人教版数学八年级下册 第18章 平行四边形单元测试试题（一）（word版含解析）

平行四边形单元测试试题（一）
一．选择题
1．在平行四边形ABCD中，若∠A＝60°，则∠B的度数是（　　）
A．30°
B．60°
C．90°
D．120°
2．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连结DF，若∠BAD＝70°，则∠CFD等于（　　）
A．50°
B．60°
C．70°
D．80°
3．如图，菱形ABCD的边长为，对角线AC，BD交于点O，OA＝1，则菱形ABCD的面积为（　　）
A．
B．2
C．2
D．4
4．下列说法中错误的是（　　）
A．对角线互相平分的四边形是菱形
B．对角线相等的平行四边形是矩形
C．菱形的对角线互相垂直
D．对角线长为a的正方形的面积是
5．如图，两个全等的矩形纸片重叠在一起，矩形的长和宽分别是8和6，则重叠部分的四边形周长是（　　）
A．10
B．15
C．20
D．25
6．矩形ABCD中，点M在对角线AC上，过M作AB的平行线交AD于E，交BC于F，连接DM和BM，已知，DE＝2，ME＝4，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．12
B．10
C．8
D．6
7．将三个大小不同的正方形如图放置，顶点处两两相接，若正方形A的边长为4，正方形C的边长为3，则正方形B的面积为（　　）
A．25
B．5
C．16
D．12
8．如图，在?ABCD中，分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF，延长CB交AE于点G，点G在点A、E之间，连结CG、CF，则以下结论中不正确的是（　　）
A．△CDF≌△EBC
B．∠ECF＝60°
C．△ECF是等边三角形
D．CG⊥AE
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝10，则CD＝（　　）
A．2
B．3
C．4
D．6
10．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D在斜边AB上，且AD＝CD，则下列结论中错误的结论是（　　）
A．∠DCB＝∠B
B．BC＝BD
C．AD＝BD
D．∠ACD＝∠BDC
二．填空题
11．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8，则线段OH的长为　
　．
12．如图，F是菱形ABCD的边AD的中点，AC与BF相交于E，EG⊥AB于G，已知∠1＝∠2，则下列结论：①AE＝BE；②BF⊥AD；③AC＝2BF；④CE＝BF+BG．其中正确的结论是　
　．
13．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BA＝5，AC＝8，D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN长的最小值为　
　．
14．在?ABCD中，AB＝4，AD＝5，则AC2+BD2的值为　
　．
15．如图，在?ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则?ABCD的周长是　
　．
三．解答题
16．如图，在平行四边形ABCD中，点O是BC的中点，连接DO并延长，交AB延长线于点E，连接BD，EC．
（1）求证：四边形BECD是平行四边形；
（2）若∠A＝50°，则当∠ADE＝　
　°时，四边形BECD是菱形．
17．如图，在长方形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE．设点P运动的时间为ts．
（1）当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，说明理由；
（2）是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
18．如图，平行四边形ABCD中，点G是CD的中点，点E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连结CE，DF．
（1）求证：四边形CEDF为平行四边形．
（2）若AB＝5cm，BC＝10cm，∠B＝60°．
①当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是矩形．
②当AE＝　
　cm时，四边形CEDF是菱形．
19．如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，点D重合），GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG，
（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由．
（2）若正方形ABCD的边长为，∠BAG＝75°，求线段BG的长．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠A+∠B＝180°，
∴∠B＝180°﹣60°＝120°．
故选：D．
2．【解答】解：连接BF，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠BAC＝∠BAD＝×70°＝35°，∠BCF＝∠DCF＝∠BAC，BC＝DC，∠ABC＝180°﹣∠BAD＝180°﹣70°＝110°，
∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，
∴∠DCF＝∠ABF＝∠BAC＝35°，
∴∠CBF＝∠ABC﹣∠ABF＝110°﹣35°＝75°，
在△BCF和△DCF中，
，
