课题
用空间向量研究距离问题
课
型
新授课
授课人
教学目标
1．通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化，体现了数学抽象及逻辑推理素养．2．借助空间距离的求法，培养学生的逻辑推理及数学运算素养．
教材分析
本节课的主要学习任务是运用空间向量研究立体几何中的距离问题，本节课是在学习了空间向量的有关概念，并利用空间向量解决了一些有关空间位置关系和度量问题的基础上，进一步运用空间向量解决立体几何中的度量问题.
教学重
点
1．直线l外一点P到直线l的距离；2．平面外一点P到平面的距离．
教学难点
平面外一点P到平面的距离
教法
诱思探究、讲练结合
教
具
多媒体
教学流程
教
学
内
容
教师活动
学生活动
复习回顾
1．平面向量的投影向量2．空间向量的投影向量3．求平面的法向量
引导学生复习投影向量的相关内容及求平面法向量的方法
复习投影向量的相关内容及平面的法向量
新课引入
立体几何中的距离包括点到直线、点到平面、两条平行直线以及两个平行平面的距离问题等，如何用空间向量解决这些距离问题？课题
用空间向量研究距离问题
新冠疫情形势严峻，保持距离是防控疫情传播的关键，引出课题
观察思考
探索新知
探究一：已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.
如何利用这些条件求点P到直线l的距离？思考：类比点到直线的距离的求法，如何求两条平行直线之间的距离？
探究二：已知平面的法向量为n，A是平面内的定点，P是平面外一点.，求点P到平面的距离．
引导学生推导公式
通过前面学习的知识推导两个距离公式
教
学
内
容
教师活动
学生活动
应用举例
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点，F为线段AB的中点.(1)求点B到直线的距离；(2)求直线FC到平面的距离.
教师提出问题，引导学生思考.
通过两个公式求出距离.
规范步骤
通过两个距离公式，结合前面学习的知识内容，引导学生求出距离.
方法总结
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
引导学生总结用空间向量解决立体几何问题的步骤.
引导学生归纳、总结
巩固练习
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
求平面FCB1到平面AEC1的距离．
教师提出问题，并引导学生解决问题
学生思考
教
学
内
容
教师活动
学生活动
课堂练习
1．在棱长为1的正方体中，点A到平面的距离等于_________；直线DC到平面的距离等于________；平面到平面的距离等于__________．2．已知直线l过定点，且n为其一个方向向量，则点到直线l的距离为（）
A．
B．
C．
D．3．已知平面的一个法向量n，点在平面内，则点到平面的距离为（
）A．10
B．3
C．
D．4．如图，在棱长为1的正方体中，求平面与平面D1CB1的距离．
引导学生自己得出解答，进一步熟悉距离公式.
课堂小结
直线l外一点P到直线l的距离；平面外一点到平面的距离；
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
让学生口头回答，教师对学生作出肯定，并对知识方法进一步完善.
学生总结归纳，深化知识
板书设计
作业
课
后
案
情景引入
探索新知
课堂小结
巩固练习
应用举例
公式推导
投影区
例6
（1）
用空间向量研究距离问题
1.直线l外一点P到直线l的距离
2.平面α外一点P到平面α的距离
PAGE
5(共26张PPT)
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题
第一课时
用空间向量研究距离问题
A
Q
P
u
l
已知直线
l
的单位方向向量为
u
，
A
是直线l上的定点，
P是直线l外一点．
如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
探究一
探究一
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.
如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
设
，
则向量
在直线l上的投影向量
A
Q
P
u
l
在空间中，向量a在向量b方向上的投影向量为
探究一
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.
如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
设
，
则向量
在直线l上的投影向量
在
中，由勾股定理，得
A
Q
P
u
l
探究一
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点.
如何利用这些条件求点P到直线l的距离？
A
Q
P
u
l
注意：
⑴不必找点在直线上的垂足以及垂线段；
⑵直线l上的点可任意选取，一般选取易求得坐标的特殊点；
⑶直线l的方向向量可任意选取.
思考：如何求两条平行直线之间的距离？
两直线平行时，其中一条直线上的任意一点到另一直线的距离相等.
n
α
探究二
A
P
如图，已知平面α的法向量为n，
A是平面α内的定点，
P是平面α外一点，求点P到平面α的距离.
Q
l
n
α
探究二
A
P
如图，已知平面α的法向量为n，
A是平面α内的定点，
P是平面α外一点，求点P到平面α的距离.
Q
l
A
Q
P
u
l
n
α
探究二
A
P
如图，已知平面α的法向量为n，
A是平面α内的定点，
P是平面α外一点，求点P到平面α的距离.
Q
l
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
取
直线AC1
的单位方向向量为
点B到直线AC1的距离为
A
B
C1
u
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
x
z
y
取
直线AC1
的单位方向向量为
点B到直线AC1的距离为
(2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的
距离和夹角等问题；
(3)把向量运算的结果“翻译”成相应的几何结论.
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：
(1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、
直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；
转化
运算
翻译
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
z
y
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:
(2)以
D1为原点，D1A1
,
D1C1
,
D1D所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以FC//平面AEC1，
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
z
y
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:
(2)以
D1为原点，D1A1
,
D1C1
,
D1D所在直线分别
为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
所以FC//平面AEC1，
所以点F到平面AEC1的距离即为直线FC到平面AEC1的距离.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
z
y
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
x
z
y
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:
设平面
AEC1的法向量为n=(x，y，z)
，
取z=1,
则x=1,
y=2.
所以，
n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
z
y
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:
设平面
AEC1的法向量为n=(x，y，z)
，
取z=1,
则x=1,
y=2.
所以，
n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.
所以点F到平面
AEC1的距
离为
即直线FC到平面
AEC1的距离为
.
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
A
B
C
D
A1
B1
C1
D1
E
F
x
z
y
例6
如图，在棱长为1的正方体中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点.
(1)求点B到直线AC1的距离；
(2)求直线FC到平面AEC1的距离.
解:
设平面
AEC1的法向量为n=(x，y，z)
，
取z=1,
则x=1,
y=2.
所以，
n=(1，2，1)是平面AEC1的一个法向量.
所以点F到平面
AEC1的距
离为
即直线FC到平面
AEC1的距离为
.
1、直线l外一点P到直线l的距离
2、平面α外一点到平面α的距离
3、用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”
课堂小结
作业：课后案
