§2.2.1
直线的点斜式方程
教学设计
一、教材学情分析
1
教材分析
《直线的点斜式》是新人教A版选择性必修第一册第二章《直线与圆的方程》的第2.2.1节。本节课是在学习直线的倾斜角和斜率的基础上，引导学生根据已知一个点和斜率求直线方程过程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。在推导直线方程的点斜式时，根据直线这一结论，先猜想确定一条直线的条件，再根据猜想得到的条件求出直线的方程。直线的点斜式方程是学习解析几何的基础，更是高考考查内容的基础，重点考查学生的数形结合能力。
2
学情分析
在知识储备上，通过前面内容的学习，学生已经掌握了直线的倾斜角及斜率的概念，明确通过斜率分析直线时应首先考虑直线斜率是否存在，在a≠90°的情况下具备计算斜率的公式，初步形成用代数方法研究几何问题的思想，为本节的学习奠定了基础。在心理特征上，高中阶段的学生逻辑思维较初中学生有了大部分的提升，这个阶段的学生好奇心强，喜欢表现，注意力容易分散，我班学生数学基础一般，在解题能力特别是抽象思维的能力比较欠缺。教师采用生动形象、形式多样的教学方法使学生积极主动的参与到教学中。
二、教学目标
依据课程标准，同时基于上述分析，确定本节课的学科核心素养如下：
目标与素养
1.理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围；
2.能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程；
3.体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。
情景与问题
通过复习直线的倾斜角，经过两点的直线的斜率公式以及两直线平行与垂直的判定条件，为学习本节直线的点斜式方程打下理论基础。
内容与节点
本节课是在学习直线的倾斜角和斜率的基础上，引导学生根据已知一个点和斜率求直线方程。在求直线的方程中，直线方程的点斜式是最基本的，直线方程的斜截式、两点式都是由点斜式推出的。点斜式方程是其他所有形式方程的基础，也为后面学习直线方程的其他形式打下了坚实的基础。
过程与方法
在已知直角坐标系内确定一条直线的几何要素—直线上一点和直线的倾斜角的基础上，通过师生探讨，推导出直线的点斜式方程，提升学生的数学抽象核心素养。掌握直线的点斜式方程与斜截式方程，会利用直线的点斜式方程和斜截式方程解决有关的实际问题，提升学生的逻辑推理和数学运算核心素养。
三、教学重难点
重点：直线的点斜式方程和斜截式方程。
难点：直线的点斜式方程和斜截式方程的应用。
四、教法学法
（一）教法
本节课主要采用“启发诱导”“小组合作探究”“归纳总结”相结合进行教学，同时还利用多媒体进行辅助，增强动感和直观性。在整个教学过程中，引导学生观察，分析，概括，归纳，使学生思维紧紧围绕“问题”层层展开。培养学生学习的兴趣，也充分体现以教师为主导，学生为主体的教学理念。
（二）学法
通过本节课的教学，不仅要让学生学会知识，更重要的是由学会变为会学，让学生在探究活动中，自主探究知识，逐步掌握自主获得知识的学习方法。
教学过程
一、复习回顾
问题1.直线的倾斜角的定义以及倾斜角与斜率之间的关系是怎样的？
问题2.经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)直线的斜率公式是什么？
问题3.两条不同的直线l1，l2
平行和垂直的判定条件是什么？
【学生活动】学生回顾并回答。
【教师活动】强调直线倾斜角，斜率的定义及两直线平行、垂直的判定条件的要点。
【设计意图】通过这三个问题的复习，加深学生对这三个知识点的理解，同时也为本节课的顺利开展做必要的准备。
二、合作探究
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线。这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x,y）与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的。这一关系如何表示？这就是我们这节课所要探究的内容。
探究：如图,直线l经过点P0(x0,y0),且斜率为k,设点P
(x，y)是直线l上不同于点P0的任意一点，试问x与y之间满足怎样的关系式？
【学生活动】小组合作探究，根据斜率公式推导x与y之间应满足y-y0=k(x-x0)。
【教师活动】引导学生得到x与y之间应满足的关系式y-y0=k(x-x0)。
【设计意图】通过合作探究，培养学生自主探索的能力，并体会直线的方程，就是直线上任意一点的坐标（x,y）满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的方法。
思考1：点P0的坐标(x0,y0)满足关系式y-y0=k(x-x0)吗？
思考2：过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线l上任意一点P
(x,y)
都满足y-y0=k(x-x0)吗？
思考3：坐标满足关系式y-y0=k(x-x0)的点都在过点P0(x0,y0)，斜率为k的直线l
上吗？
【学生活动】学生验证并回答。
【教师活动】老师引导学生总结。
【设计意图】使学生了解方程为直线方程必须满足两个条件。
三、直线的点斜式方程：
我们把方程y-y0=k(x-x0)称为过点P0(x0,y0),且斜率为k的直线l的方程。
方程y-y0=k(x-x0)由直线上一个定点(x0,y0)及该直线的斜率k确定，我们把它叫做直线的点斜式方程，简称点斜式。
思考1：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线？
