江西省赣州市南康中学2020-2021学年高二上学期第四次大考数学（文）试题 Word版含答案

南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考
数 学（文）试 卷
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．抽查10件产品，设事件A为“至少有2件次品”，则事件A的对立事件为(　　)
A．至多有2件次品 B．至多有1件次品
C．至多有2件正品 D．至少有2件正品
3．已知命题p：?x>0，总有(x＋1)ex>1，则非p为(　　)
A．?x0false0，使得(x0＋1)e x0false 1 B．?x0>0，使得(x0＋1)e x0false1
C．?x>0，总有(x＋1)exfalse1 D．?xfalse0，总有(x＋1)exfalse1
4．已知抛物线y2＝ax (a>0)的焦点到准线的距离为2，则a＝(　　)
A．4 B．2 C. D.
33629602876555．如图是2019年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图。去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为(　　)
A．85,84
B．84,85
C．86,84
D．84,86
6.若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)
A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交
C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交
7．从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：
身高x(cm)
160
165
170
175
180
体重y(kg)
63
66
70
72
74
根据上表可得回归直线方程：＝0.56x＋，则＝ (　　)
A．false B．false C．false D．false
30086303035308.如图，矩形长为6，宽为4，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在椭圆外的黄豆为96颗，以此试验数据为依据估计椭圆的面积为(　　)
A．7.68
449453036195B．8.68
C．16.32
D．17.32
9．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，
则点P到该抛物线焦点的距离是(　　)
A．12 B．8 C．6 D．4
10.执行如图所示的程序框图，如果输入的a＝－1，则输出的S＝(　　)
A．2
B．3
C．4
D．5
11.已知椭圆：＋x2＝1，过点P的直线与椭圆相交于A，B两点，且弦AB被点P平分，则直线AB的方程为(　　)
A．9x－y－4＝0 B．2x＋y－2＝0 C．9x＋y－5＝0 D．x＋y－5＝0
12.一个四面体的顶点在空间直角坐标系Oxyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)
二、填空题（每题5分，满分20分）
13．椭圆false的离心率是_____________.
14．若采用系统抽样的方法从420人中抽取21人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，420，则抽取的21人中，编号在区间[1,360]内的人数是________．
15．如图，PA⊥⊙O所在平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AE⊥PC，AF⊥PB，给出下列结论：①AE⊥BC；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC，其中真命题的序号是_______．

第15题图 第16题图
16．如图所示椭圆中，P为椭圆上一点，F为其一个焦点，PF为直径的圆与长轴为直径的圆的位置关系为两圆________．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m 恒成立；
命题q：存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立．
(1)若p为真命题，求m的取值范围；
(2)当a＝1，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．
18.如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，
3886835102235AA1＝AB＝2.
(1)求证：AB1∥平面BC1D；
(2)设BC＝3，求四棱锥B－DAA1C1的体积．
19.最新高考改革方案已在上海和浙江实施，某教育机构为了解我省广大师生对新高考改革方案的看法，对某市部分学校500名师生进行调查，统计结果如下：
赞成改革
不赞成改革
无所谓
教师
120
y
40
学生
x
z
130
在全体师生中随机抽取1名“赞成改革”的人是学生的概率为0.3，且z＝2y.
(1)现从全部500名师生中用分层抽样的方法抽取50名进行问卷调查，则应抽取“不赞成改革”的教师和学生人数各是多少？
(2)在(1)中所抽取的“不赞成改革”的人中，随机选出3人进行座谈，求至少有1名教师被选出的概率．
379920530353020.如图，已知圆x2＋y2＝12与抛物线x2＝2py(p>0)相交于A，B两点，点B的横坐标为2，F为抛物线的焦点．
false3980180187960(1)求抛物线的方程；
false(2)若过点F且斜率为1的直线l与抛物线和圆交于四个
false不同的点，从左至右依次为P1，P2，P3，P4，求：①|P1P3|；
falsefalse②|P1P3|－|P2P4|的值．
falsefalse
false


