(共21张PPT)
探究新知
?
?
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面。
探究新知
练习：二面角是（
）
A．从一条直线出发的两个半平面所夹的角度.
B．过棱上一点和棱垂直的两射线所成的角.
C．两个平面相交时，两个平面所夹的锐角.
D．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形.
D
探究新知
?
?
A
B
P
Q
l
探究新知
有时为了方便，也可在
，
内（棱以外的半平面部分）分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角P－AB－Q
。
?
?
棱为AB，面分别为
，
的二面角记作二面角
－AB－
。
?
?
?
?
如果棱记作l
，那么这个二面角记作二面角
―
l
―
或P―
l
―Q。
?
?
角
B
A
O
边
边
顶点
从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。
定义
构成
边—点—边
（顶点）
表示法
∠AOB
二面角
A
B
面
面
棱
l
?
?
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
面—直线—面
（棱）
二面角?—l—?
或二面角?—AB—?
图形
探究新知
我们常说“把门开大一些”，是指哪个角大一些，我们应该怎样刻画二面角的大小呢？
问题：
探究新知
问题:异面直线所成的角、直线和平面
所成的角有什么共同的特征？
结论:它们的共同特征都是将三维空间的
角转化为二维空间的角,即平面角。
探究新知
?
?
A
O
l
B
在二面角?-
l
-?的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。
?
=
等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，并且方向相同，那么这两个角相等。
二面角的平面角的大小与点O在l上的位置无关
A
′
B
′
′
O
大小与点O在l上的位置有关系吗？
思考：
探究新知
二面角的大小可以用它的平面角来度量
特别的，平面角是直角的二面角叫做直二面角
二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
探究新知
两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
两个平面互相垂直的画法：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。
探究新知
平面
与
垂直，记作：
⊥
。
问题：为什么商场的旋转门转到任何位置时，门所在平面都与地面垂直？
探究新知
平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
α
β
a
符号:
这个定理说明，要证明面面垂直，实质上是转化为线面垂直．
探究新知
例题讲解
例：如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC
实战演练
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90。.
证明：平面PAB⊥平面PAD
由于“线线垂直”、“线面垂直”与“面面垂直”之间可以相互转化，因此整个解题过程始终沿着“线线垂直、线面垂直、面面垂直”转化途径进行．
解题感悟：
如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记为G-
SEF，则四面体
S—EFG中必有(
)
A.
SG⊥△EFG所在平面
B.
SD⊥△EFG
所在平面
C.
GF⊥△SEF所在平面
D.GD⊥△SEF
所在平面
S
G1
G2
G3
E
F
D
A
拓展加深
解题感悟：
解决折叠问题，应该先画出折叠后的几何体，然后抓住折叠前后没有变化的量。
小结
1、二面角、二面角的平面角的定义
2、平面与平面垂直的定义及判定
3、线线垂直
线面垂直
面面垂直
课后作业：
P.73
习题2.3
A组1,2,3,4.
谢谢教学设计
——《2.3.2平面与平面垂直的判定》
【教学目标】
知识与技能
①
体会二面角的概念与度量?
②
归纳两个平面垂直的判定定理?
③
应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题
过程与方法
①
通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想。
②
通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力。?
③
通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想。
情感态度与价值观
直观感知、操作确认数学定理，通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学。
存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.
教学重点?两个平面垂直的判定定理及应用?
教学难点?二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括?
【学法与教学用具】
学法：实物观察?直观感知?操作确认?类比归纳?语言表达.
教学用具：二面角模型
长方体模型
折叠纸?多媒体软硬件设备等.
【教学情景设计】
教学内容
教师活动
设计意图
引入
问题1直线与直线相交成一定的角?那么平面与平面相交是否也成一定角？?
利用课本“修筑水坝、发射人造卫星”两个实例，实际是两个平面相交，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定.问题2:
阅读教科书第68页，类比初中所学角的概念，归纳二面角的概念.
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角。?这条直线叫做二面角的棱?这两个半平面叫做二面角的面.
问题3：举出实际生活中一些二面角的例子.问题4：?如何表示二面角？?
1.从实际背景出发,增加学生对二面角的感性认识.让学生感受生活中处处有数学,数学用途广泛,增强学数学的兴趣.
2.概念的形成主要依靠对感性材料的抽象概括,?对已有知识的归纳总结,设置学生的最近思维发展区,不将书中的定义生硬地教给学生,而是通过自制模具的演示,采用类比的思想将二面角的概念移植过来。
3.让学生在此基础上再举一些平面成角的例子.如教室的门在打开的过程中与墙面成一定的角度,书本翻开的过程中两张纸面呈一定的角度等.
4.以知识填空的形式呈现,使学生了解二面角的数学符号表述。
探索思考二面角的度量
问题1:我们常说“把门开得大些”,是指哪个角大些?我们应该怎样刻画二面角的大小?让学生回忆定义两条异面直线所成角的做法得到启发,能否用“平面角”来度量“二面角”?
引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况.
