北师大版七年级数学下册 3.1 用表格表示的变量间关系 （27张PPT）

3.1 用表格表示的变量间关系
第三章 变量之间的关系
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变：性质状态或情形和以前不同，更改。无常
量：古代指斗、升一类测定物体体积的器具：度量衡。 能容纳、禁受的限度：酒量。气量。胆量。度量。 数的多少：数量。质量。降雨量。限量供应。 审度：量刑。量才录用。
正比例：正比例是指两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的两个数比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。
反比例：反比例，指的是两种相关联的变量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么他们就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
关键词复习：
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1
课堂讲解
常量与变量
自变量与因变量
用表格表示两个变量间的关系
2
课时流程
逐点
导讲练
课堂小结
作业提升
学习目标
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观察下图，你能大致地描述青春期男女生平均身高的变化情况吗？你的身高在平均身高之上还是之下？你能估计自己18岁时的身高吗？
课时导入
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我们生活在一个变化的世界中，时间、温度，还有你的身高、体重等都在悄悄地发生变化.从数学的角度研究变化的量，讨论它们之间的关系，将有助于我们更好地了解自己、认识世界和预测未来. 在本章，你还要学习到很多有用或有意思的变化，如骆驼体温的变化、潮汐的变化、记忆遗忘的规律、人口变化的规律等.
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1
知识点
常量与变量
王波学习小组利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时间 (如图).他们得到如下数据：
支撑物高度/cm
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
小车下滑时间/s
4.23
3.00
2.45
2.13
1.89
1.71
1.59
1.50
1.41
1.35
(1)支撑物高度为70 cm时，小车下滑时间是多少？
感悟新知
(2)如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随
着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？
(3)h每增加10 cm，t的变化情况相同吗？
(4)估计当h＝110时，t的值是多少.你是怎样估计的？
(5)随着支撑物高度h的变化，还有哪些量发生变化？
哪些量始终不发生变化？
*
一般地，在某一变化过程中，数值发生变化的量叫做变量．在变化过程中，数值始终不变的量叫做常量．
定义
*
1
生活中有哪些例子反映了变量之间的关系？与同伴进行交流.
解：气温随时间的变化，农作物的高度随种植时间的变化等．
2
某人要在规定时间内加工100个零件，则工作效率y与时间t之间的关系中，下列说法正确的是(　　)
A．y，t和100都是变量
B．100和y都是常量
C．y和t是变量
D．100和t都是常量
C
*
3　下表是某报纸公布的世界人口数情况：
上表中的变量是(　　)
A．仅有一个，是时间(年份)
B．仅有一个，是人口数
C．有两个变量，一个是人口数，另一个是年份
D．一个变量也没有
年份
1957
1974
1987
1999
2010
人口数
30亿
40亿
50亿
60亿
70亿
C
*
4
我们知道，圆的周长公式是C＝2πr，那么在这个公式中，以下关于变量和常量的说法正确的是(　　)
A．2是常量，C，π，r是变量
B．2π是常量，C，r是变量
C．2是常量，π，r是变量
D．2是常量，C，π是变量
B
*
2
知识点
自变量与因变量
定义：如果在一变化过程中含有两个变量，并且其中一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么主动变化的量是自变量，
随着自变量变化而变化的量叫做因变量．
*
例1
林老师骑摩托车到加油站加油，发现每个加油器上
都有三个量，其中一个表示单价(元/升)的数值固定
不变，另外两个量分别表示加油量(升)、加油金额
(元)，数值一直在变化，在这三个量中______是常
量，________是自变量，_________是因变量．
单价
加油量
加油金额
加 油 量 2.45 (升)
加油金额 16.66　(元)
单 价 6.80 (元/升)
*
运用定义法来解答．区别自变量和因变量有以下
三种方法：
(1)看变化的先后顺序，自变量是先发生变化的量，因
变量是后发生变化的量；
(2)看变化的方式，自变量是一个主动变化的量，因变
量是一个被动变化的量；
(3)看因果关系，自变量是起因，因变量是结果．
总 结
*
1
骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温是随时间
的变化而变化的，在这一问题中，因变量是
(　　)
A．沙漠 B．体温
C．时间 D．骆驼
B
*
2
一个圆柱的高h为10 cm，当圆柱的底面半径
r由小到大变化时，圆柱的体积V也发生了变
化，在这个变化过程中(　　)
A．r是因变量，V是自变量
B．r是自变量，V是因变量
C．r是自变量，h是因变量
D．h是自变量，V是因变量
B
*
3
知识点
用表格表示两个变量间的关系
议一议
我国从1949年到2009年的人口统计数据如下（精确到0.01亿）:
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
(2)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样变化的？
时间/年
1949
1959
1969
1979
1989
1999
2009
人口 /亿
5.42
6.72
8.07
9.75
11.07
12.59
13.35
在表中，我国人口总数y随时间x的变化而变化，x是自变量，y是因变量.
