数学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具。
1
创设情境、引入课题
在初中我们学过哪几类函数？
函数的定义是什么？
1、一次函数：
2、二次函数：
3、反比例函数：
4、正比例函数：
在变化过程中,有两个变量x和y,
如果给定一个x值,
相应地就确定了一个y值,
那么我们称y是x的函数.其中x是自变量，y是因变量.
2
温故知新、提出问题
根据上面函数的定义你能解决下面问题吗？
显然，仅用初中函数的概念很难回答这些问题.因此，需要从新的高度认识函数，本节课我们将从集合的角度重新定义函数的概念.
2
温故知新、提出问题
问题1
某“复兴号”高速列车加速
到350km/h后保持匀速运行半小时.
这段时间内，列车行进的路程s
（单位：km)与运行时间t(单位:h)的关系可以表示为
这里，S和t是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数
思考：如果有人说:“根据对应关系s=350t，运行1h就前进了350km.”你认为这个说法正确吗？
分析：根据问题1的条件，我们不能判断列车以３５０ｋｍ/ｈ运行半小时后的情况，所以上述说法不正确．其原因是没有注意到t的变化范围.
3
实例分析、构建概念
S＝３５０t.
下面用更精确的语言表示问题１中S与t的对应关系．
列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是
S＝３５０t．
①
其中，t的变化范围是数集
S的变化范围是数集
3
实例分析、构建概念
A2={1,2,3,4,5,6}
B2={350,700,1050,1400,1750,2100}
问题2
某公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么：
思考:(2)仿照问题1，你能用集合语言精确表述
这种对应关系吗？
分析:(2)d的变化范围是数集
w的变化范围是数集
思考:（1）一个人的一周的工资w是他工作天数d
的函数吗？w怎样表示？
分析:（1）是.一周工资所得w与工作天数d的关系可以表示为
w＝３５０d.
②
3
实例分析、构建概念
问题1中的函数S=350t，
问题2中的函数W=350d，
对应关系(解析式)是一样的，你认为它们是同一个函数吗？为什么？
不是。自变量的取值范围不一样
3
实例分析、构建概念
问题3
下图是北京市某天的空气质量指数I的变化图.
思考：你能仿照前面的方法，用集合语言分析空气质量指数I与时间t的对应关系是不是函数吗？
分析：t的变化范围是数集
I的变化范围是数集
3
实例分析、构建概念
问题4
恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低,说明生活质量越高.下表是我国近10年来居民恩格尔系数变化情况.
思考：你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？你会用怎样的语言描述？
年份y
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
恩格尔系数r(%)
35.7
36.3
36.2
35.0
34.2
29.7
28.6
28.4
28.4
28.2
3
实例分析、构建概念
分析：y的取值范围是数集：
根据恩格尔系数的定义可知，r的取值范围是数集：
对于数集A4中的任意一个年份y
,根据表中给出的对应关系，在数集B4中都有唯一确定的恩格尔系数r与之对应.所以r是y
的函数.
年份y
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
恩格尔系数r(%)
35.7
36.3
36.2
35.0
34.2
29.7
28.6
28.4
28.4
28.2
3
实例分析、构建概念
上述四个问题中的函数有哪些共同特征？
上述问题的共同特征有：
①都包含两个非空数集A和B;
②都有一个对应关系；
③对于集合A中的任意一个数x，在B中都有唯一确定的y与之对应.
3
实例分析、构建概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合
A中的任意一个实数x，按照某种确定的对应关系f
，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，则就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作
y＝f(x)，x∈A.
其中，x
叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|
x∈A
}叫做函数的值域.
4
抽象升华、形成概念
注意：
1、y=f(x)表示y是x的函数
2、f(x)不是f与x的乘积，表示的是x在f作用下的函数值.对应关系也可以用g、
G、F
等表示.
