(共32张PPT)
4.3.1
等比数列的概念（1）
选择性必修
第二册
学习目标
1.理解等比数列的概念，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列。
2.掌握等比数列的通项公式，会够应用该公式解决相应问题。
3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决实际问题。
情景导入
引例：
.
③
探究一
、
等比数列的定义
古巴比伦人用60进制记数，这里转化为了十进制.
2.《庄子
﹡天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.”
意思：“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完”
。
引例：
探究一、等比数列的定义
引例：
2，
4，
8，
16，
32，
64,
探究一、等比数列的定义
引例：
探究一、等比数列的定义
观察：
请同学们仔细观察以下六个数列有什么共同特征？
③
④
⑤
⑥
探究一
等比数列的定义
名
称
等差数列
等比数列
定
义
新知生成
一、等比数列的定义
定义式：
定义式：
(1)
(3)
5，5，5，5，5，5，…
是,公比
(6)
(2)
是,公比
q=
-
2
观察并判断下列数列是否是等比数列，是的话，指出公比，不是的
话请说明理由:
是,公比
q=1
(4)
0，1，2，4，8，…
(5)
2，0，2，0，2，…
不是等比数列
不是等比数列
不确定
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：
（1）
1，
，
9
（2）-1，
，
-4
（3）-12，
，-3
（4）-1，
，
16
±3
±2
±6
无
探究二
、等比中项的概念
2.等比中项的定义
新知生成
等比中项的定义
如果在
a与b中间插入一个数G，使a,
G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项.
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：
（1）
1，
，
9
（2）-1，
，
-4
（3）-12，
，-3
（4）-1，
无
，
16
±3
±2
±6
若a，b异号则无等比中项；若a，b同号则有两个等比中项.
注意：
小试牛刀1
法一：归纳猜想法
等差数列
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
探究三
、等比数列的通项公式
法二：累加法
……
+）
法一：归纳猜想法
……
由此归纳等比数列的通项公式可得：
等比数列
等差数列
……
由此归纳等差数列
的通项公式可得：
类比
探究三
、等比数列的通项公式
又因为
也符合上式，
累乘法
……
共n
–
1
项
×）
等比数列
法二：累加法
……
+）
等差数列
类比
探究三
等比数列的通项公式
又因为
也符合上式，所以
3、等比数列的通项公式：
三
等比数列的通项公式
新知生成
小试牛刀2
思考1：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
从图像上看，
表示等比数列
中的各项的点
是指数型函数
图象上一群孤立的点
思考2：类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列
的单调性.
0q>1
q=1
单调递增
单调递减
不变
单调递减
单调递增
4、公比q>0的等比数列
的单调性.
0q>1
q=1
单调递增
单调递减
不变
单调递减
单调递增
新知生成
典例解析
即时练习
【即时练习1】
在等比数列
中，
已知an＝128，a1＝4，q＝2，求n.
典例解析
【即时练习2】
即时练习
解：设前三项的公比为q,后三项的公差为d，则数列的各项依次为
解方程组，得
或
所以这个数列是20，40，80，96，112，或180，120，80，16，-48.
典例解析
【即时练习3】
即时练习
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
所以当a＝4，d＝4时，所求的四个数为0,4,8,16；
当a＝9，d＝－6时，所求的四个数为15,9,3,1.
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
当a＝8，q＝2时，所求的四个数为0,4,8,16；
故所求的四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.
课堂小结
二、思想与方法层面
1、类比的思想
2、函数的思想
3、方程的思想
一、知识层面
《孙子算经》有记载：
出门见九堤，每堤有九木，
每木有九巢，每巢有九鸟，
每鸟有九雏，每雏有九毛，
每毛有九色,
问各有几何？
课后作业
（一）课本31页2、5题
课本40页
2题
（二）思考：在等比数列中，若m,n,r,s∈
N
，且m+n=r+s，那么，这些项与项之间满足什么等量关系？§4.3.1等比数列的概念（1）
学习目标
理解等比数列的概念，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列。
2.掌握等比数列的通项公式，会够应用该公式解决相应问题。
3.掌握等比中项的定义，能够应用等比中项的定义解决实际问题。
重点难点
重点：等比数列的概念及通项公式
难点：等比中项的概念及应用
复习回顾
一、课前准备
复习1：等差数列的定义？
复习2：
.