21.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，
4084955100965PA＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：
(1)CD⊥AE；
(2)PD⊥平面ABE.
22.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，椭圆C截直线
y＝1所得线段的长度为2.
(1)求椭圆C的方程；
3799205487680(2)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A，B两点，交y轴于点M.点N是M关于O的对称点，⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点，DE，DF与⊙N分别相切于点E，F，求∠EDF的最小值．
南康中学2020～2021学年度第一学期高二第四次大考
数学（文）试卷参考答案
一、选择题
1-5: BBBAA 6-10: DDCCB 11、12：CA
5.A解析　由图可知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据为84,84,86,84,87，则平均数为85，众数为84.
6.D解析　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．
7.D解析　＝＝170，＝＝69.∵回归直线过点(，)，∴将点(170,69)代入回归直线方程得＝0.56x－26.2.
8.C解析　由随机模拟的思想方法，可得黄豆落在椭圆内的概率为＝0.68.由几何概型的概率计算公式，可得＝0.68，而S矩形＝6×4＝24，则S椭圆＝0.68×24＝16.32.
9.C解析　抛物线准线方程x＝－2，∴点P到准线的距离为6，∴P到焦点的距离也为6.
10.B解析　当K＝1时，S＝0＋(－1)×1＝－1，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝2；
当K＝2时，S＝－1＋1×2＝1，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝3；
当K＝3时，S＝1＋(－1)×3＝－2，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝4；
当K＝4时，S＝－2＋1×4＝2，a＝－1，执行K＝K＋1后，K＝5；
当K＝5时，S＝2＋(－1)×5＝－3，a＝1，执行K＝K＋1后，K＝6；
当K＝6时，S＝－3＋1×6＝3，执行K＝K＋1后，K＝7>6，输出S＝3.结束循环．
4467860112331511.C解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为A，B在椭圆＋x2＝1上，所以两式相减得＋x－x＝0，得＋(x1－x2)(x1＋x2)＝0，又弦AB被点P平分，所以x1＋x2＝1，y1＋y2＝1，将其代入上式得＋x1－x2＝0，得＝－9，即直线AB的斜率为－9，所以直线AB的方程为y－＝－9，即9x＋y－5＝0.
12.A解析　在空间直角坐标系中，易知O(0,0,0)，A(1,0,1)，B(1，1,0)，C(0,1,1)恰为单位正方体的四个顶点，棱BC在zOx平面的投影是看得见的，而OA的投影即它本身，在投影面中是看不见的．
二、填空题
13. false 14. 18 15. ①②④ 16. 内切
15.①②④ 解析　①AE?平面PAC，BC⊥AC，BC⊥PA?AE⊥BC，故①正确；②AE⊥PC，AE⊥BC?AE⊥平面PBC，PB?平面PBC?AE⊥PB，AF⊥PB，EF?平面AEF?EF⊥PB，故②正确；③若AF⊥BC?AF⊥平面PBC，则AF∥AE与已知矛盾，故③错误；由②可知④正确．
377063031432516.内切 解析　设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，F、F′分别是椭圆的左、右焦点，作出以线段PF为直径的圆和以长轴为直径的圆x2＋y2＝a2，如图所示．
设PF中点为M，连接PF′，
∴OM是△PFF′的中位线，可得|OM|＝|PF′|，即两圆的圆心距为|PF′|根据椭圆定义，可得|PF|＋|PF′|＝2a，
∴圆心距|OM|＝|PF′|＝(2a－|PF|)＝a－|PF|，
即两圆的圆心距等于它们的半径之差，
因此，以PF为直径的圆与以长轴为直径的圆x2＋y2＝a2相内切．
三、解答题
17.解　(1)∵对任意x∈[0,1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，
∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.
因此，若p为真命题时，m的取值范围是[1,2]．
(2)∵a＝1，且存在x∈[－1,1]，使得m≤ax成立，∴m≤x，命题q为真时，m≤1.
∵p且q为假，p或q为真，
∴p，q中一个是真命题，一个是假命题．
当p真q假时，则解得1当p假q真时，即m<1.
综上所述，m的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．
18.解　(1)证明：连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，如图所示．
367538047625∵四边形BCC1B1是平行四边形，
∴点O为B1C的中点．∵D为AC的中点，
∴OD为△AB1C的中位线，∴OD∥AB1.
∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D.
∴AB1∥平面BC1D.
(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C，
∴平面ABC⊥平面AA1C1C.
∵平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，
连接A1B，作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.
∵AB＝AA1＝2，BC＝3，AB⊥BC，
∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝.
∴BE＝＝.
∴四棱锥B－AA1C1D的体积V＝×(A1C1＋AD)·A1A·BE＝××2×＝3.
19.解　(1)由题意知＝0.3，所以x＝150，所以y＋z＝60，
因为z＝2y，所以y＝20，z＝40，
则应抽取“不赞成改革”的教师人数为×20＝2，
应抽取“不赞成改革”的学生人数为×40＝4.
(2)所抽取的“不赞成改革”的2名教师记为a，b,4名学生记为1,2,3,4，随机选出3人的不同
选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，
(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)，共20种，
至少有1名教师的选法有(a，b,1)，(a，b,2)，(a，b,3)，(a，b,4)，(a,1,2)，(a,1,3)，(a,1,4)，
(a,2,3)，(a,2,4)，(a,3,4)，(b,1,2)，(b,1,3)，(b,1,4)，(b,2,3)，(b,2,4)，(b,3,4)，共16种，
故至少有1名教师被选出的概率P＝＝.
20.解　(1)设B(2，y0)，由题意得，
false 得所以抛物线的方程为x2＝4y.
(2)设点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P3(x3，y3)，P4(x4，y4)，
由题意得，P1，P3在圆上，P2，P4在抛物线上，直线l的方程为y＝x＋1.
①由false ，得false
②由得x2－4x－4＝0，所以x2＋x4＝4，x2x4＝－4.
false
所以|P1P3|－|P2P4|＝－8.
21.证明　(1)∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥PA.
又CD⊥AC，PA∩AC＝A，
故CD⊥平面PAC，AE?平面PAC.
故CD⊥AE.
(2)∵PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故PA＝AC.
∵E是PC的中点，故AE⊥PC.
由(1)知CD⊥AE，由于PC∩CD＝C，
从而AE⊥平面PCD，故AE⊥PD.
易知BA⊥PD，故PD⊥平面ABE.
22.解　(1)由椭圆的离心率为，得a2＝2(a2－b2)，
又当y＝1时，x2＝a2－，得a2－＝2，
所以a2＝4，b2＝2.因此椭圆方程为＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立方程，得
得(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－4＝0.
由Δ>0得m2<4k2＋2，(*)
且x1＋x2＝－，
因此y1＋y2＝，所以D.
又N(0，－m)，
所以|ND|2＝2＋2，
整理得|ND|2＝.
因为|NF|＝|m|，
所以＝＝1＋.
令t＝8k2＋3，t≥3，
故2k2＋1＝.
所以＝1＋＝1＋.
y＝t＋在[3，＋∞)上单调递增，
因此t＋≥，
等号当且仅当t＝3时成立，此时k＝0，
所以≤1＋3＝4.
由(*)得－设∠EDF＝2θ，则sinθ＝≥，
所以θ的最小值为，
从而∠EDF的最小值为，此时直线l的斜率是0.
综上所述：当k＝0，m∈(－，0)∪(0，)时，∠EDF取到最小值.