【学生活动】学生思考并回答。
【教师活动】老师提问学生。
【设计意图】使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，
思考2：当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？
思考3：当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是什么？
【学生活动】学生思考并回答。
【教师活动】老师引导学生通过画图分析，求得问题的解决。
【设计意图】进一步使学生理解直线的点斜式方程的适用范围，掌握特殊直线方程的表示形式。
思考4：方程y-y0=k(x-x0)与方程一样吗？
思考5：当k取任意实数时，方程y-y0=k(x-x0)表示什么样的直线？
【学生活动】学生思考并回答。
【教师活动】老师引导学生。
【设计意图】进一步加深学生对直线的点斜式方程的理解。
四、典例精析
例1：一条直线经过点P0(-2，3)，倾斜角α=45°，求这条直线的方程，并画出图形。
【学生活动】学生思考例题，回答思路。
【教师活动】教师引导学生用点斜式求直线方程，以及在坐标系内如何画一条直线。
【设计意图】通过例题设计，让学生熟练掌握使用点斜式的两个条件：定点，斜率，以及画图的思想方法。
变式训练：
1、写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(3,-1),斜率是
（2）经过B(-,2）,倾斜角是30°
（3）经过点P(5,-2),且与y轴平行;
（4）过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
2、无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点
.
【学生活动】学生思考并回答。
【教师活动】老师及时评价。
【设计意图】巩固新学知识，运用新学知识。
五、直线的斜截式方程
问题：已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P（0，b），求直线方程。
1.截距的概念：直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。
2.直线的截距式方程
方程y=k
x
+
b由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，方程y=k
x
+
b叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
【学生活动】学生独立求出直线l的方程y=k
x
+
b。
【教师活动】教师给出截距的概念，引导学生分析方程由哪两个条件确定，让学生理解斜截式方程概念的内涵。
【设计意图】让学生懂得斜截式方程源于点斜式方程，是点斜式方程的一种特殊情形。
思考1：直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线？
【学生活动】学生思考并回答。
【教师活动】老师提问学生。
【设计意图】使学生理解直线的斜截式方程的适用范围，
思考2：截距是距离吗？
【学生活动】学生思考并回答。
【教师活动】老师及时给予评价。
【设计意图】使学生理解“截距”与“距离”两个概念的区别。
思考3：一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
思考4：如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b？
思考5：你能说出一次函数y=2x-1,y=3x及y=-x+3的图象的特点吗？
【学生活动】学生思考讨论。
【教师活动】老师评价、归纳概括。
【设计意图】让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系。
六、典例精析
例2：求斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
变式训练：
1.写出下列直线的斜截式方程：
（1）斜率是，在y轴上的截距是-2.
（2）斜率是-2，在y轴上的截距是4.
2.已知斜率为的直线l与两坐标轴围成的三角形面积为6，求直线l的方程。
变式训练：
3.当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
【学生活动】学生思考讨论。
【教师活动】老师引导学生分析：用斜率、截距判断两条直线平行、垂直的结论。
【设计意图】让学生掌握从直线方程的角度判断两条直线相互平行或垂直，进一步理解斜截式方程中k,b的几何意义。通过例题设计，让学生熟练掌握点斜式与斜截式的应用。
七、反思小结
【教师活动】老师引导学生概括：通过本节课的学习，你有哪些收获呢？
【学生活动】学生口述所学习的知识。
1.直线的点斜式方程和斜截式方程。
2.数学思想方面：通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的处理问题方法。通过让学生体会直线的斜截式方程与一次函数的关系，进一步培养学生数形结合的思想。
【设计意图】使学生对本节课所学的知识有一个整体性的认识，了解知识的来龙去脉。培养学生独立思考的能力，再以多媒体形式呈现出来，教师渗透数学思想方法，让学生慢慢体会。
八、作业布置
教材
：
P61-62
1、
2、3、4
课时素养检测
：
P102
九、板书设计
§2.2.1
直线的点斜式方程
1.直线的点斜式方程
变式训练
2.直线的斜截式方程(共21张PPT)
O
x
y
.
P0
P
.
2.2.1
直线的点斜式方程
问题3.