2、三要素：
定义域、对应关系、值域
定义域是什么？值域是集合B吗？
数集A
对应关系
数集B
值域
问题1
S=350t
问题2
w=350d
问题3
图
问题4
表
A就是
定义域
值域是
B的子集
4
抽象升华、形成概念
年份y
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
恩格尔系数r(%)
35.7
36.3
36.2
35.0
34.2
29.7
28.6
28.4
28.4
28.2
函数
定义域
对应关系
值域
一次函数
二次函数
反比例
函数
例1.下列函数定义域、对应关系、值域分别是
什么？你能用定义描述下列函数吗？
R
R
R
5
旧知新解、巩固概念
例2.你能回答开始的问题吗？
紧扣定义，抓住关键词：
非空数集、任意一个x、存在唯一一个y
6
例题精讲、巩固新知
练习1.下列对应关系能否构成定义在A到B上的函数
1
2
3
A
B
4
5
6
f
B
f
f
(1)
A
(2)
f
1
2
3
4
6
B
A
(3)
1
2
3
4
5
6
7
B
f
1
2
3
4
5
6
(4)
1
2
3
A
4
5
6
B
(5)
1
2
3
中国
美国
英国
B
f
(6)
A
是
是
不是
不是
是
不是
允许“一对一”
“多对一”
不允许“一对多”
7
当堂检测、对点练清
A
B
8
小试牛刀、体验成功
例3.你能构建一个实际问题，使其中函数的对应关系为y=x（10-x）吗？
解：如果对x取值范围作出限制，例如0长方形的周长为20，设一边长为x，那么面积y和x的函数关系式是y=x（10-x），其中x的取值范围是A={x|09
联系实际、检验新知
生活实例
函数的概念
体会数形结合、类比归纳、抽象概括
的数学思想
用概念判断函数、
构建实际问题情境
知识层面
思想方法
10
归纳小结、提高认识
11
课后巩固、深化知识
练习：完成课本63页到64页课后练习。高中数学人教A版
必修1《3.1.1函数的概念》教案
一、教材地位和作用
本节课是普通高中课程标准实验教科书人教A版第三章第一节第一课时（第60～64页）。
1、概念本身角度：函数是高中数学最抽象的概念，初中曾用运动变化的观点给出函数的描述性定义，并把函数看作两个变量间的依赖关系，但这一定义有一定的阶段性和局限性。
2、学科角度：函数是高中数学的核心概念，是整个高中函数知识体系的基石，它不仅将函数概念由“对应论”发展到“集合论”，更承上启下，为后继研究基本初等函数，比如指数函数、对数函数、幂函数、三角函数以及函数的性质等提供研究方法和理论依据，让我们体会到重要概念对数学发展和数学学习的巨大作用；同时，函数的基础知识在日常生活、社会经济、以及等其他学科也有着广泛应用。
3、高考角度：函数是高考数学的热点，函数图象性质、函数与代数式方程不等式数列三角解析几何导数的结合问题常考常新，从基础题、中档题到压轴题，每年高考都是绝对重点，高考所考察的五大数学思想中的数形结合思想、函数与方程思想贯穿高中数学学习的全过程。有人说，“得函数者得数学，得数学者得高考”，更是形象的道出了函数在高考中的重要地位。
二、学情分析
1、从学生知识层面看：通过初中函数相关知识的学习,学生具备了一定的知识经验和基础；通过必修一第一章“集合”的学习，对集合思想的认识也日渐提高，为重新定义函数、从根本上揭示函数的本质提供了知识保证．
2、从学生能力层面看：学生已有一定的分析、推理和概括能力，初步具备了运用数形结合思想解决问题的能力，但数形结合的意识和思维的深刻性还有待进一步加强。
3、从学生情感培养方面看：多数学生对教学新内容的学习有很高学习兴趣和积极性，但探究能力以及合作交流等能力仍需要通过课堂主渠道加以培养和提高。
三、教学目标
1、知识与技能：会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数的概念；理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数的三要素；会求一些简单函数的定义域。（重点）