∴△BCF≌△DCF（SAS），
∴∠CDF＝∠CBF＝75°，
∴∠CFD＝180°﹣∠CDF﹣∠DCF＝180°﹣75°﹣35°＝70°，
故选：C．
3．【解答】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1，
∴AC＝2AO＝2，
∵菱形ABCD的边长为，
∴AB＝，
∴BO＝＝＝2，
∴BD＝2BO＝4，
∴菱形ABCD的面积＝BD×AC＝＝4，
故选：D．
4．【解答】解：因为对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A选项错误，符合题意；
因为对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项正确，不符合题意；
因为菱形的对角线互相垂直，所以C选项正确，不符合题意；
因为对角线长为a的正方形的面积是：
a×a＝a2．所以D选项正确，不符合题意．
故选：A．
5．【解答】解：如图所示：
由题意得：矩形BFDE≌矩形BHDG，
∴∠G＝90°，DG＝DE＝6，BG∥DH，BE∥DF，BG＝8，
∴四边形ABCD平行四边形，
∴平行四边形ABCD的面积＝AD×DG＝CD×DE，
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是菱形，
∴CD＝BC＝AB＝AD，
设CD＝BC＝x，则CG＝8﹣x，
在Rt△CDG中，由勾股定理得：62+（8﹣x）2＝x2，
解得：x＝，
∴CD＝，
∴四边形ABCD的周长＝4CD＝25；
故选：D．
6．【解答】解：过M作MP⊥AB于P，交DC于Q，如图所示：
则四边形DEMQ，四边形QMFC，四边形AEMP，四边形MPBF都是矩形，
∴S△DEM＝S△DQM，S△QCM＝S△MFC，S△AEM＝S△APM，S△MPB＝S△MFB，S△ABC＝S△ADC，
∴S△ABC﹣S△AMP﹣S△MCF＝S△ADC﹣S△AEM﹣S△MQC，
∴S四边形DEMQ＝S四边形MPBF，
∵DE＝CF＝2，
∴S△DEM＝S△MFB＝×2×4＝4，
∴S阴＝4+4＝8，
故选：C．
7．【解答】解：如图，
∵根据正方形的性质得：DF＝FG，∠DEF＝∠GHF＝∠DFG＝90°，
∴∠EDF+∠DFE＝90°，∠DFE+∠GFH＝90°，
∴∠EDF＝∠GFH，
在△DEF和△FHG中，
，
∴△DEF≌△FHG（AAS），
∴DE＝FH＝4，
∵GH＝3，
在Rt△GHF中，由勾股定理得：FG2＝32+42＝25，
则正方形B的面积为25．
故选：A．
8．【解答】解：∵△ABE、△ADF是等边三角形，
∴FD＝AD，BE＝AB，
∵AD＝BC，AB＝DC，
∴FD＝BC，BE＝DC，
∵∠CBE＝∠FDC，∠FDA＝∠ABE，
∴∠CDF＝∠EB，
∴△CDF≌△EBC（SAS），故A正确；
∵∠FAE＝∠FAD+∠EAB+∠BAD＝60°+60°+（180°﹣∠CDA）＝300°﹣∠CDA，
∠FDC＝360°﹣∠FDA﹣∠ADC＝300°﹣∠CDA，
∴∠CDF＝∠EAF，
同理可得：∠CBE＝∠EAF＝∠CDF，
∵BC＝AD＝AF，BE＝AE，
∴△EAF≌△EBC（SAS），
∴∠AEF＝∠BEC，
∵∠AEF+∠FEB＝∠BEC+∠FEB＝∠AEB＝60°，
∴∠FEC＝60°，
∵CF＝CE，
∴△ECF是等边三角形，故C正确；
∴∠ECF＝60°，故B正确；
在等边三角形ABE中，
∵等边三角形顶角平分线、底边上的中线、高和垂直平分线是同一条线段，
∴如果CG⊥AE，则G是AE的中点，
∴∠ABG＝30°，∠ABC＝150°，
而题目缺少这个条件，
∴CG⊥AE不能求证，故D错误．
故选：D．
9．【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝10，
∴AE＝CE＝10，
∵AD＝4，
∴DE＝6，
∵CD为AB边上的高，
在Rt△CDE中，CD＝＝＝6，
故选：D．
10．【解答】解：∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠B＝∠BCD，A选项结论正确，不符合题意；
BC与BD不一定相等，B选项结论错误，符合题意；
∵∠B＝∠BCD，
∴BD＝CD，
∵AD＝CD，
∴AD＝BD，C选项结论正确，不符合题意；
∵∠A＝∠ACD，
∴∠BDC＝∠A＝∠ACD＝2∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC，D选项结论正确，不符合题意；
故选：B．
二．填空题（共5小题）
11．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，
在Rt△BOC中，BC＝＝5，
∵H为BC中点，
∴OH＝BC＝2.5．
故答案为：2.5．
12．【解答】解：连接DB交AC于O，
∵四边形ABCD为菱形，
∴AD∥CB，AD＝AB，AC⊥BD，AO＝CO，∠DAC＝∠CAB，
∴∠1＝∠DAC，∠1＝∠2，
∴∠CAB＝∠2，
∴AE＝BE，
故①正确；
∵AE＝BE，EG⊥AB，
∴AG＝GB＝AB，
∵F是AD中点，
∴AF＝AD，
∴AF＝AG，
在△AEF与△AEG中，
，
∴△AEF≌△AEG（SAS），
∴∠AFE＝∠AEG＝90°，
∴BF⊥AD，
故②正确；
在△AFB与△ABO中，
，
∴△AFB≌△ABO（AAS），
∴BF＝AO＝AC，
∴AC＝2BF，
故③正确；
∵∠2+∠CAB+∠CAD＝90°，∠2＝∠CAB＝∠CAD，
∴∠2＝∠CAB＝∠CAD＝30°，
∴BO＝AB＝BG，
在Rt△EGB与Rt△EOB中，
，
∴Rt△EGB≌Rt△EOB（HL），
∴EG＝EO，
∴CE＝CO+EO＝BF+EG，
故④错误．
故答案为：①②③．
