2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷 Word含解析

2020-2021学年江苏省苏州市高二（上）期中数学试卷
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知a＞b，c＞d＞0，则（　　）
A．
B．a﹣c＞b﹣d
C．
D．
2．关于x的不等式≥0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）
B．[﹣1，2）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
D．[﹣1，2]
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1，且S6﹣S2＝10，则a3+a4＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
4．若不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b的值为（　　）
A．﹣
B．0
C．
D．1
5．已知等比数列{an}中，a2a3a4═1，a6a7a8＝64，则a5＝（　　）
A．±2
B．﹣2
C．2
D．4
6．已知在数列{an}中，，则a2020的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．已知a＞0，b＞0，a+b＝3，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．9
8．已知数列{bn}满足，若数列{bn}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（﹣1，）
B．（﹣，）
C．（﹣1，1）
D．（﹣，1）
二、多项选择题（共4小题）.
9．下列说法正确的有（　　）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件
B．“”是“a＜b”的既不充分又不必要条件
C．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
D．“a＞b＞0”是“an＞bn（n∈N，n≥2）”的充要条件
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，2a5+a11＝0，则（　　）
A．a8＜0
B．当且仅当n＝7时，Sn取得最大值
C．S4＝S9
D．满足Sn＞0的n的最大值为12
11．已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（　　）
A．a2+b2的最小值为
B．ab+的最小值为2
C．的最大值为
D．的最大值为4
12．对于数列{an}，定义：，称数列{bn}是{an}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（　　）
A．若数列{an}单调递增，则数列{bn}单调递增
B．若数列{bn}是常数列，数列{an}不是常数列，则数列{an}是周期数列
C．若，则数列{bn}没有最小值
D．若，则数列{bn}有最大值
三、填空题（共4小题）.
13．命题“?x∈R，x2﹣2x+m≤0”的否定是　
　．
14．在等比数列{an}中，已知a3?a8＝10，则a53?a7的值为　
　．
15．已知x＞0，y＞0，x+3y+xy＝9，则x+3y的最小值为　
　．
16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为　
　，此数列的通项公式an＝　
　．
四、解答题（共6小题）.
17．在①f（x+1）﹣f（x）＝2ax，②f（x）的对称轴为，③f（1）＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．
已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1，若_____，且不等式f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，试求实数a的取值范围．
18．已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若对n∈N
恒成立，求满足条件的自然数m的最小值．
19．已知数列{an}中，a1＝2，且满足an+1﹣2an＝2n+1（n∈N
）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求证：对于数列{bn}，b1+2b2+…+nbn＝an的充要条件是bn＝．
20．已知函数．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若不等式|f（2x）﹣f（x）|≤1对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
21．如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．
（1）试用x表示线段BC的长度；
（2）求l关于x的函数解析式f（x），并求f（x）的最小值．
22．已知数列{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn．
（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；
（2）若a1＝﹣1，{an}中恰有6项在区间内，求d的取值范围；
（3）若a1＝1，S2＝3，集合，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{bn}，使得此新数列{bn}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：数叫作数a和数b的调和平均数）．
参考答案
一、单项选择题（共8小题）.