引导学生分析书页底部边沿所成的平面角的特点.
一是平面角的顶点在棱上?
二是平面角的两边分别在二面角的两个平面内?
三是两边分别垂直于棱。
问题2:对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面角模型上任意作两个平面角,
平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系?
平面角与顶点在棱上的位置无关?只与二面角的张角大小有关。
问题3:根据平面角的特点与作法,你能归纳出二面角的平面角的概念吗?
在二面角α―l―β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角。问题4:二面角的平面角所确定的平面和二面角的棱的关系?注:1.二面角是用它的平面角来度量的,一个二面角的平面角多大,就说这个二面角是多少度的二面角。
2.平面角是直角的二面角叫做直二面角。
1.引导学生用“平面化”的思想来思考问题.
2.捕捉创造适宜于学生领悟的问题情境,让学生动手操作,直观感受数学过程形象而生动的特点,生成知识.?
3.让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程,使得学生对概念的认识不断深化。
4.提高学生数学表达、归纳能力.
探究两个平面垂直的判定定理
观察:教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交,它们所成的二面角及其度数.问题1:类比线线垂直的定义,如何用二面角的平面角的大小给面面垂直下一个定义?引导学生归纳面面垂直的定义。两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面相互垂直.问题2:在工程建设中,建筑工人用一端系有铅锤的线来检查墙面与地面是否垂直,即若紧贴墙面的铅锤的线.如垂直地面,则确定墙面与地面垂直,否则不垂直。紧贴墙面的线?这句话的实质意义是什么?(学生讨论,期望回答:即此线在墙所在平面)
由此实际问题如何抽象为数学问题呢?(学生交流讨论,期望回答:若平面过另一平面的垂线,则平面垂直)?
探究长方体模型中的面面垂直关系
追问1:如何用判定定理证明长方体的侧面与底面垂直?
追问2:在侧面内有多少条线与底面垂直?只需要几条.
追问3:(1)如何证明上述命题呢?从已学过知识可知,只能从定义出发。(2)定义的实质是什么呢?即证明两平面垂直的根据是什么?期望回答:即证二面角的平面是直角。(3)二面角的平面角如何做出呢?关键在哪里?学生交流,期望回答:已知平面的垂线故此垂线必垂直于两平面的交线,所以关键在于在已知平面做与公共棱垂直的直线。(4)过已知平面的垂线再作一个面与已知面是否垂直?引导学生再次经历上述探究过程。
归纳生成两个平面垂直的判定定理?一个平面过另一个平面的垂线?则这两个平面垂直?问题3:演示开门、关门的过程,门与地面始终垂直吗?为什么?问题4:判定面面垂直的本质和关键是什么??
1.采用类比迁移的思想,归纳面面垂直的定义,提高学生的抽象概括能力和知识迁移能力。
2.教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上通过问题引领?来促成学生形成面面垂直的判定定理。
3.强调本质,注意适度形式化.数学的本质是生动活泼的数学思维活动。通过学生交流讨论,?把实际问题抽象成数学问题,并赋予抽象的数学符号和表达方式。
4.尽可能地揭示出知识生成的全貌,使学生从整体上把握问题的解决方法。5.用判定定理解释生活中的常见现象,让学生意识到数学来源于生活,服务于生活,也体现了从特殊到一般再到特殊的知识认知过程。
6.促进学生数学思想方法的形成,引导学生确实掌握转化与化归的数学思想方法。让学生对教学思想方法及其情境达到较为纯熟的认识,并将这种认识思维地贮存在大脑中,随时提取和应用。
平面垂直的判定定理应用
例：AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC证明?设⊙O所在平面为α?由已知条件,有PA⊥α,BC在α内,
所以PA⊥BC.因为点C是不同于A、B的任意一点，AB为⊙O的直径，所以∠BCA=90°即BC⊥CA又因为PA与AC是△PAC所在面内的两条相交直线?所以BC⊥平面PAC又因为BC在平面PBC内?
所以?平面PAC⊥平面PBC。
虽然多媒体的使用方便快捷，但不能完全代替板书。因此，教师一定要对证明过程进行规范、完整的板书，引导学生注意证明过程的规范性和严谨性，帮助学生养成良好的学习习惯。
课堂梳理
如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且∠BAP=∠CDP=90。.证明：平面PAB⊥平面PAD
1、知识性内容的总结,可以把课堂教学传授的知识尽快转化为学生的素质。2、数学思想方法的总结,学生更系统、更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和作用，并且逐渐培养学生的良好个性品质。这是每堂课必不可少的一个重要环节。
布置作业
基础题：课本P.73
习题2.3A组1,2,3,4.拓展题:课本P.69
例
在四面体PABC中任意两个平面所成的二面角的平面角如何确定？
设计了基础题与拓展题，因材施教，这样既面向总体又照顾学生差异，满足不同学生发展的需要，最终实现全体学生的学在差异状态下的差异发展。也落实了将新课程倡导的“数学教育要面向全体学生，实现人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。”
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