2、过程与方法：让学生亲身经历函数概念的形成过程，经历从具体到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，培养学生抽象概括能力，让学生学会数学表达和交流，激发数学学习兴趣，发展数学应用意识
。（难点）
3、情感、态度与价值观：培养学生细心观察、认真分析、严谨表达的良好思维习惯，养成用函数模型描述和解决现实世界中蕴含的规律，培养学生提出问题的能力，培养创新意识。
四、教学方法的选择
基于本课内容蕴含着数形结合等丰富的数学思想，是培养学生观察能力、概括能力、探究能力和创新意识的重要素材，结合教学实际，我选择教师引导下的发现教学法，以及学生合作探究学习法，并辅之于计算机多媒体课件。
教学过程设计
教学过程
师生活动
设计意图
创设问题情境，提出数学问题1．生活情境
生活情境一：
天宫二号发射精彩瞬间：发射升空、飞跃东海、环绕地球；生活情境二：我国高速铁路营业里程逐步增加。生活情境三：疫情期间新增病例随时间的变化，它不仅牵动着无数人的心；生活情境四：数学成绩随时间的变化.教师：客观世界中有各种各样的运动变化现象。（学生能够发现：现实世界中的许多运动运动变化现象都表现出变量间的依赖关系）教师：所有这些变化现象都表现出变量间的对应关系，数学上我们可以用函数模型来描述。
随着函数学习的深入你会发现，函数是贯穿高中数学的一条主线，是解决数学问题的基本工具。
概念课一定要从实际问题出发。教师另辟新径，结合现实性和趣味性，让学生自己发现问题，不仅激发学生的探究欲望，更激励学生善于思考、善于观察和联想、从实际问题中发现问题、提出问题的能力本环节旨在让学生明确数学是有用的，函数是对客观世界的刻画，函数无处不在，开阔学生思维，明确本课题。
2、数学情境：（1）回顾旧知，发现新问题
问题1.初中已学过哪些函数？问题2.你能说出初中函数的定义吗？学生可能会直接说出一次函数、二次函数反比例函数，教师要给与学生充分的肯定。引导学生回忆初中函数的定义。随后教师设疑：问题3.教师提出问题引发学生思考，了解学生思维障碍等，适时点拨，适当启发，适合鼓励。学生发现：利用初中函数的定义，已经不能够顺利解答这两个问题，但是又不知道原因在哪里.
带着问题继续学习.
知识回顾一般有两个作用：一是铺垫、激趣，所谓“激其情，奋其志，启其疑，引其思”，二是充分了解学生的数学现实、生活现实，为新知识找到合理的生长点。问题3的提出产生认知冲突，让学生意识到发展函数概念、丰富函数内涵的必要性，为从函数角度研究函数的概念埋下伏笔。
深入探究，挖掘实质
设置探究性问题实例探究一学生：独立思考或交流、合作。教师：通过设置层层递进的问题串儿，让学生探究、猜想。体会解析式对变量间对应关系的刻画；引导学生关注变量S和t的取值范围；同时引导学生初步尝试从集合角度来刻画变量之间的对应关系，又为重新定义函数奠定基础.教师不急于要求学生找到答案，而是步步追问：“你是怎么想的？你的依据是什么？”引发深入思考.引导学生逐渐从集合的角度分析函数问题。实例探究二教师：某公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资。思考：那么：一个人的一周的工资w是他工作天数d的函数吗？w怎样表示？学生：能够容易回答出w=350d.教师：仿照问题1，你能用集合语言精确表述这种对应关系吗？引导学生尝试一起用集合语言分析问题。学生：独立思考，逐步适应集合语言刻画函数关系。
课本是教师教学的蓝本和依据，课本实例具有非常好的典型性代表性。
通过设置四个问题情境，锻炼学生多角度观察事物的能力缜密思考、准确表达的能力；激发学生积极主动的思考及自主交流，培养思维的发散性、深刻性和提出数学问题的能力，体会探索的成就感，激发兴趣。承上启下，推动课程进展.
