江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第四次大考数学（理）试题 Word版含答案

南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考
数 学（理）试 卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的 ）
1、抛物线false的准线方程为（ ）
A．false B．false C．false D．false
2．从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．至少有1个白球，都是白球 B．至少有1个白球，至少有1个红球
C．至少有1个白球，都是红球 D．恰有1个白球，恰有2个白球
3．“x＝”是“函数y＝sin 2x取得最大值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.已知向量false则false与false的夹角为(　　)
A．false B．false C．false D．false:
5．某产品的广告费用false与销售额false的统计数据如表
广告费用false(万元)
4
2
3
5
销售额false(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程false中的false为9.4，据此模型预报广告费用为10万元时销售额为（ ）
A．84.9万元 B．103.1万元 C．93.7万元 D．false万元
6．若如下框图所给的程序运行结果为false，那么判断框中应填入的关于false的条件是（ ）

A．false B．false C．false D．false
7．袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（ ）
A．false B．false C．false D．false
8．已知抛物线false的焦点为false，直线false过false与false交于false、false两点，与抛物线的准线false交于点false，若false，则false（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
9.已知命题false存在false，使得false成立；false对任意的false，false以下命题为真命题的是（ ）
A.false B. false C. false D. false
10．北宋欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿.因曰：‘我亦无他，唯手熟尔.’”可见技能都能通过反复苦练而达至熟能生巧之境地.若铜钱是半径为1.5cm的圆，中间有边长为0.5cm的正方形孔，你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知椭圆右焦点为F（3,0）过点F的直线交E于A,B两点，若AB的中点坐标为，则E的离心率是( )
A． B． C． D．
12．在底面为直角三角形的直三棱柱中，，点为四边形对角线的交点，点为平面上一动点，则的最小值为（ ）
A． B．8 C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡上的相应位置）
13.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了解该单位职工的健康情况，用分层抽样从中抽取样本，若样本中青年职工为7人，则样本容量
4065905130810主视图
左视图
俯视图
主视图
左视图
俯视图
为
14.已知焦点在false轴上的椭圆false的离心率false,
则m的值为________
15．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图是一个正三角形，
则这个几何体的外接球的表面积为
16.已知椭圆false上一点A关于原点的对称点为点false为其右焦点，若false，设false，且false，则该椭圆离心率false的取值范围为
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 ）
17.（本小题满分10分）已知false：当false时，对任意实数false都有false恒成立；false：关于false的方程false有实数根；如果false为真命题，求实数false的取值范围．
18.（本小题满分12分）某高校在2018年的自主招生考试成绩中随机抽取了100名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布如下表所示．
组号
分组
频数
频率
第1组
[160，165)
5
0.050
第2组
[165，170)
①
0.350
第3组
[170，175)
30
②
第4组
[175，180)
20
0.200
第5组
[180，185)
10
0.100
合计
100
1.00
(1)请求出频率分布表中①，②处应填的数据；
(2)为了能选拔最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样法抽取6名学生进入第二轮面试，问第3，4，5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？
(3)在(2)的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受A考官进行的面试，求第4组恰有一名学生被考官A面试的概率．
383921043307019．（本小题满分12分）已知四棱锥中，平面，底面为菱形，，、分别为线段、中点，求证：
（1）平面；
（2）平面.
20. （本小题满分12分）已知false两个顶点的坐标分别是false边false所在直线的斜率的乘积是false.
（1）求顶点false的轨迹方程；
（2）设点false为顶点false的轨迹上一动点，求false的取值范围.
21.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，，且，，是棱的中点.
354203087630（1）求证：平面；
（2）在线段上(不含端点)是否存在一点，
使得二面角的余弦值为？
若存在，确定的位置；若不存在，请说明理由.
22．（本小题满分12分）设椭圆false的方程为false，点false为坐标原点，点false，false的坐标分别为false，false，false，直线false的斜率为false.
（1）求椭圆false的方程；
（2）若斜率为false的直线false交椭圆false于false，false两点，交false轴于点false，问是否存在实数false使得以false为直径的圆恒过点false？若存在，求false的值；若不存在，说明理由.
南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考
数学（理）参考答案
一、选择题
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
A
C
B
D
B
B
A
D
C
A
填空题。
13.15 14.3 15. 16.false
三、解答题。
17.解：对任意实数x都有ax2＋ax＋1>0恒成立false；…………2分
关于x的方程x2－x＋a＝0有实数根?1－4a≥0?a≤false； …………4分
若false为真，则false真false真…………6分
false…………8分
false…………10分
18.(1)①0.35×100＝35；②＝0.300.………………4分
(2)因为第3，4，5组共有30＋20＋10＝60(人)，所以利用分层抽样抽取，
第3组：×6＝3(人)，第4组：×6＝2(人)，第5组：×6＝1(人)，
即第3，4，5组分别抽取3人，2人，1人．……………8分
(3)设第3组的3位同学为A1，A2，A3，第4组的2位同学为B1，B2，第5组的1位同学为C1，
则从6名同学中抽取2名同学有15种如下可能：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，
(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)．
其中第4组的第2位同学B1，B2恰有一位同学入选的有：(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，
(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，8种可能，
所以第4组恰有一位同学入选的概率为.……………12分
19.（1）作中点，连结，.∵为中点∴
3880485339725∵菱形，是中点∴.∴，
∴四边形为平行四边形
∴false，∵面，面，
∴面.…………6分
（2）∵为中点，菱形，∴false，
∵∴在中，
∴，∵面，面
∴，∵∴面.…………12分
20．解（1）false
false…………………………………………………………（6分）
(2) false
false false
false
false…………………………（12分）
21.解:（1）连接交于点，连接.
∵是平行四边形，∴是的中点.又是的中点，∴
又平面，平面，∴平面；…………………4分
3181985659765（2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，.
设平面的法向量为.
∵，
∴即
不妨取，得 ……………6分
假设在线段上(不含端点)存在一点，使得二面角的余弦值为.连接.设， 得.
设平面的法向量为.
∵，
∴即
不妨取，得 ……………8分
设二面角的平面角为，
则.……………8分
化简得，
解得，或.……………10分
∵二面角的余弦值为，
∴.
∴在线段上存在一点，且，使得二面角的余弦值为.……………12分
22.（1）设点false的坐标为false，false，
false，false，又false，false，false椭圆false的方程为false.…………4分
（2）依题意，设直线false的方程为false，代入false，
得false.
设false，false，则false，false.…………7分
假设存在实数false，使得以false为直径的圆恒过点false，则false.
又false，false，
∴false，…………9分
即false，将false，false
代入，整理得false，解得false，
即当false时，存在实数false使得以false为直径的圆恒过点false.…………12分