两条不同的直线l1，l2
平行和垂直的判定条件是什么？
一、复习回顾
问题1.
直线的倾斜角的定义以及倾斜角与斜率之间的关系是怎样的？
问题2.
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式是什么？
x轴的正向和直线的向上方向之间所成的角a叫做直线的倾斜角。倾斜角的正切值叫做直线的斜率，
我们知道，给定一点和一个方向可以唯一确定一条直线。这样，在平面直角坐标系中，给定一个点P0(x0，y0)和斜率k（或倾斜角），就能唯一确定一条直线.
也就是说，这条直线上任意一点的坐标（x,y）与点P0(x0，y0)和斜率k之间的关系是完全确定的。
这一关系如何表示？
探究：如图,直线
l
经过点P0(x0，y0),且斜率为k,设点P
(x，y)是直线l上不同于点P0
的任意一点，试问
x
与
y
之间满足怎样的关系式？
由经过两点的直线斜率公式，得
O
x
y
.
P0
P
.
新课
二、合作探究
新课
我们把方程(1)称为过点P0（x0，y0），斜率为k的直线l的方程。
方程(1)由直线上一点P0（x0，y0）和直线的斜率k确定的直线方程，叫直线的点斜式方程，简称点斜式。
O
x
y
.
P0
P
.
(1)
新课
三、
直线的点斜式方程
思考1：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线？
当直线l的倾斜角是00时,tan00=0,即k=0，这时直线l与x轴平行或重合
直线l的方程：y-y0=0
或
y=y0
当直线l的倾斜角是900时，直线l没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合
直线l的方程：x-x0=0
或
x=x0
O
x
y
x0
l
O
x
y
y0
l
特别：y轴所在的直线方程：x=0
特别：x轴所在的直线方程：
y=0
思考2：当直线l的倾斜角为0°时，直线l的方程是什么？
思考3：当直线l的倾斜角为90°时，直线l的方程是什么？
不一样.前者表示过点(x0,y0)且斜率为k的一条直线,后者是这条直线上挖去了一个点(x0,y0).
思考5：当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示什么样的直线？
当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过
定点(x0，y0)的无数条直线．
新课
例1：一条直线经过点P0（-2，3），倾斜角α=450，求这条直线的方程，并画出图形。
解：这条直线经过点P0（-2，3）,
斜率是
k=tan450=1
代入点斜式得
y－3
=
x
+
2
O
x
y
-5
5
°
P0
°
°
新课
四、典例精析
1、写出下列直线的点斜式方程：
(3)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(4)经过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
变式训练：
新课
2、无论k取何值,直线y-2=k(x+1)所过的定点是 ?
O
x
y
.
(0,b)
已知直线l的斜率是k，与y轴的交点是P(0,b),求直线方程。
代入点斜式方程，得l的直线方程：
y
-
b
=k(
x
-
0)
直线l与y轴交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距。
方程(2)是由直线的斜率k与它在y轴上的截距b确定，所以方程(2)叫做直线的斜截式方程，简称斜截式。
y
=
k
x
+
b
(2)
即
新课
五、直线的斜截式方程
P
思考3：一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
一次函数的x的系数k≠0,否则就是常函数y=b;
直线的斜截式方程y=kx+b中的k可以为0.
新课
思考1：直线的斜截式方程能否表示坐标平面上的所有直线？
思考2：截距是距离吗？
截距不是距离，截距可正，可负，可为零；
而距离只能是零或正数。
斜截式方程:y
=
k
x
+
b
几何意义：k
是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
思考5：你能说出一次函数y=2x-1,y=3x及y=-x+3的图象的特点吗？
思考4：如何从直线方程的角度认识一次函数y=kx+b？
k
是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
例2：求斜率是5，在y轴上的截距是4的直线方程。
解：由已知得k
=5，
b=
4，代入斜截式方程
y=
5x
+
4
新课
六、典例精析
1.写出下列直线的斜截式方程：
变式训练：
新课
变式训练：
新课
∥
结论：
新课
当a为何值时，
(1)两直线y＝ax－2与y＝(a＋2)x＋1互相垂直？
(2)两直线y＝－x＋4a与y＝(a2－2)x＋4互相平行？
变式训练：
新课
新课
形式
条件
直线方程
适用范围
点斜式
直线过点(x0,
y0),
且斜率为k
斜截式
在y轴上的截距为b,且斜率为k
不含与x轴垂直的直线
不含与x轴垂直的直线
小结
七、课堂小结
1.知识上：
2.方法上：
数形结合、由一般到特殊
教材
：
P61-62
1、
2、3、4
课时素养检测
：P102
八、课后作业