13．【解答】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝5，AC＝8，
∴BC＝＝＝，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，
∴四边形DMAN是矩形，
∴MN＝AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，
此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，
∴AD＝＝＝，
∴MN的最小值为，
故答案为：．
14．【解答】解：过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，
设BE＝CF＝x，AE＝DF＝y，
则
AC2+BD2
＝（5﹣x）2+y2+（5+x）2+y2
＝50+2x2+2y2
＝50+2×42
＝82．
故答案为：82．
15．【解答】解：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∵?ABCD中，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CED，
∴∠CDE＝∠CED，
∴CE＝CD，
在?ABCD中，AD＝5，BE＝2，
∴AD＝BC＝5，
∴CE＝BC﹣BE＝5﹣2＝5，
∴CD＝AB＝5，
∴?ABCD的周长＝5+5+3+3＝16，
故答案为：16．
三．解答题（共4小题）
16．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD，
∴∠OEB＝∠ODC，
又∵O为BC的中点，
∴BO＝CO，
在△BOE和△COD中，
，
∴△BOE≌△COD（AAS）；
∴OE＝OD，
∴四边形BECD是平行四边形；
（2）解：当∠ADE＝90°时，四边形BECD是菱形，理由如下：
∵∠A＝50°，∠ADE＝90°，
∴∠AED＝40°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠CBE＝∠A＝50°，
∴∠BOE＝90°，
∴BC⊥DE，
∴四边形BECD是菱形，
故答案为：90．
17．【解答】解：（1）过点P作PF⊥CD于点F，如图：
由题意得BP＝t，AP＝10﹣t，PF＝4，EF＝7﹣t．
当t＝1时，△PAE不是直角三角形，理由如下：
当t＝1时，
PE2＝PF2+EF2＝42+（7﹣t）2＝16+36＝52，AP2＝（10﹣t）2＝81，
∵在长方形ABCD中，AB＝10，CE＝7，
∴DC＝AB＝10，
∴DE＝DC﹣CE＝10﹣7＝3，
又AD＝4，
∴AE2＝32+42＝25，
∵81≠52+25，
∴AP2≠PE2+EA2，
∴△PAE不是直角三角形；
（2）存在这样的t，使EA平分∠PED，理由如下：
若EA平分∠PED，则∠AED＝∠PEA，
∵四边形ABCD为长方形，
∴CD∥AB，
∴∠AED＝∠EAP，
∴∠PEA＝∠EAP，
∴PE＝PA＝10﹣t，
∵PF⊥CD，
∴∠PFD＝90°，
又∵在长方形ABCD中，∠D＝∠DAB＝90°，
∴四边形PADF为长方形，
∴PF＝AD＝4，
在Rt△PEF中，EP2＝EF2+PF2，
∴（10﹣t）2＝42+（7﹣t）2，
解得：t＝．
18．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BF，
∴∠DEG＝∠CFG，
∵G是CD的中点，
∴GD＝GC，
在△GED和△GFC中，
，
∴△GED≌△GFC（AAS），
∴DE＝CF，
又∵DE∥CF，
∴四边形CEDF是平行四边形，
（2）解：①当AE＝7.5cm时，四边形CEDF是矩形；理由如下：
作AP⊥BC于P，如图所示：
∵AB＝6cm，∠B＝60°，
∴∠BAP＝30°，
∴BP＝AB＝2.5cm，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠CDE＝∠B＝60°，DC＝AB＝5cm，AD＝BC＝10cm，
∵AE＝7.5cm，
∴DE＝AD﹣AE＝2.5cm＝BP，
在△ABP和△CDE中，
，
∴△ABP≌△CDE（SAS），
∴∠CED＝∠APB＝90°，
∴平行四边形CEDF是矩形，
故答案为：7.5；
②当AE＝5cm时，四边形CEDF是菱形，理由如下：
∵AE＝5cm，AD＝10cm，
∴DE＝AD﹣AE＝5（cm），
∵DC＝5cm，∠CDE＝∠B＝60°，
∴△CDE是等边三角形，
∴DE＝CE，
∴平行四边形CEDF是菱形，
故答案为：2cm．
19．【解答】解：（1）结论：AG2＝GE2+GF2．
理由：连接CG．
∵四边形ABCD是正方形，
∴A、C关于对角线BD对称，
∵点G在BD上，
∴GA＝GC，
∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，
∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°，
∴四边形EGFC是矩形，
∴CF＝GE，
在Rt△GFC中，∵CG2＝GF2+CF2，
∴AG2＝GF2+GE2；
（2）过点A作AH⊥BG于H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD＝∠GBF＝45°，
∵GF⊥BC，
∴∠BGF＝45°，
∵∠BAG＝75°，
∴∠AGB＝180°﹣∠ABD﹣∠BAG＝60°，
∴∠GAH＝30°，
在Rt△ABH中，∵AB＝，
∴AH2＝BH2＝＝3，
∴AH＝BH＝，
在Rt△AGH中，∵AH＝，∠GAH＝30°，
∴AG＝2HG，
∵AG2＝HG2+AH2，
∴（2HG）2＝HG2+（）2，
解得：HG＝1，
∴BG＝BH+HG＝+1．