教学设计：椭圆的简单几何性质
【教学目标】
1．熟练掌握椭圆的范围，对称性，顶点等简单几何性质。
2．掌握标准方程中的几何意义，以及的相互关系。
3．理解、掌握坐标法中根据曲线的方程研究曲线的几何性质的一般方法。
【教学重难点】
教学重点：椭圆的几何性质
教学难点：如何贯彻数形结合思想，运用曲线方程研究几何性质
【课时安排】
1课时
【教学过程】
一、复习引入
1．椭圆定义：在平面内，到两定点距离之和等于定长（定长大于两定点间的距离）的动点的轨迹
2．标准方程：，
（）
3．问题：
（1）椭圆曲线的几何意义是什么？
（2）“范围”是方程中变量的取值范围，是曲线所在的位置的范围，椭圆的标准方程中的取值范围是什么？其图形位置是怎样的？
（3）标准形式的方程所表示的椭圆，其对称性是怎样的？
（4）椭圆的顶点是怎样的点？椭圆的长轴与短轴是怎样定义的？长轴长、短轴长各是多少？的几何意义各是什么？
（5）椭圆的离心率是怎样定义的？用什么来表示？它的范围如何？在这个范围内，它的变化对椭圆有什么影响？
（6）画椭圆草图的方法是怎样的？
二、讲解新课
由椭圆方程()
研究椭圆的性质。(利用方程研究，说明结论与由图形观察一致)
1．范围：
从标准方程得出，，即有，可知椭圆落在组成的矩形中。
2．对称性：
把方程中的换成方程不变，图像关于轴对称。换成方程不变，图像关于轴对称。把同时换成方程也不变，图像关于原点对称。
如果曲线具有关于轴对称，关于轴对称和关于原点对称中的任意两种，则它一定具有第三种对称。
原点叫椭圆的对称中心，简称中心。轴、轴叫椭圆的对称轴。从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，对称的截距。
3．顶点：椭圆和对称轴的交点叫做椭圆的顶点。
在椭圆的方程里，令得，因此椭圆和轴有两个交点，它们是椭圆的顶点。令，得，因此椭圆和轴有两个交，它们也是椭圆的顶点。因此椭圆共有四个顶点：
，。加两焦点共有六个特殊点。
叫椭圆的长轴，叫椭圆的短轴。长分别为。
分别为椭圆的长半轴长和短半轴长。椭圆的顶点即为椭圆与对称轴的交点。
至此我们从椭圆的方程中直接可以看出它的范围，
对称性，
顶点。因而只需少量描点就可以较正确的作图了。
4．离心率：
发现长轴相等，短轴不同，扁圆程度不同。
这种扁平性质由什么来决定呢？
概念：椭圆焦距与长轴长之比。
定义式：。范围：。
考察椭圆形状与的关系：
，椭圆变圆，直至成为极限位置圆，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。
椭圆变扁，直至成为极限位置线段，此时也可认为圆为椭圆在时的特例。
四、小结
这节课学习了用方程讨论曲线几何性质的思想方法；学习了椭圆的几何性质：对称性、顶点、范围、离心率；学习了椭圆的描点法画图及徒手画椭圆草图的方法。
第
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页
共
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分母哪个大，焦点就在哪个轴上
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等
于常数（大于F1F2）的点的轨迹
标准方程
不
同
点
相
同
点
图
形
焦点坐标
定
义
a、b、c
的关系
焦点位置的判断
x
y
F1
F2
P
O
x
y
F1
F2
P
O
复习回顾
椭圆的简单几何性质
1.范围
观察椭圆的形状，你能从图上看出它的范围吗？
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
c
a
b
x
你能利用方程确定出它的具体边界吗?
2.椭圆的对称性：
如何利用方程说明椭圆的对称性？
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
观察椭圆的形状，椭圆有怎样的对称性？
2.椭圆的对称性：
o
x
y
在方程中，把 换成
，
方程不变，说明：
椭圆关于 轴对称；
椭圆关于 轴对称；
椭圆关于
点对称；
x
-x
x
y
(0,0)
y
-y
x
-x
y
-y
Q(-x,y)
P(x,y)
M(x,-y)
N(-x,-y)
3.顶点与长短轴：
椭圆与它的对称轴的
四个交点——椭圆的顶点.
o
x
y
A2
(a,
0)
A1
(-a,
0)
B2(0,b)
B1(0,-b)
（a＞b＞0）
椭圆上哪些点比较特殊？如何得到这些点的坐标？
长轴：线段A1A2；
长轴长
|A1A2|=2a.
短轴：线段B1B2；
短轴长
|B1B2|=2b.
焦
距
|F1F2|=2c.
①a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长；
③焦点必在长轴上.
②a2=b2+c2，
o
x
y
B2(0,b)
B1(0,-b)
A2
(a,
0)
A1
(-a,
0)
b
a
c
F2
F1
|B2F2|=a；
注意
练习
同一坐标系中画出下列图形.
（1）
（2）
A1
B1
A2
B2
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
O
椭圆有些比较“扁”，有些比较“圆”，用什么刻画椭圆的扁平程度呢？
1
2
3
-1
-2
-3
-4
4
y
1
2
3
4
5
-1
-5
-2
-3
-4
x
A1
B1
A2
B2
O
4.离心率：
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，图形变圆．
椭圆的焦距与长轴长的比
叫做椭圆的离心率,用e
离心率越大，椭圆越扁
离心率越小，椭圆越圆
O
x
y
a
b
●
c
表示，即
你能运用三角函数的知识解释，为什么
e
越大，椭圆越扁
e
越小，椭圆越圆？
o
y
B2
B1
A1
A2
F1
F2
x
b
c
a
图
形
方
程
范
围
对称性
焦
点
顶
点
离心率
(c,0)、(?c,0)
(0,c)、(0,?c)
(?a,0)、(0,?b)
|x|?
a
|y|?
b
|x|?
b
|y|?
a
关于x轴、y轴、原点对称
(?b,0)、(0,?a)
【提升总结】焦点在ｙ轴上的椭圆的几何性质又如何呢？
x
A2
B2
F2
y
O
A1
B1
F1
y
O
A1
B1
x
A2
B2
F1
F2
(
0
<
e
<
1
)
例4:
求椭圆
16
x2
+
25y2
=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点坐标.
解题的关键：1、将椭圆方程转化为标准方程
2、确定焦点的位置和长轴的位置
练习．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
（1）经过点
、
；
（2）长轴长等于
,离心率等于
．
解:（1）由题意，
,又∵长轴在
轴上，所以，椭圆的标准方程为
.
（2）由已知，
，
.
∴
，
，∴
，
所以椭圆的标准方程为
或
．
提示：可从知识、方法等方面思考.
课堂小结
1.课本115页习题3.1
3题，4题
2.课时分层训练（十九）
作业布置
