北师大版七年级数学下册 2.1.3 垂线段及其性质 课件（31张PPT）

第2课时 垂直
第二章 相交线与平行线
2.1 两条直线的位置关系
1.同一平面内两条直线的位置关系
2.对顶角的定义及其性质
3.余角、补角定义及其性质
4.邻补角定义及其性质
复
习
回
顾
1
知识点
垂直的定义
知识点
观察思考
当转动一木条的位置时，什么也随着发生了变化？
定义：在同一平面内，如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直；其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点O叫做垂足．如图.
垂足
垂 线
垂
线
垂足
垂 线
垂
线
表示方法：通常用符号“⊥”表示两条直线互相垂直.记作“AB⊥CD”，读作“AB垂直于CD于点O.
符号语言：
∵AB⊥CD
∴∠COB=90°
反之：
∵∠COB=90°
∴AB⊥CD
问题：
（1）两条直线垂直和相交是什么关系？

（2）能否认为在同一平面内，两条直线的位置关系有3种：相交、平行、垂直？
垂直是相交的特殊情况 .
不能，在同一平面内，两条直线的位置关系只有
相交和平行两种 .
如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM.若∠AOM＝35°，则∠CON的度数为(　　)
A．35°
B．45°
C．55°
D．65°
1
C
如图，CO⊥AB于点O，∠AOE＝∠COF，则射
线OE，OF是什么位置关系？请说明理由．
解：射线OE，OF互相垂直．理由如下：
∵CO⊥AB，（已知）
∴∠AOC＝90°.（垂直的定义）
∵∠AOE＝∠COF，（已知）
∴∠AOE＋∠COE＝∠COF＋∠COE，（等式的基本性质）
即∠AOC＝∠EOF＝90°.　
∴OE与OF互相垂直． (垂直定义)
2
2
知识点
垂线的画法
问题1 :你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂直的直线吗？
o
l
m
问题2：这样画 l 的垂线可以画几条？
无数条
问题3：(1)如图，已知直线 l 和l上的一点A ，过点A如何作l的垂线？
过直线上一点画已知直线的垂线，步骤如下：
A

.
l
(1)一靠：靠三角板,把三角板的 一直角边靠在直线上；
(2)二移：移动三角板到已知点；
(3)三画：沿着三角板的另一直角边
画出垂线.
m
则所画直线m是过点A的直线l的垂线.
(2)如图，已知直线 l 和l外的一点A,作l的垂线.
过直线外一点画已知直线的垂线，步骤如下：
l