，这三个数满足关系式
.
二、新课导学
探究一：等比数列的定义
问题1：阅读教材27页列举的4个实例，请同学们写出对应的6个数列，并观察它们有什么共同特征？
问题2：类比等差数列的定义，如何给等比数列下一个准确定义？
问题3：如何用符号语言简洁地表示等比数列的定义？
【新知生成】
等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第
项起，每一项与它的前一项的比都等于
，那么这个数列叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的
，通常用
字母
表示，即：
.
探究二：等比中项的概念
问题1：
观察如下的两个数之间，插入一个什么数后三个数就会成为一个等比数列：
（1）
1
，
，9
（2）-1，
，-4
-12，
，-3
（4）-1，
，16
问题2：请你类比等差中项的概念，给出等比中项的概念
【新知生成】
等比中项：如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的
，这三个数满足关系式
.
说明：同号的两个数的等比中项有
个，并且它们互为
，而异号的两个数没有等比中项.
【小试牛刀1】2＋和2－的等比中项是( )
A．1
B．－1 C．±1 D．2
探究三：等比数列的通项公式
问题1：若数列{}为等比数列，公比为，则：
由此你得出什么结论呢？
问题2：上述结论，对n=1时是否也成立？
问题3：除了利用归纳法，你还有其他方法推导等比数列的通项公式吗？
【新知生成】
等比数列的通项公式：若等比数列{}的首项为，公比为，则数列的通________
说明：1、需确定
和
两个量；
公式里涉及
，
，
及
四个量，知三求一。
【小试牛刀2】已知等比数列前3项为，－，
，则其通项公式为
________．
问题4：等比数列与指数型函数有什么关系？类比指数函数的性质，说说公比q>0的等比数列的单调性。
2、公比q>0的等比数列的单调性：
0q>1
q=1
四、典例解析
【例1】若等比数列
的第4项和第6项分别是48和12，求
的第5项．
（课本29页例1）
【反思感悟】和是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可迎刃而解.根据条件，利用等比数列的通项公式，建立关于和的方程组，求出和.其中解这类方程组常用的技巧是两个方程组
.
即时练习1
【例2】
【反思感悟】等比数列的任意一项都可以由该数列的某一项和公比表示，即
。
即时练习2
【例3】数列
共有5项，前三项成等比数列，后三项成等差数列，第3项等于80，
第2项与第4项的和等于136，第1项与第5项的和等于132，求这个数列.
【方法小结】
解决这类题目通常用方程的思想，列方程首先应引入未知数，三个数或四个数成等比数列的设元技巧：若三个数成等比数列，可设为
，若四个数成等比数列，可设为
.
即时练习3
有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数.
【课堂练习】
1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若一个数列从第2项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．
（
）
( )
(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零
．
（
）
( )
(3)常数列一定为等比数列．
（
）
( )
(4)任何两个数都有等比中项．
（
）
( )
2.下列各组数成等比数列的是（
）
EMBED
Word.Document.12
3.已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，那么a3＋a5＝(
)
A．5 B．10
C．15
D．20
4.
________.
5.45和80的等比中项为
________.
6.（课本31页第3题）
【课堂小结】
1、理解与掌握等比数列的定义及数学表达式：
；
2、要会推导等比数列的通项公式：
，并掌握其基本应用；
3、掌握等比中项的定义，能够应用它解决问题。
【课后作业】
（一）课本31页2、5题
课本40页
2题
(
二)思考：在等比数列中，若m,n,r,s∈
N
，且m+n=r+s，那么，这些项与项之间满足什么等量关系？
【励志档案】
我还有这些不足：
.
.
我的课下提升方案：
（1）
.
（2）
.
A.①②
B.①②③
C.①②④
D.①②③④
