“抛物线及其标准方程”（第一课时）教学设计
【教学目标】
学习目标：1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念．(重点)
2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程．(易错点)
3.明确p的几何意义，并能解决简单的求抛物线标准方程问题．(难点)
核心素养：a.数学抽象：抛物线的定义
b.逻辑推理：类比法建系
c.数学运算：抛物线标准方程的推导
d.直观想象：抛物线的图象
e.数学建模：解决实际问题
【教学重点】抛物线定义及其标准方程.
【教学难点】抛物线定义的灵活运用及解决实际问题的能力.
【教法、学法】启发引导，分析讲解，练习领会.
【教具】粉笔、三角板、ppt、几何画板.
【教学过程】
一、创设情景，引入新课
展示抛球的运动轨迹和生活中的抛物线实例，引入新课，激发学生的学习热情.
设计意图：通过生活中的应用实例，一方面吸引学生的注意力，让学生对抛物线有一个感性上的认识，另一方面让学生意识到到研究抛物线的必要性，感受到数学来源与生活，生活离不开数学.
提问：抛物线到底有什么样的几何性质？怎么样给抛物线下一个定义呢？
复习准备
我们知道,椭圆、双曲线都可以看作是,在平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数k的点的轨迹.(其中定点不在定直线上)
当0当k＞1时，点的轨迹是___双曲线___________
思考：当k=1时，点的轨迹是什么呢？
二、画板演示，得出定义
借助于《几何画板》演示“动点轨迹”：点F是定点，l是不过点F的定直线，H是l上任意一点，
过点H作l的垂线MH，作线段FH的垂直平分线m，MH与直线m交于点M。拖动点H，观察点M的轨迹.你能发现点M满足的几何条件吗？（MF=MH）教师引导学生一起讨论，最后得出抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）的距离相等的点的轨迹称为抛物线.这个定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线.
设计意图：通过几何画板的动态演示，让学生在感性和理性上认识到抛物线的几何性质，从而得出抛物线的定义.抛物线的形成过程用动态性的演示，使他们真正看到了“轨迹”，这样易于理解，记忆深刻，为学习下一节“抛物线的性质”打下了基础.
三、师生共析，推出方程
1、推导出焦点在x轴正半轴的情形
类比椭圆、双曲线标准方程的建立过程，你认为如何选择坐标系求抛物线的方程？（设定点到定直线的距离为p
)
尝试一：以直线l
为
y
轴，过点
F
垂直于l的直线为
x
轴建立直角坐标系,则抛物线的方程为
尝试二：以定点
F为原点，过点F
垂直于l
的直线为
x
轴建立直角坐标系,则抛物线的方程为
尝试三：以过F且垂直于l的直线为x轴,垂足为K.以F,K的中点O为坐标原点建立直角坐标系,则抛物线的方程为
通过学生自己探究的过程，更能深刻理解标准方程的建系方法的必要性。具体过程如下：
解：如图所示，取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l
相交与点K，以线段KF的垂直平分线为y轴，并且使焦点F在x轴的正半轴上，建立直角坐标系xoy.设抛物线的焦点F到准线的距离为p，则
，焦点F的坐标为，准线，设抛物线上任意一点，则
．
我们把叫做“顶点在原点、焦点在x正半轴上”的抛物线的标准方程，焦点F的坐标为：，准线l的方程为：
，开口向右，其中p为正数，它的几何意义是：焦点到准线的距离（简称“焦准距”）.
2、其余三种抛物线的标准方程
类似地，我们可以建立如下表所示的坐标系，从而得到抛物线方程的另外三种形式，，．这四种方程都叫做抛物线的标准方程．
标准方程
图形
焦点坐标
准线方程
开口方向
向 右
向 左
向 上
向 下
3、比较分析，得出一般规律
提问：抛物线的四种形式的标准方程的相同点和区别是什么？如何根据抛物线的标准方程判断焦点位置？
方程的共同特点:左边都是二次式,且系数为1；右边都是一次式.
焦点位置的判断方法：
在标准形式下，看一次项，（1）若一次项的变量为X（或Y），则焦点就在X（或Y）轴上；（2）若一次项的系数为正（或负），则焦点在正（或负）半轴.
设计意图：引导学生一起推导出得出焦点在x轴正半轴的情况的标准方程，再类比得到其余三种情况，考虑到学生的实际情况，在此直接给出另外三种情况的标准方程.通过四种情况的观察、对比，引导学生发现抛物线的标准方程与图形之间的内在联系，从而得到跟一般的规律，在这里充分体现了解析几何中数形结合的思想.
[
这样，我们就能解决课本上的思考题：你能说明二次函数
的图象为什么是抛物线吗？指出它的焦点坐标、准线方程.
这样我们就能解决这样这样
四、实例分析，深化理解
【例1】
（1）
y2=6x
，求它的焦点坐标和准线方程．
（2）已知抛物线的焦点是F(0,-2)，求它的标准方程.
