东台中学2020～2021学年度第一学期期中学情检测
高
二
数
学
注
意
事
项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1．本试卷共4页，包含［选择题（1~12））填空题（第13题～第16题，共80分）、解答题（第17～22题，共70分）。本次考试时间120分钟，满分150分、考试结束后，请将答题卡交回。
2．答题前，请考生务必将自己的姓名、学校、班级、座位号、考试证号用0.5毫米的黑色签字笔写在答题卡上相应的位置，并将考试证号用2B铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。
3．答题时请用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。
一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分。在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设，则“”是“”的（
）条件.
A.充分而不必要
B.必要而不充分
C.充要
D.既不充分也不必要
2.
设是等比数列，且，，则的值为．
A.12
B.24
C.30
D.32
3.
已知不等式x2+bx﹣c＜0的解集为{x|3＜x＜6}，则不等式﹣bx2+（c+1）x﹣2＞0的解集为（ ）
A.
B.
C.
D.
4.
《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b和a的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a+b，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF⊥BC于点F，则下列四个说法中，正确的个数是（ ）
①由图1和图2面积相等可得；
②由AE≥AF可得；
③由AD≥AE可得；
④由AD≥AF可得a2+b2≥2ab．
A.1
B.2
C.3
D.4
已知等差数列满足，，则数列的前10项的和为（ ）
A.
B.
C.
D.
6.
已知双曲线（）的左、右焦点分别是，是双曲线右支上一点，，于，，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A.
B.
C.
D.
7.
若不等式x2＋2x<＋对任意a，b∈恒成立，则实数x的取值范围是（ ）
A.(－2,0)
B.
C.(－4,2)
D.
8.
设点P为椭圆上一点，F1、F2分别是椭圆C的左、右焦点，且的重心为点G，如果|PF1|：|PF2|＝2：3，那么△GPF1的面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
9.
下列说法中正确的有( )
A.不等式a＋b≥2恒成立
B.存在a，使得不等式a＋≤2成立
C.若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
D.若正实数x，y满足x＋2y＝1，则＋≥8
10.已知是椭圆的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点，组成公差为的等差数列，则（
）
A．该椭圆的焦距为
B．的最小值为
C．的值可以为
D．的值可以为
11.下列命题中正确的是（ ）
A.对于实数，若，则；
B.对命题p：存在，使得，则：对于任意的均有x2+x+1≥0
C.“数列{an}既是等差数列，又是等比数列”的充要条件是“数列{an}是常数列”
D.已知椭圆的离心率为，则.
12.已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，
，则下列选项正确的为（
）
A.数列是等差数列
B.数列是等比数列
C.数列的通项公式为
D.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上．
13.
若x、y∈R且满足x+3y＝2，则3x+27y的最小值是
▲
．
14.
将数列与的公共项从小到大排列得到数列，则的前n项和
▲
．
15.
已知椭圆(0▲
．
16.
，使得成立，则实数的取值范围
▲
．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答.
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）
如图，在平面直角坐标系中，椭圆的焦点在轴上，分别是左右焦点，为上顶点，为线段的中点.
(1)求实数的取值范围；
(2)若，求实数的值.
18.
（本小题满分12分）
在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
若等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，且，如果______．
求数列，的通项公式．
（2）记，求数列的前项和．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
19.
（本小题满分12分）
已知f（x）＝ax2-（a+1）2x+2（a2+1），a∈R
（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥0．
（2）当a时，求关于x的不等式f（x）≥0的解集．
20.
（本小题满分12分）
请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．
（1）如图1，要在一个半径为1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
（2）如图2，要在一个长半轴为2米，短半轴为1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
21.
（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆的长轴长为，且椭圆两准线的距离为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设N(0,2)，过点P(－1，－2)作直线l，交椭圆C于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1＋k2为定值．
（本小题满分12分）
等差数列的公差为，且各项均不为；在等比数列中，.
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求的值；
(3)若，不等式对任意正整数成立，求整数的最小值.
