(共17张PPT)
3.2.1
双曲线及其标准方程
人教A版高中数学选择性必修第一册
和
等于常数
2a
(
2a>|F1F2|>0)
的点的轨迹.
平面内与两定点F1、F2的距离的
椭圆的定义：
差
等于常数
的点的轨迹是什么呢？
平面内与两定点F1、F2的距离的
提出问题：
数学试验演示
（一）用心观察，小组共探
根据以上模拟结果，试给双曲线下一个
完整的定义？
计算机模拟双曲线引入.gsp
|MF1|-|MF2|=2a
表示双曲线的哪一支？
|MF2|-|MF1|=2a
表示双曲线的哪一支？
群策群力
深化概念
o
F
2
F
1
M
双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
①
两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
②
|F1F2|=2c
——焦距.
（0<2a<2c）
o
F
2
F
1
M
P={M
|
|
|MF1|
-
|MF2|
|
=
2a
(
0<2a<
2c)}
双曲线定义的符号表述：
实验探究
生成定义
群策群力
深化概念
两条射线F1P、F2Q。
F2
F1
P
M
Q
M
无轨迹。
线段F1F2的垂直平分线。
|MF1|=|MF2|
F1
F2
M
o
F
2
F
1
M
（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
双曲线的标准方程
F
2
F
1
M
x
O
y
求曲线方程的步骤：
1.建系:
2.设点:
设M（x
,
y）,则F1(-c,0),F2(c,0)
3.列式:
|MF1|
-
|MF2|=±2a
4.化简:
化简可得：
(c2-a2)
x2-a2y2=a2(c2-a2)
∵c＞a，∴c2
＞a2
令
c2-a2=b2
(b>0)
叫做双曲线的标准方程
得：
它所表示的双曲线的焦点在
x
轴上，
焦点是F1(-c,0),F2(c,0)，这里
c2=a2+b2
理解概念
探求方程
x
y
o
F1
F2
M
=
x2
a2
-
y2
b2
1
(a>0,b>0)
方程
叫做双曲线的标准方程
它表示的双曲线焦点在x轴上，
焦点为F1(-c,0),F2(c,0),且c2=a2+b2
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是：
定义
图象
方程
焦点
a.b.c
的关系
|
|MF1|-|MF2|
|
=2a（2a<|F1F2|）
F
(
±c,
0)
F(0,
±
c)
问题：如何判断焦点在哪个轴上？
看符号：正
求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标
小试身手
已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
解：因为双曲线的焦点在
x
轴上，
所以设它的标准方程为：
∵ 2a
=
6, 2c=10
∴ a
=
3,
c
=
5
∴ b2
=
52-32
=16
所以所求双曲线的标准方程为：
知识迁移
深化认知
变式
课堂练习
1、a=4，b=3
,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是
2、焦点为（0,
-6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标
准方程是
知识迁移
深化认知
知识迁移
深化认知
(3)应用
(1)定义:
|
|MF1|-|MF2|
|
=2a（0<2a<|F1F2|）
由方程定焦点：椭
圆看大小
双曲线看符号
Ⅰ
P121
1
作
业
Ⅱ
P127
7§3.2.1双曲线及其标准方程
一．
教学目标
知识与能力目标：掌握双曲线的定义，熟记双曲线的标准方程，并能初步应用；
2．过程与方法目标：体会推导双曲线标准方程的方法、初步会按特定条件求双曲线的标准方程；
3．情感态度价值观目标：培养发散思维的能力，感受曲线的美
二．
教学重难点
重点：双曲线标准方程及其简单应用
难点：双曲线标准方程的推导及双曲线方程的求解
三．
教学过程
（一）复习旧知
1.椭圆的定义
2.椭圆的标准方程
3.椭圆的标准方程中a,b,c的关系
问题:平面内与两定点F1、F2的距离的差是常数的点的轨迹是什么?
（二）双曲线的定义
计算机模拟
双曲线定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数
（小于︱F1F2︱)的点的轨迹叫做双曲线.
两个定点F1、F2——双曲线的焦点.
|F1F2|=2c
——双曲线的焦距.(0<2a<2c)
双曲线定义的符号表述：
P={M
|
|
|MF1|
-
|MF2|
|
=
2a
(
0<2a<
2c)}
问题1：|MF1|-|MF2|=2a表示双曲线的哪一支？
|MF2|-|MF1|=2a表示双曲线的哪一支？
问题2：（1）若2a=2c,则轨迹是什么？
（2）若2a>2c,则轨迹是什么？
（3）若2a=0,则轨迹是什么？
（三）双曲线的标准方程的推导
类比椭圆，找到推导双曲线方程的方法
求曲线方程的步骤：
1.建系:
2.设点:
3.列式:
4.化简:
双曲线的标准方程:焦点在
x
轴上
焦点在y轴上呢？
知识小结
定义
图象
方程
焦点
a.b.c?的关系
问题：如何判断焦点在哪个轴上？（看符号）
牛刀小试
求下列双曲线的a2,b2,并写出焦点坐标。
（四）应用
例1.已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1、F2的距离的差
绝对值等于6，求双曲线的标准方程.
变式:已知两定点,,动点满足,求动点的轨迹方程.
练习1：
（1）a=4，b=3
,焦点在x轴上的双曲线的标准方程是_______________.
（2）焦点为（0,
-6）,（0，6）,经过点（2，-5）的双曲线的标准方程
是
_______________.
四.课堂小结
五.作业
课本
P121
1
P127
7
o
F
2
F
1
M
1
F
2
F