【方法总结】求抛物线的标准方程的一般方法：
第一、确定焦点的位置；第二、确定抛物线方程的形式；第三、确定p值（焦准距）；
第四，将p值代入.注意待定系数法。
练习
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2
=
20x
（2）x2=
y
（3）x2
+8y
=0
设计意图：通过例1设置的几个不同提问，让学生掌握“已知抛物线的标准方程、焦点坐标和准线方程中的一个，求出另外两个”的一般方法.变式训练这一环节，既让学生巩固和加深对抛物线及其标准方程的理解，又使学生在“练”的过程中通过反思、感悟，不断调整自己的认识结构和经验结构，完成人的经验自主建构的过程.
题后反思：求抛物线的焦点坐标和准线方程，先把抛物线的方程化成标准形式。
例2：一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
小结：待定系数法求抛物线的标准方程。
五、课堂小结，加强印象
1、抛物线的定义；2、抛物线的四种不同形式的标准方程、焦点坐标、准线方程；3、求标准方程一般步骤.
设计意图：引导学生自我反馈、自我总结，并对所学知识进行提炼升华。让学生学会学习，学会内化知识的方法与经验，促进目标达成.
体会其中的数学思想
数形结合的思想、类比的思想、分类讨论的思想、坐标的思想。
六、布置作业，巩固提升
课时分层作业
七、板书设计（略）
.
.
x
O
F
l
.
.
x
O
F
l
PAGE
1(共19张PPT)
3.3.1抛物线及其标准方程
F
l
M1
M
M2
当
0时是椭圆
当
k>1
时是双曲线
当
k=1
是？
复习引入：
一个动点M
到一个定点F
和一条定直线l
的距离之比
为常数
k
:
提出问题：
M
·
F
l
·
k=1
在平面内,与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫抛物线.
定点F
叫抛物线的焦点,
定直线
叫抛物线的准线
准线
焦点
d
一、抛物线的定义:
l
二、标准方程的推导
·
·
F
M
l
H
如何建立直角
坐标系？
求曲线方程的基本步骤是怎样的？
步骤：（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明
?
探讨建立平面直角坐标系的方案
.
M
.
x
y
O
F
l
.
M
.
x
y
O
F
l
.
.
M
x
y
F(0)
l
方案(1)
方案(2)
方案(3)
设定点与定直线之间的距离为p(p>0)
比较三种方案推导出的方程，哪种更简单？
.
M
.
x
y
O
F
l
.
M
.
x
y
O
F
l
.
.
M
x
y
F
l
方案(1)
方案(2)
方案(3)
三、抛物线的标准方程
把方程
y
2
=
2px
(p＞0)叫做抛物线的标准方程.其中
p
为正常数,表示焦点在
x
轴正半轴上.
x
y
o
d
p
F
l
·
M
p:
焦点到准线的距离
焦点坐标:
准线方程:
怀抱焦点，背着准线
你能否分别写出开口向左、向上、向下，顶点在原点，焦点在坐标轴上的抛物线的标准方程？
思考：
﹒
y
x
o
(1)
﹒
y
x
o
(2)
﹒
y
x
o
(3)
﹒
y
x
o
(4)
【四种形式抛物线的性质对比】
图
象
y
x
o
F
l
y
x
o
F
l
y
x
o
F
l
y
x
o
F
l
y2=2px
(p>0)
y2=-2px
(p>0)
x2=2py
(p>0)
x2=-2py
(p>0)
焦点坐标
准线方程
标准方程
P：
焦点到准线的距离
抛物线标准方程的特征：
等号左边是系数为1的二次项，右边是一次项.
小结：
（1）一次项定轴，系数正负定方向；
（2）焦点与方程一次项同号，准线与方程一次项异号.
P132思考：
例1（1）已知抛物线的标准方程是y2
=
6x，
求它的焦点坐标和准线方程；
（2）已知抛物线的焦点坐标是F（0，-2），
求它的标准方程。
解：因为ｐ＝3，故焦点坐标为（－,０）
准线方程为x=-
－.
32
32
解:因焦点在y轴的负半轴上,所以设所求的标准方程为
又p=4,故其标准方程为x
=
-
8y
2
待定系数法
1、求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：
（1）y2
=
20x
（2）x2=
y
（3）x2
+8y
=0
焦点坐标
准线方程
（1）
（2）
（3）
（5，0）
x=
-5
（0，—）
1
8
y=
-
—
1
8
y=2
(0
,
-2)
【题后反思】：
求抛物线的焦点坐标或准
线方程，先把抛物线方程
化为标准方程。
例2：一种卫星接收天线如下图所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线.卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的径口（直径）为4.8m，深度为1m.试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标。
解：如上图，在接收天线的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使接收天线的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，焦点在x轴上.
设抛物线的标准方程是
，由已知条件
可得，点A的坐标是(1,2.4)
代入方程，得
即
所以,所求抛物线的标准方程是
，焦点的坐标是
.
课
堂
小
结
抛物线的定义
抛物线四种形式的标准方程
抛物线的定义及其标准方程的简单应用
数形结合的思想
分类讨论的思想
类比的思想
坐标的思想
作业：
课时分层作业