1．已知a＞b，c＞d＞0，则（　　）
A．
B．a﹣c＞b﹣d
C．
D．
解：若a＞0＞b，则＞，故A错误；
若a＞b，c＞d＞0，则﹣d＞﹣c，a﹣d＞b﹣c，故B错误；
a＞b，c＞d＞0，取a＝2，b＝1，c＝6，d＝3，则＝，故C错误；
﹣＝，由c＞d＞0，可得d﹣c＜0，
所以﹣＝＜0，即＜，故D正确．
故选：D．
2．关于x的不等式≥0的解集为（　　）
A．（﹣∞，﹣1]∪（2，+∞）
B．[﹣1，2）
C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）
D．[﹣1，2]
解：根据题意，≥0?（x+1）（x﹣2）＞0或x+1＝0，
解可得：x≤﹣1或x＞2，
即不等式的解集为{x|x≤﹣1或x＞2}；
故选：C．
3．设等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d＝1，且S6﹣S2＝10，则a3+a4＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．5
解：由d＝1，且S6﹣S2＝10，
∴S6﹣S2＝a6+a5+a4+a3＝2（a5+a4）＝10，
∴a5+a4＝5，
∴a3+a4＝（a5+a4）﹣2d＝5﹣2＝3，
故选：B．
4．若不等式ax2+bx﹣1＜0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，则a+b的值为（　　）
A．﹣
B．0
C．
D．1
解：由题意不等式ax2+bx﹣1＜0的解集是{x|﹣1＜x＜2}，故﹣1，2是方程ax2+bx﹣1＝0的两个根，
∴﹣1+2＝﹣，﹣1×2＝﹣
∴a＝，b＝
∴a+b＝0
故选：B．
5．已知等比数列{an}中，a2a3a4═1，a6a7a8＝64，则a5＝（　　）
A．±2
B．﹣2
C．2
D．4
解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2a3a4═1，a6a7a8＝64，
∴（q4）3＝64，解得q2＝2．
又＝1，解得a1＝．
则a5＝＝2．
故选：C．
6．已知在数列{an}中，，则a2020的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：数列{an}中，，所以（n+1）an+1﹣nan＝0，
所以nan＝1×a1＝2，
所以，
故．
故选：C．
7．已知a＞0，b＞0，a+b＝3，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．9
解：由a＞0，b＞0，a+b＝3，可得a+b+1＝4，
则＝[a+（b+1）]（）＝＝，
当且仅当且a+b＝3即b＝，a＝时取等号，
故选：B．
8．已知数列{bn}满足，若数列{bn}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（　　）
A．（﹣1，）
B．（﹣，）
C．（﹣1，1）
D．（﹣，1）
解：数列{bn}是单调递减数列，
则bn+1﹣bn＝2λ（﹣）n﹣（n+1）2﹣2λ（﹣）n﹣1+n2＝6λ（﹣）n﹣2n﹣1＜0，
当n为偶数时，6λ＜＝（2n+1）?（﹣2）n，即6λ＜（2n+1）?2n，
由于{2n+1）?2n}为递增数列，则数列{2n+1）?2n}的最小值20，
∴6λ＜20，
即λ＜，
当n为奇数时，6λ＜＝（2n+1）?（﹣2）n，即6λ＞﹣（2n+1）?2n，
由于{2n+1）?2n}为递减数列，则数列{﹣（2n+1）?2n}的最大值﹣6，
∴6λ＞﹣6，
∴λ＞﹣1，
综上所述实数λ的取值范围是（﹣1，）．
故选：A．
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.
9．下列说法正确的有（　　）
A．“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件
B．“”是“a＜b”的既不充分又不必要条件
C．“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件
D．“a＞b＞0”是“an＞bn（n∈N，n≥2）”的充要条件
解：A．“a＝b”?“ac＝bc”，反之不成立，因此“a＝b”是“ac＝bc的充分不必要条件，正确；
B．“”与“a＜b”相互推不出，因此“”是“a＜b”的既不充分又不必要条件，正确；
C．“ab≠0”?“a≠0”，反之不成立，因此“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，正确；
D．“a＞b＞0”?“an＞bn（n∈N，n≥2）”，反之不成立，因此“a＞b＞0”是“an＞bn（n∈N，n≥2）”的充分不必要条件，因此不正确．
故选：ABC．
10．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，2a5+a11＝0，则（　　）
A．a8＜0
B．当且仅当n＝7时，Sn取得最大值
C．S4＝S9
D．满足Sn＞0的n的最大值为12
解：∵2a5+a11＝0，
∴2a1+8d+a1+10d＝0，
∴a1＝﹣6d，
∵a1＞0，
∴d＜0，
∴{an}为递减数列，
∴an＝a1+（n﹣1）d＝﹣6d+（n﹣1）d＝（n﹣7）d，