高二数学
第1页（共4页）2020～2021学年度第一学期期中学情检测
高二数学参考答案
一、选择题
1．A；
2．D；
3．C；
4．D；
5．D；
6．D；
7．C；
8．C；
二、多选题
9．BCD；
10．ABD；
11．AB；
12．BCD．
三、填空题
13．6；
14．3n2﹣2n；
15．；
16．
四、解答题
17．解：(1)因为椭圆的焦点在轴上，
所以，
……………2分
解得，
所以的取值范围为；
……………4分
(2)
因为为线段的中点，
所以，
……………6分
即，，
所以，又，，
所以，解得.
……………10分
18.解：方案一：选条件①
（1）因为
所以
解得或（舍去）
所以
所以,
……………4分
（2）因为
所以
所以
所以
……………8分
所以
所以
……………12分
方案二：选条件②
（1）
故
解得或（舍去），所以
……………4分
（2）
，故有
……………8分
所以
……………12分
方案三：选条件③
（1）由，得：
解得或（舍去）由，得：
……………4分
（2）由题意，即
故
即
……………8分
故
所以
……………12分
19.解：（1）对于f（x）＝ax2﹣（a+1）2x+2（a2+1），a∈R，
a＝2时，不等式f（x）≥0，即
2x2﹣9x+10≥0，
解得
x≤2
或x≥，故不等式的解集为{x|x≤2
或x≥}．
……………4分
（2）不等式f（x）≥0，即
ax2﹣（a+1）2x+2（a2+1）≥0．
当a＝0时，不等式即﹣x+2≥0，求得x≤2．
……………6分
当a≠0时，令ax2﹣（a+1）2x+2（a2+1）＝0，解得x1＝a+，x2＝2．………8分
（i）当a＝1时，a+＝2．
不等式ax2﹣（a+1）2x+2（a2+1）≥0的解集为R．
……………10分
（ii）当a＞0且a≠1时，由基本不等式得，a+＞2．
解不等式ax2﹣（a+1）2x+2（a2+1）≥0，得x≤2，或x≥a+．
综上所述：
当a＝0时，不等式解集为{x|x≤2}；
当a＝1时，不等式的解集为R；
当a＞0且a≠1时，不等式的解集为{x|x≤2，或x≥a+}．
……………12分
20.
解：（1）设∠BOC＝α，（）；
所以OB＝cosα，BC＝sinα；
因为S＝2OB?BC，
所以S═2sinαcosα＝sin2α；
……………2分
故当时，即OB＝时，矩形面积最大为1；
……………4分
（2）依题意可得：椭圆方程为：
；
设点C坐标为（m，n）即OB＝m，BC＝n；
所以S＝2OB?BC＝2mn；
……………6分
由于点C为椭圆上的点，所以；因为；
故mn≤1，当且仅当时取等号；所以S≤2；
即矩形面积最大为2；当OB＝时取等号。
……………12分
21.解：（1）设椭圆的半焦距为.
因为椭圆的长轴长为，且椭圆两准线的距离为，
所以，
所以，.
所以椭圆的方程为
……………4分
（2）证明①当直线l的斜率不存在时，可得A，B，
得k1＋k2＝4.
……………6分
②当直线l的斜率存在时，设斜率为k，显然k≠0，则其方程为y＋2＝k(x＋1)，
由得(1＋2k2)x2＋4k(k－2)x＋2k2－8k＝0.
Δ＝56k2＋32k>0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝－，x1x2＝.
……………8分
从而k1＋k2＝＋＝＝2k－(k－4)·＝4.
综上，k1＋k2为定值．
……………12分
22.解：（1）设的公比为，
由得，，
所以的通项公式为；
……………2分
（2）因为，所以，
所以
；
……………4分
（3），
由(1)知，
所以
对任意正整数成立，
因为对任意正整数都成立，
所以对任意正整数都成立，
当时，对任意正整数都成立，
所以对任意正整数都成立，
这是关于的二次函数，图象开口向上，不可能恒负故舍去；
当时，，
即对任意正整数都成立，
结合图象知，解得，
所以整数的最小值为2.
……………12分
高二数学（答案）
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