思考：问题1中的函数S=350t和问题2中的函数W=350d，对应关系(解析式)是一样的，你认为它们是同一个函数吗？为什么？学生:根据问题1和问题2的深入分析，不难回答出:不是，原因是自变量的取值范围不同。教师：引导学生分析函数问题时关注变量的取值范围。实例探究三：教师：下图是北京市某天的空气质量指数I的变化图.思考：你能仿照前面的方法，用集合语言分析空气质量指数I与时间t的对应关系是不是函数吗？学生:容易发现问题中有两个变量t和I，并且有相应的取值集合；虽无解析式，但它们之间有对应关系且是函数。体会用图象刻画变量间的关系.并试着用集合语言自己描述这种函数关系。教师：鼓励学生勇于表达自己的见解，大胆用自己的语言交流、描述问题实质。
在本阶段的教学中，四个实例的探究使学生充分感受到数学概念的发生与发展过程，由实际问题逐步上升到数学问题，经历观察、分析、猜想、归纳、抽象的思维过程，分别完成对函数集合定义的三次认识，直至逐步探究出用集合与对应语言刻画函数概念。课程改革不是抛弃以前的所有教法，传统数学教学方法的我们教师必须“先继承、再创新”，才是教学和课改的精髓。概念课中，学生的探究与教师的点拨、引导甚至是讲解并不矛盾，珠联璧合、相得益彰才能真正有实效。
实例探究四：让学生体会用表格刻画变量间的对应关系。教师：恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低,说明生活质量越高.下表是我国近10年来居民恩格尔系数变化情况.思考：你认为按表中给出的对应关系，恩格尔系数r是年份y的函数吗？你会用怎样的语言描述？学生:在教师的启发引导下，有了前三个实例的分析，已经比较容易用集合的语言描述这一问题中的函数关系。思考：上述四个问题中的函数有哪些共同特征？教师：组织学生小组讨论，让学生自己总结共性，逐渐发现函数概念的本质，为函数概念的给出奠定基础。学生:积极进行组内讨论，合作交流，归纳概括。概念中的符号表示是难点。教师可以结合概念形成过程中的实例，指出f的含义，发现其既可以是对应关系式、还可以是图像、表格等，甚至根本无法用已有手法表示出来，这并不影响其存在性。
函数的概念是非常抽象的一个概念，教师要有足够耐心，引领学生一句句叙述和表达，直至用最简洁、简练、规范的数学语言表述出来。概念中的符号表示是难点。教师可以结合概念形成过程中的实例，指出f的含义，发现其既可以是对应关系式、还可以是图像、表格等，甚至根本无法用已有手法表示出来，这并不影响其存在性。
三、抽象升华，形成概念四、课堂训练，应用提高
教师：组织学生通读定义，引导学生关注定义中的关键词，从而把握函数概念的实质。
学生:有了前面问题分析的经验，对函数概念的理解和把握会更直接，更深入，从而很快发现定义中的几个关键词。教师：概念中的符号表示是难点。教师应充分解读。教师：结合概念形成过程中的实例，指出f的含义，发现其既可以是解析式、还可以是图像、表格等，甚至根本无法用已有手法表示出来，这并不影响其存在性。引导学生把握定义域、对应关系和值域这三要素的具体表达。思考：定义域是什么？值域是集合B吗？学生:对于定义域的回答比较迅速，但对于值域是不是B有所疑问。教师：引导学生得出值域是B的子集的结论。教师：引导学生学以致用，用集合的观点重新审视前面提出的问题。学生:在教师的引导下，能顺利给出两个例题的答案。
“函数”是高中数学最抽象、最难理解的概念，经过近百年的丰富与发展，概念中包含的许多东西学生从来没有接触过，教师不能强求学生自主探究出来，这不现实，也不真实。新课标提倡学生是课堂的主人、是学习的主体，但也不能忘记教师也是课堂的主导，也是课堂的主人，教师在学生知识学习、学法指引、思维点拨等方面发挥自己的应有的作用。这里教师采用讲述法和启发式教学带学生挖掘内涵、延伸拓展、深入理解概念。
五、当堂检测，对点练清五、联系实际，检验新知六、归纳小结、凝练升华
教师：与学生一起分析练习1中的对应关系，引导学生学会用函数的概念分析问题，加深对函数定义的认识。对于练习2，直接让学生回答。学生:在充分理解函数概念的前提下，不难发现每个问题中的“陷阱”，从而一一攻破。教师：提出问题：你能构建一个实际问题，使其中函数的对应关系为y=x（10-x）吗？引导学生分析对应关系，联系生活实际。
学生:在教师的引导下，很容易想到面积这一实际情境，从而进一步体会到函数在生活中的广泛应用。教师：让学生自己总结本节课的收获，引导学生从知识与技能、数学思想方法等多方面进行总结归纳。学生:通过总结所学内容，进一步加深对函数概念总成过程的理解，体会数学思想。
本阶段的教学主要是通过对例习题的分析、辨析和反思小结，理解函数三要素在具体问题中的应用，加深对函数概念的全面理解。强化知识间的内在联系,体会函数在实际生活中的应用，训练计算能力。回顾知识反思课堂升华思维感悟方法
六、作业布置，巩固提高
教师：布置课后思考和课后练习作业。
通过作业，使学生巩固所学，检验对函数概念的掌握。
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