由an≥0，（n﹣7）d≥0，解得n≤7，
∴数列前6项大于0，第7项等于0，从第8项都小于0，
∴a8＜0，当n＝6或7时，Sn取得最大值，故A正确，B错误；
∵S4＝4a1+6d＝﹣24d+6d＝﹣18d，S9＝9a1+36d＝﹣28d+36d＝﹣18d，
∴S4＝S9，故C正确；
∴Sn＝na1+d＝（n2﹣13n）＞0，
解得0＜n＜13，
∴满足Sn＞0的n的最大值为12，故D正确．
故选：ACD．
11．已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（　　）
A．a2+b2的最小值为
B．ab+的最小值为2
C．的最大值为
D．的最大值为4
解：因为a，b均为正实数，且a+b＝1，
由（）2可得，a2+b2，当且故A正确；
由ab＝，当且仅当a＝b＝时取等号，
所以ab+在（0，]上单调递减，当ab＝时取得最小值，B错误；
（）2＝a+b+2＝1+2＝2，
故即a＝b时取等号，C正确；
＝＝2+＝4，
当且仅当即a＝b＝时取等号，D
正确．
故选：ACD．
12．对于数列{an}，定义：，称数列{bn}是{an}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（　　）
A．若数列{an}单调递增，则数列{bn}单调递增
B．若数列{bn}是常数列，数列{an}不是常数列，则数列{an}是周期数列
C．若，则数列{bn}没有最小值
D．若，则数列{bn}有最大值
解：对于A：函数f（x）＝x﹣在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调递增，但在整个定义域上不是单调递增，
可知数列数列{an}单调递增，则数列{bn}不是单调递增，例如：an＝n﹣，则b2＝﹣+2＝，b3＝﹣2＝﹣，故A错误；
对于B：数列{bn}是常数列，可设bn＝an﹣＝t，则an+1﹣＝t，
∴an+1﹣﹣an﹣＝（an+1﹣an）（1+）＝0，
∵数列{an}不是常数列，
∴an+1﹣an≠0，
∴1+＝0，
整理可得an+1＝﹣，
∴an+2＝﹣＝an，
∴数列{an}是以2为周期的周期数列，故B正确；
对于CD，若an＝1﹣（﹣）n，则bn＝1﹣（﹣）n﹣，
①当n为偶数时，an＝1﹣∈（0，1）且{an}单调递增，
∴＞1＞an，
∴bn＜0，且数列{bn}单调递增，此时（bn）min＝b2＝1﹣﹣＝﹣＝﹣，
①当n为奇数时，an＝1+＞1且{an}单调递减，
∴an＞1＞，
∴bn＞0，且数列{bn}单调递减，此时（bn）max＝b1＝1+﹣＝﹣＝，
综上所述列{bn}既有最大值，也有最小值﹣，故C错误，D正确．
故选：BD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.
13．命题“?x∈R，x2﹣2x+m≤0”的否定是　?x∈R，x2﹣2x+m＞0　．
解：命题为特称命题，则命题“?x∈R，x2﹣2x+m≤0”的否定是?x∈R，x2﹣2x+m＞0，
故答案为：?x∈R，x2﹣2x+m＞0．
14．在等比数列{an}中，已知a3?a8＝10，则a53?a7的值为　100　．
解：a53?a7＝a52?（a5a7）＝a52?a62＝（a5a6）2＝（a3a8）2＝100，
故答案为：100．
15．已知x＞0，y＞0，x+3y+xy＝9，则x+3y的最小值为　6　．
解：由于x＞0，y＞0，x+3y+xy＝9，
则9﹣（x+3y）＝xy＝，
，
当且仅当x＝3y时，取“＝”
则此时，
由于x＞0，y＞0，解得，
故x+3y＝6
故答案为6．
16．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为　180　，此数列的通项公式an＝　　．
解：根据前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，
则奇数项为：，，，，，…，
偶数项为：，，，，，…，
所以第19项为：．
所以数列的通项公式为．
故答案为：180；．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．在①f（x+1）﹣f（x）＝2ax，②f（x）的对称轴为，③f（1）＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．
已知二次函数f（x）＝ax2+bx+1，若_____，且不等式f（x）≥0对任意的x∈R恒成立，试求实数a的取值范围．
解：选①f（x+1）﹣f（x）＝2ax，
∵f（x）＝ax2+bx+1，
∴a（1+x）2+b（1+x）+1﹣ax2﹣bx﹣1＝2ax，
整理可得，2ax+a+b＝2ax，
∴a+b＝0，
∵f（x）＝ax2﹣ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，
当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，
∴，解得0＜a≤4，
故0≤a≤4；
选②：f（x）的对称轴为，
∴＝，
∴b＝﹣a，
∵f（x）＝ax2﹣ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，