.
A
B
(1)一靠：靠三角板,把三角板的 一直角边靠在直线上；
(2)二移：移动三角板到已知点；
(3)三画：沿着三角板的另一直角边
画出垂线，交直线l于B点.
则所画直线AB是过点A的直线l的垂线.
3
知识点
垂线的性质
想一想
(1)如图, 点A在直线l上，过点A画直线l的垂线，你能
画出多少 条？如果点A在直线l外呢？
∟
A
.
l
∟
. A
l
垂线的性质(一)：
平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
归 纳
知3－导
如图，如果直线ON⊥直线a，直线OM⊥直线a，那么OM与ON重合(即O，M，N三点共线)，其理由是(　　)
A．两点确定一条直线
B．在同一平面内，过两点有且只
有一条直线与已知直线垂直
C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已
知直线垂直
D．两点之间，线段最短
知3－练
1
C
总 结
利用垂线的性质解答题目，要注意垂线性质满足的条件：
1. 在平面内；
2. 过一点，点的位置可以在直线上也可以在直线外；
3. 相交所成的角必须是直角.
以上三条缺一不可.
2
C
下列说法中，正确的有(　　)
①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已 知直线
②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线
③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线
④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
想一想
(2)如图，点P是直线 l 外一
点，PO⊥l，点O是垂足. 点A，B，C在直线l上，比较线段PO，PA，PB，PC的长短，你发现了什么？
直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
P
A
B
C
l
D
简单说成：垂线段最短．
o
垂线段的定义：
过直线外一点画已知直线的垂线，这点与垂足之间的线段，
叫这点到已知直线的垂线段.
垂线的性质（二）:
4
知识点
点到直线的距离
从直线外一点到这条直线所画垂线段的长度叫做这点到直线的距离.
A
B
下列说法正确的是(　　)
A．垂线段就是垂直于已知直线的线段
B．垂线段就是垂直于已知直线并且与已知直
线相交的线段
C．垂线段是一条竖起来的线段
D．过直线外一点向该直线作垂线，这一点到
垂足之间的线段叫垂线段
3
D
4 如图，三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点P
可以在直线BC上自由移动，则AP的长不可能是
(　　)
A．2.5　 B．3　 　 C．4　 　 D．5
A
如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在(　　)
A．A点
B．B点
C．C点
D．D点
5
A
如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C，D
两个用水点，现有两种铺设管道的方案：
方案一：分别过点C，D作AB的
垂线，垂足分别为点E，F，沿
CE，DF铺设管道；
方案二：连接CD交AB于点P，
沿PC，PD铺设管道.
这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？
(河流的宽度可忽略不计)
6
要尽可能节省材料，也就是让管道的总长度更小．
方案一中CE，DF是垂线段，而方案二中PC，PD
不是垂线段，所以CE＜PC，DF＜PD.所以CE＋DF
＜PC＋PD.所以方案一更节省材料．
导引：
按方案一铺设管道更节省材料．理由如下：
因为CE⊥AB，DF⊥AB，CD不垂直于AB，
且根据“垂线段最短”可知，CE＜PC，DF＜PD，
所以CE＋DF＜PC＋PD.
所以沿CE，DF铺设管道更节省材料．
解：
本题主要利用“垂线段最短”来解决实际问题，
解决这类求最短距离问题时，要注意“垂线段最短”
与“两点之间，线段最短”的区别，辨明这两条性
质的应用条件：点到直线的最短距离，两点间的最
短距离．
总 结
如图所示，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D，则下面的结论中，正确的个数为( )
①AB与AC互相垂直；②AD与AC互相垂直；③点C到AB的垂线段是线段AB；④点A到BC的距离是线段AD；⑤线段AB的长度是点B到AC的距离；⑥线段AB是点B到BC的距离．
A．2 B．3
C．4 D．5
A
7
正确理解点到直线的距离及两点间的距离是解
决此类问题的关键．解决此类问题应注意：(1)点到
直线的距离是点到直线的垂线段的长度，而不是垂
线，也不是垂线段；(2)距离表示线段的长度，是一
个数量，与线段不能等同；(3)用垂线段的长度表示
点到直线的距离，其实质是点与垂足两点间的距离，
体现了数形结合思想．
总 结
如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝4 cm，BC＝3 cm，AB＝5 cm，则点A到直线BC的距离为________，点B到直线AC的距离为______，点C到直线AB的距离为______．
根据点到直线的距离的定义可知，
点A到直线BC的距离是线段AC的长，
点B到直线AC的距离是线段BC的长，点C到直线AB的距
离是线段CD的长．因为三角形ABC的面积S＝ AC·BC＝
AB·CD，所以AC·BC＝AB·CD，进而可得CD＝2.4 cm.
导引：
4 cm
3 cm
2.4 cm
8
点P为直线m外一点，点A，B，C为直线m上三点，PA＝4 cm，PB＝5 cm，PC＝2 cm，则点P到直线m的距离(　　)
A．等于4 cm B．等于2 cm
C．小于2 cm D．不大于2 cm
D
易错点：对垂线段的性质理解不透彻而致错.
9
错解：
B
诊断：
点到直线的距离是指这个点到直线的垂线段的长度．虽然垂线段最短，但是并没有说明PC是垂线段，所以垂线段的长度可能小于2 cm，也可能等于2 cm.

1.垂直的定义及其表示
2.垂线的画法：一靠二移三画
3.垂线的性质:
(一)平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
(二)直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.
4.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度， 叫做点到直线的距离．