高中数学人教A版 必修1《4.5.1函数的零点与方程的解》教案 Word

第四章
指数函数与对数函数
4.5
函数的应用（二）
4.5.1
函数的零点与方程的解
教学设计
一、教学目标
知识与技能方面：了解函数零点的概念：能够结合具体方程（如一元二次方程），说明方程的根、函数的零点、函数图象与x轴的交点三者之间的关系，达到数学抽象核心素养学业质量水平二的层次.
过程与方法方面：理解函数零点存在定理：了解函数图象连续不断的意义及作用，知道函数零点存在定理只是函数存在零点的一个充分条件，了解函数零点可能不止一个，达到逻辑推理核心素养学业质量水平二的层次.
情感态度价值观：能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数及所在区间，达到直观想象、数学抽象核心素养学业质量水平一的层次.
二、教学重难点
1.教学重点
理解函数零点的概念，掌握函数零点与相应方程根的求法.
掌握函数零点存在定理并能应用.
2.教学难点
数形结合思想，转化与化归思想的培养与应用.
函数零点存在定理的理解.
三、教学过程
（一）新课导入
先通过一段短视频了解中外方程的求解方法的发展历史，激发学生的兴趣.
大家利用函数图像探究方程的根与函数图像与x轴的交点之间的关系.
方程的根为-1和3，函数的图像与x轴交于点（-1,0），（3,0）.
教师讲解：由方程与函数的关系，接下来我们开始学习今天的内容.
回顾二次函数零点的定义.
探究一：零点的概念
教师讲解:我们通俗地称函数图象与轴交点的横坐标为函数的零点，请同学们归纳函数零点的定义.
学生思考并归纳：
零点的概念：对于一般函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数x叫做函数y=f（x）的零点.
教师引导学生思考归纳函数的零点与方程的根的关系：
方程f（x）=0有实数根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点.
师：大家思考下列问题：（1）如何求函数的零点?（2）函数零点与函数图像的关系怎样?
学生回答，教师点评.
生：（1）零点即函数值为零时对应的自变量的值，求零点可转化为求对应方程的根.
（2）零点即函数图像与x轴交点的横坐标.
探究二：函数零点存在定理
提问：探究函数的零点所在区间及零点所在区间的端点对应函数值的正负情况以及图形与轴的关系?
教师引导学生思考解决.
师：利用图像观察零点所在区间，区间端点一般取整数.
生：可以发现，在零点附近，函数图象是连续不断的，并且“穿过”轴。函数在端点和的取值异号，即,函数在区间内有零点,它是方程的一个根。同样地，函数在内有零点,它是方程的另一个根。
师：那么其他函数的零点是否具有相同规律呢?
教师讲解，由特殊到一般，由此我们可以归纳出函数零点存在定理.
如果函数在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f（a）f（b）<0，那么，函数在区间（a，b）内至少有一个零点，即存在，使得f（c）=0，这个c也就是方程f（x）=0的解.
师生合作分析，并剖析定理中的关键词：
（1）连续不断；（2）f（a）f（b）<0.
教师讲解：由于函数图象连续不断，若f（a）>0，f（b）<0，则函数y=
f（x）的图象将从x轴上方变化到下方，这样必通过x轴，即与x轴有交点.
对定义的进一步理解：（1）函数在区间[a，b]上的图象连续不断，且它在区间[a，b]端点的函数值异号，则函数在[a，b]上一定存在零点；
（2）函数值在区间[a，b]上连续且存在零点，则它在区间[a，b]端点的函数值可能异号也可能同号；
（3）定理只能判定零点的存在性，不能判断零点的个数.
例题：函数在（0,3）内（1）由2个零点（2）有1个零点，分别求a得取值范围.
学生求解：（1）在（0,3）内有两个零点，则；
（2）在（0,3）内有一个零点，则.
通过实例分析，进一步理解定理.
例题讲解
例1：求方程
的实数解的个数.
解：设函数，
由零点存在定理，在区间内存在零点.
思考？
我们能不能确定零点的个数呢？
由观察可得，
在上是增函数，所以它只有一个零点，即相应方程只有一个实数解.
思考？
我们还有没有其他的方法，来解决这个问题？
另解：方程解的个数等价于解的个数，也就是函数与
交点的个数.
（数形结合的思想）
例2：求函数的零点.
解：令，解得所以函数的零点为.
例3:
函数零点所在的区间是（
）
随堂练习
判断（正确的打“√”，错误的打“×”）
所有的函数都有零点.
(
)
若方程有两个不相等的实数根，则函数的零点为.
(
)
若函数在区间上有零点，则一定有.
(
)
函数的零点是
（
）
下列函数中，没有零点的是
（
）?3.
下列各图象表示的函数中没有零点的是
?
函数的零点是
（五）课堂小结
一个定理
即零点存在定理
二个思想
（1）从特殊到一般、从具体到抽象的思想
（2）
函数与方程相互转化的思想
三种题型
（1）求函数的零点
（2）判断零点的个数
（3）求零点所在的区间
（六）课下作业
1.课本第155页
，第2题和第3题
2.练习册第100页到第101页
3.阅读课本第147页（中外历史上的方程求解）
四、板书设计
1.
零点的概念、求法以及判定.
2.
函数与方程的相互转化，借助图象探寻规律.