1.4角平分线 第1课时-北师大版八年级数学下册课件(共22张PPT)

导入新课
课堂小结
讲授新课
PART
01
PART
02
PART
03
PART
04
当堂练习
目录
/Contents
北师大版八年级下册
第一章
三角形的证明
1.4
角平分线
第1课时
角平分线
1.进一步发展推理证明能力;
2.能够证明角平分线定理及判定定理;（重点）
3.会用角平分线定理及判定定理解决问题．（难点）
学习目标
PART
01
都是轴对称图形。
复习引入
角也是轴对称图形。
角的对称轴是角平分线所在的直线。
角的对称轴有什么性质呢？
复习引入
角平分线性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
应用所具备的条件：
（1）角的平分线；
（2）点在该平分线上；
（3）垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
知识要点
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
∴
=
，(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD,
DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证：EB=FC.
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF
,
∠DEB=∠DFC=90
°
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
巩固练习
新课学习
你能写出性质定理的逆命题吗？
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它是真命题吗？
角平分线性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等.
你还记得性质与判定的区别吗？
新课学分线判定定理：
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
知识总结
B
A
D
O
P
E
C
（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.）
巩固练习
例1：如图，在△
ABC
中，∠
BAC
=60°,点D
在BC
上，AD=10,DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
且DE
=DF，求DE
的长.
解：∵
DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
且DE
=DF.
∴AD
平分∠
BAC
（在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上.）
又∵
∠BAC
=60°
∴
∠BAD
=30°
又∵
在Rt△ADE
中，∠AED
=90°，AD=10，
∴
DE
=5（在直角三角形中，如果一个锐角
等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.）
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=
.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt
△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=
.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
由角平分线的性质，可知，PD=PC=4，
=
S△APB=
·AB·PD=
过角平分线上一点向两边作垂线段
归纳总结
图形
已知
条件
结论
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
角的平分线的性质
角平分线
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
判定定理
在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
课堂小结
当堂检测
2.△ABC中,
∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.如图，已知∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：
过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M.
∵点F在∠BCE的平分线上，
　　　　FG⊥AE，
FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵点F在∠CBD的平分线上，
　　　　FH⊥AD，
FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴点F在∠DAE的平分线上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
┑
┑
┑
?
衷心感谢同学们的聆听!
补充题
（2018秋?蔡甸区期中）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AD，BE分别为△ABC的角平分线，连结DE．
（1）求证：点E到DA，DC的距离相等；
（2）∠DEB为
度．
补充题
（1）证明：
过E作EH⊥AB于H，EF⊥BC于F，EG⊥AD于G，
∵AD平分∠BAC，∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵∠CAH＝180°﹣120°＝60°，
∴AE平分∠HAD，
∴EH＝EG，
∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EF⊥BC，
∴EH＝EF，
∴EF＝EG，
∴点E到DA、DC的距离相等；