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2.4.1圆的标准方程
人教版
选择性必修
第一册
通过前面的学习，我们知道在平面直角坐标系中，直线可以用关于X，Y的二元一次方程表示.
（1）回忆圆的定义是什么？
（2）在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？
从而我们就可以用方程来研究直线的位置关系、交点坐标、以及距离等问题.
类似地，圆是不是也可以用方程来表示？从而用代数方法来研究与圆有关的问题？
确定一个圆的几何要素
圆的定义
平面内到定点的距离等于定长的点的集合。
定点
定长
圆心
半径
·
r
A
当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了。
因此确定一个圆的几何要素为:圆心和半径．
圆的圆心（点）用A
(a,b)
表示，半径为r.
(r>0)
那么对于圆A上任意一点M(x,
y)满足什么条件？
你能用描述法来表示圆上所有点的集合吗？
|MA|=
r
O
A
M(x,y)
x
(a,b)
（
1）
圆的标准方程
x
y
O
A
M(x,y)
圆心A(a,b),半径r
若圆心为O（0，0），则
圆的标准方程为：
圆的标准方程
由上述讨论可知，若点M在圆上，点M的坐标满足方程（1）
，反之，若点M的坐标满足方程（1）
，这就说明点M与圆心A的距离为r，即M在以A为圆心的圆上.方程（1）就是圆心为A(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
(a,b)
对点练习
1.写出下列圆的标准方程.
圆心
(2,
－4)
，半径
2.求圆心和半径
⑴圆
(x－1)2+
(y－1)2=9
⑵圆
(x－2)2+
(y+4)2=2
⑶圆
(x+1)2+
(y+2)2=m2
圆心
(1,
1)
，半径3
圆心
(－1,
－2)
，半径|m|
例1
写出圆心为
，半径为5的圆的方程，并判断点
，
是否在这个圆上．
解：圆心是
，半径长等于5的圆的标准方程是：
把
的坐标代入方程
左右两边相等，点
的坐标适合圆的方程，所以点
在这个圆上；
把点
的坐标代入此方程，左右两边不相等，点
的坐标不适合圆的方程，所以点
不在这个圆上．
点M0(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系如何判断？
点M0在圆上
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2>r2
点M0在圆外
d>r
d=r
d设点M0到圆心的距离为d
X
0
Y
变式练习
解：易知圆心坐标为C（5，6）
所求圆的标准方程为
可判断：点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内。
圆心：直径的中点
半径：直径的一半
例2
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求△ABC的外接圆的标准方程.
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
因为A(5,1),
B(7,－3)，C(2,
－8)
都在圆上，所以我们可以得到什么结论？
D
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
A,B,C三点都满足圆的方程.
O
解：设圆的方程为
则
得
关键：确定圆心和半径
O
D
所以，所求圆的方程为
A(5,1)
C(2,-8)
B(7,-3)
这是一个三元二次方程组，如何解呢？
解方程组的解法有哪些？
降幂，消元.
x
待定系数法
①
②
③
例2
△ABC的三个顶点的坐标分别是A(5,1)，B(7,-3)，C(2,-8)，求它外接圆的标准方程.
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．
因为A(5,1),
B(7,－3)，C(2,
－8)
都在圆上，所以我们可以得到什么结论？
D
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
A,B,C三点都满足圆的方程.
你能作出外接圆的圆心吗?
x
O
点D为△ABC的外心，你能作出外接圆的圆心吗？
三角形三条边垂直平分线的交点.
解：
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
D
所以，所求圆的方程为
x
几何法
O
P83
例2
几何法
圆心：两条弦的中垂线的交点
半径：圆上一点到圆心的距离
x
y
O
D
A(5,1)
B(7,-3)
C(2,-8)
合作探究
例3
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)
圆心C在直线l:
x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
y
x
O
C
A
B
l
圆心：两条直线的交点
半径：圆上一点到圆心的距离
x
y
O
C
A(1,1)
B(2,-2)
弦AB的垂直平分线
解：因为A(1,
1)和B(2,
－2)，所以线段AB的中点D的坐标
，直线AB的斜率
B
x
o
y
A
C
l
即
因此线段AB
的垂直平分线
的方程是
圆心C的坐标是方程组
的解．
解此方程组，得
所以圆心C的坐标是
圆的半径
所以，所求圆的标准方程是
合作探究
例3
已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,-2)
圆心C在直线l:
x-y+1=0上，求此圆的标准方程.
y
x
O
C
A
B
l
思考：此题你还有其它解法吗？
课堂小结
1、牢记:
圆的标准方程：
2、明确：确定一个圆需求三个参数a、b、r。
其中
圆心的位置：
①两条直线的交点（弦的垂直平分线）
②直径的中点
半径的求法：①圆心到圆上一点的距离.
②圆心到切线的距离
3、求圆的标准方程的方法：
①待定系数法
②几何法
重要结论：
点M0(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2
的位置关系：
点M0在圆上
点M0在圆内
(x0-a)2+(y0-b)2=r2
点M0在圆外
d=r
dd>r
(x0-a)2+(y0-b)2(x0-a)2+(y0-b)2>r2
设点M0到圆心的距离为d
作业：
（1）P88习题2、3、4（书面作业）
（2）课时素养检测本节练习2.4.1
圆的标准方程
教学设计
（一）教学目标
1．知识与技能
（1）掌握圆的标准方程，能根据圆心、半径写出圆的标准方程.