当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，
∴，解得0＜a≤4，
故0≤a≤4；
选③：f（1）＝2，
∴a+b+1＝2即b＝1﹣a，
∵f（x）＝ax2+（1﹣a）x+1≥0对任意的x∈R恒成立，
当a＝0时，x+1≥0不恒成立，
当a≠0时，，解得3﹣2，
故3﹣2．
18．已知数列{an}是公比q＞1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设bn＝log2an，数列的前n项和为Tn，若对n∈N
恒成立，求满足条件的自然数m的最小值．
解：（1）数列{an}是公比q＞1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．
所以，
整理得，解得，
故．
（2）由于bn＝log2an＝n，
所以，
所以＝＜1，
若对n∈N
恒成立，
只需满足即可，
故m≥4，
即满足条件的自然数m的最小值为4．
19．已知数列{an}中，a1＝2，且满足an+1﹣2an＝2n+1（n∈N
）．
（1）求证：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；
（2）求证：对于数列{bn}，b1+2b2+…+nbn＝an的充要条件是bn＝．
【解答】证明：（1）数列{an}中，a1＝2，且满足an+1﹣2an＝2n+1（n∈N
）．
整理得（常数），
所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列．
所以，
所以．
证明：（2）由于，
所以b1+2b2+…+nbn＝n?2n①，
当n＝1时，b1＝2，
当n≥2时，②，
①﹣②得：＝，
所以，（首项符合通项），
所以，
即数列{bn}，b1+2b2+…+nbn＝an的充要条件是bn＝．
20．已知函数．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞3的解集；
（2）若不等式|f（2x）﹣f（x）|≤1对任意x∈[1，2]恒成立，求实数a的取值范围．
解：（1）当a＝1时，f（x）＝，
由f（x）＞3，即＞3，化为＞0，
即1＜2x＜2，可得0＜x＜1，
则解集为（0，1）；
（2）f（x）＝＝a+，
则f（2x）﹣f（x）＝﹣＝（a+1）?，
令t＝2x，因为x∈[1，2]，可得t∈[2，4]，
由题意可得|a+1|≤＝2x﹣＝t﹣恒成立，
即有|a+1|≤（t﹣）min，
而g（t）＝t﹣在[2，4]递增，可得g（t）min＝g（2）＝，
则|a+1|≤，解得﹣≤a≤，
则a的取值范围是[﹣，]．
21．如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．
（1）试用x表示线段BC的长度；
（2）求l关于x的函数解析式f（x），并求f（x）的最小值．
解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠EAC+∠BAD＝90°，
在Rt△ABD中，∠ABD+∠BAD＝90°，
∴∠EAC＝∠ABD，则Rt△CAE∽Rt△ABD，
∴．
∵EC＝x，AC＝＝，AD＝1，
∴AB＝，
则BC＝＝；
（2）f（x）＝，x＞0．
∵x＞0，∴f（x）≥＝
．
当且仅当，且，
即x＝1时取“＝”．
∴，
故景观桥总长的最小值为（）百米．
22．已知数列{an}为等差数列，公差为d，前n项和为Sn．
（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；
（2）若a1＝﹣1，{an}中恰有6项在区间内，求d的取值范围；
（3）若a1＝1，S2＝3，集合，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{bn}，使得此新数列{bn}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：数叫作数a和数b的调和平均数）．
解：（1）因为a1＝0，d＝2，又因为Sn＝na1+?d，
所以S100＝100×0+×100×99×2＝9900；
（2）设从第m（m∈N
，m≥2）项开始在（，8）内，则
，即有，解得，
所以，解得m∈（2，]，
所以m＝3，所以d∈[，）；
（3）因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2﹣a1＝1，所以an＝n，
①新数列{bn}中有两个相同和一个不同项am，an，am，若an＝＝am，矛盾；
若am＝，解得am＝an，
所以an，am是两个不同项，且am≥1，an≥1，所以an≠am，
所以新数列{bn}中有两个相同和一个不同项是不成立的；
②新数列{bn}中有三个不同项am，an，ar，设m＝am，n＝an，r＝ar，且m＜n＜r，b1＝m，b2＝n，
则an＝，即n＝，
解得r＝，设第四项为p，则r＝，
即p＝＝＝，
设第五项为t，则p＝，即t＝＝＝，
由数学归纳法可得bn＝，即（n﹣1）b1＞（n﹣2）b2，＞，
当n非常大时，趋向于1，
则≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{bn}也不存在．
综上可得，{bn}不存在．