北师大版八年级下册数学1.4.2 角平分线课件(共16张PPT)

1.4.2 角平分线
北师大版八下第一章三角形的证明
活动内容:回答下列问题
问题1.角平分线性质定理是什么?

一、复习回顾
问题2. 角平分线判定定理是什么？
我们用一张三角形的纸片，分别折出三角形三个角的角平分线.我们发现，这三条角平分线是 的，但是，是不是所有的三角形都具有这样的性质呢？
每个同学分别拿出不同形状的三角形纸片折叠后作其角平分线，观察结果：
二、情境引入
相交于一点
任意三角形角平分线都交于一点
任意三角形角平分线都交于一点？如何证明它呢？
作三角形的三个内角的角平分线，你是否发现同样的结论?与同伴交流。
活动内容：已知：如图，设△ABC的角平分线BM、CN相交于点P，过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F.
求证：P点在∠BAC的角平分线上, 且PD=PE=PF．
证明：过P点作PD⊥AB，PF⊥AC，PE⊥BC，
其中D、E、F是垂足．
∵BM是△ABC 的角平分线，点P在BM上，
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等)．
同理：PE =PF．
∴PD=PF．
∴点P在∠BAC的平分线上(在一个角的内部，且到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上)．
∴△ABC的三条角平分线相交于点P．
三、探究学习
定理:三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等.
如图,在△ABC中,
∵BM,CN,AH分别是△ABC的三条角平分线且PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC
A
B
C
P
M
N
D
E
F
∴BM,CN,AH相交于一点P,且PD=PE=PF(三角形的三条角平分线相交于一点,并且这一点到三边的距离相等).
H
四、典例分析
例1．如图，在△ABC中．AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E．
(1)已知CD=4cm，求AC的长；
(2)求证：AB=AC+CD．
(1)解：∵AD是△ABC的角平分线，
∠C=90°，DE⊥AB．
∴DE=CD=4cm(角平分线上的点到这个角两边的距离相等)．
∵AC=BC ∴∠B=∠BAC(等边对等角)．
∵∠C=90°，
∴∠B= ×90°=45°．
∴∠BDE=90°—45°＝45°．
∴BE=DE(等角对等边)．
在等腰直角三角形BDE中 cm(勾股定理)，
∴AC=BC=CD+BD=(4+ )cm．
(2)证明：由(1)的求解过程可知，
Rt△ACD≌Rt△AED(HL定理)
∴AC=AE．
∵BE=DE=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD．
如图：直线l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
你如何发现的？学生交流讨论：
五、实际应用：
通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？
六、课堂小结
1.已知:如图,∠C=900, ∠B=300,AD是Rt△ABC
的角平分线.
求证:BD=2CD.
A
B
C
D
2.已知:如图,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角
平分线相交于点F.
求证:点F在∠DAE的平分线上.
A
B
C
F
D
E
3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别C,D.
求证:
(1)OC=OD;
(2)OP是CD的垂直平分线.
B
A
P
D
C
O
七、布置作业
必做题：课本32页，习题1.10 第1题 第2题
选做题：课本32页，问题解决 第4题
结束寄语
严格性之于数学家,犹如道德之于人.
证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.