（2）会用待定系数法求圆的标准方程.
2．过程与方法
进一步培养学生能用解析法研究几何问题的能力，渗透数形结合思想，通过圆的标准方程解决实际问题的学习，注意培养学生观察问题发现问题和解决问题的能力.
3．情感态度与价值观
通过运用圆的知识解决实际问题的学习，从而激发学生学习数学的热情和兴趣.
（二）教学重点、难点
重点：圆的标准方程
难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程.
（三）教学过程
教学环节
教学内容
师生互动
设计意图
复习引入
在直角坐标系中，确定直线的基本要素是什么？圆作为平面几何中的基本图形，确定它的要素又是什么呢？什么叫圆？在平面直角坐标系中，任何一条直线都可用一个二元一次方程来表示，那么圆是否也可用一个方程来表示呢？如果能，这个方程具有什么特征？
由学生回答，然后引入课题
设置情境引入课题
概念形成
确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a，b)，半径为r
(其中a、b、r都是常数，r＞0)设M
(x，y)为这个圆上任意一点，那么点M满足的条件是(引导学生自己列出)P
=
{M|MA|
=
r}，由两点间的距离公式让学生写出点的坐标适合的条件
①化简可得：(x
–
a)2
+
(y
–
b)2
=
r2②
引导学生自己证明(x
–
a)2
+
(y
–
b)2
=
r2为圆的方程，得出结论.方程②就是圆心为A
(a，b)半径为r的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程.
通过学生自己证明培养学生的探究能力.
应用举例
例1
写出圆心为A
(2，–3)半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5，–7)，是否在这个圆上.分析探求：可以从计算点到圆心的距离入手.探究：点M(x0，y0)与圆(x
–
a)2
+
(y
–
b)2
=
r2的关系的判断方法：（1）(x0
–
a)2
+
(y0
–
b)2＞r2，点在圆外.（2）(x0
–
a)2
+
(y0
–
b)2
=
r2，点在圆上.
（3）(x0
–
a)2
+
(y0
–
b)2
＜r2，点在圆内.
引导学生分析探究从计算点到圆心的距离入手.
例1
解：圆心是A(2，–3)，半径长等于5的圆的标准方程是(x
+
3)22
+
(
y
+
3)2
=25.把M1
(5，–7)，的坐标代入方程(x
–2)2
+
(y
+3)2
=25，左右两边相等，点M1的坐标适合圆的方程，所以点M2在这个圆上；把)的坐标代入方程(x
–
2)2
+
(y
+3)22
=25，左右两边不相等，点M2的坐标不适合圆的方程，所以M2不在这个圆上
通过实例引导学生掌握求圆的标准方程的两种方法.
例2
△ABC的三个顶点的坐标是A(5，1)，B(7，–3)，C(2，–
8).
求它的外接圆的方程.例2
解：设所求圆的方程是(x–
a)2
+
(y
–
b)2
=
r2.
①因为A
(5，1)，B
(7，–3)，C
(2，–
8)
都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.
于是解此方程组，得所以，△ABC的外接圆的方程是(x–
2)2
+
(y
+3)2
=25.22222
师生共同分析：从圆的标准方程(x
–
a)2
+
(y
–
b)2
=
r2可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a、b、r三个参数，(学生自己运算解决)师生共同分析：引导学生寻找外接圆的圆心的位置，先确定圆心的位置-------几何法由于圆心D与A、B两点的距离相等，所以圆心D在线段AB的垂直平分线m上，同理，圆心D也在线段BC的垂直平分线n上，因此圆心D是两弦垂直平分线的交点，半径长等于|DA|或|DB|.(学生分析，教师投影解题过程)
例3
已知圆心为C的圆C.
经过点A(1，1)和B(2，–2)，且圆心在l
:
x
–
y
+
1
=
0上，求圆心为C的圆的标准方程.比较例(2)、例（3）可得出△ABC外接圆的标准方程的两种求法：(1)根据题设条件，列出关于a、b、r的方程组，解方程组得到a、b、r得值，写出圆的标准方程(2)根据确定圆的要素，以及题设条件，分别求出圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.练习：课本P85
第1、3、4题
师生共同分析：如图确定一个圆只需确定圆心位置与半径大小.圆心为C的圆经过点A(1，1)和B(2，–2)，由于圆心C与A、B两点的距离相等，所以圆心C在线段AB的垂直平分线m上，又圆心C在直线l上，因此圆心C是直线l与直线m的交点，半径长等于|CA|或|CB|.(教师板书解题过程)例3
解：因为A
(1，1)，B
(2，–
2)，所以线段AB的中点D的坐标为(，)，直线AB的斜率kAB
==
–3，因为线段AB的垂直平分线l′的方程是y
+，即x
–3y
–3
=
0.圆心C的坐标是方程组的解.解此方程组，得所以圆心C的坐标是(–3，–2)
.圆心为C的圆的半径长r
=|AC|==
5.所以，圆心为C的圆的标准方程是(x
+
3)22
+
(y
+2)2
=25.
归纳总结
1．圆的标准方程.2．点与圆的位置关系的判断方法.3．根据已知条件求圆的标准方程的方法.
教师启发，学生自己比较、归纳.
形成知识体系
课外作业
布置作业：见习案2.4.1第一课时
学生独立完成
巩固深化
6
–
–
4
–
–
2
–
–
–
–2
–
–
–4
–
–
–
–5
5
A
M
B
m
A
C
PAGE
4