*
把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列
成一个表格来表示变量之间的关系，像这种表示
变量之间关系的方法叫做表格法．
*
例2
声音在空气中传播的速度y(米/秒)(简称音速)与气温x(℃)之间的关系如下表，从表中可知音速y随气温x的升高而______．在气温为20℃的一天举行运动会，某人看到发令枪的烟0.2秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点______米．
观察表中的数据可知，音速随气温的升高而加快；当气温为20 ℃时，音速为343米/秒，而该人是看到发令枪的烟0.2秒后听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点343×0.2＝68.6(米)．
导引：
气温x/℃
0
5
10
15
20
音速y/(米/秒)
331
334
337
340
343
加快
68.6
在此题中，表格中第一行的数据表示气温，第二行的数据表示声音在空气中的传播速度．
*
例3
下表是佳佳往表妹家打长途电话的几次收费记录．
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)你能帮佳佳预测一下，如果她打电话的通话时间是10分钟，则需付多少元电话费？
表示两个变量之间关系的表格，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量，因变量与自变量的数据一一对应，据此来理解自变量与因变量之间的关系．
导引：
通话时间/分钟
1
2
3
4
5
6
7
电话费/元
0.6
1.2
1.8
2.4
3.0
3.6
4.2
(1)通话时间与电话费；其中通话时间是自变量，电话费是因变量；
(2)1分钟0.6元，2分钟1.2元，相差0.6元，所以，当佳佳打电话的通话时间为10分钟时，需付6元电话费．
解：
*
观察表格要分三步：
一是：通过表格确定自变量与因变量；
二是：纵向观察每一列，发现因变量与自变量的对应关系；
三是：分别横向观察两栏，从中发现因变量随自变量的变化呈现的变化趋势，此题中，通话时间变长，则电话费也随之增加．求因变量的值，看自变量的值是否在所列数值之中，若在所列数值之中，则根据对应关系，在表格中直接获取；若不在所列数值之中，则需根据因变量与自变量之间的变化进行估计．此题，通过表格能够直接知道通话1～7分钟所需的电话费，通话时间超过7分钟的电话费则要从已知数据中寻找变化规律来进行计算．
总 结
*
1
研究表明，当每公顷钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量 有如下关系：
氮肥施用量/kg
0
34
67
101
135
202
259
336
404
471
土豆产量/t
15.18
21.36
25.72
32.29
34.03
39.45
43.15
43.46
40.83
30.75
(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2 (hm2是单位“公顷” 的符号)时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
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(1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2 (hm2是单位“公顷” 的符号)时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由.
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响.
(1)反映了氮肥的施用量和土豆的产量之间的关系．氮肥的施用量是自变量，土豆的产量是因变量．
(2)当氮肥的施用量是101 kg/hm2时，土豆的产量是32.29 t/hm2.如果不施氮肥，土豆的产量是15.18 t/hm2.
(3)氮肥的施用量为336 kg/hm2时比较适宜，因为此 时土豆的产量最高．
(4)土豆的产量随氮肥的施用量的增加先增加，增加到一定程度后又降低．
解：
*
2　声音在空气中传播的速度y(m/s)(简称声速)与气温x(℃)的关系如下表所示．
上表中_________是自变量，_________是因变量．照此规律可以发现，当气温x为_______℃时，声速y达到346 m/s.
气温x/℃
0
5
10
15
20
声速y/(m/s)
331
334
337
340
343
气温
声速
25
*
3　弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y(cm)与所挂的物体的质量x(kg)间有下面的关系：
下列说法不正确的是(　　)
A．x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量
B．弹簧不挂重物时的长度为0 cm
C．在弹性限度内，物体质量每增加1 kg，弹簧长度y增加0.5 cm
D．在弹性限度内，所挂物体质量为7 kg时，弹簧长度为13.5 cm
x/kg
0
1
2
3
4
5
y/cm
10
10.5
11
11.5
12
12.5
B
*
4　某烤鸭店在确定烤鸭的烤制时间时，主要依据的是下表的数据：
设烤鸭的质量为 x kg，烤制时间为 t min，估计当x＝3.2时，t 的值为(　　)
A．140 B．138 C．148 D．160
鸭的质量/kg
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
烤制时间/min
40
60
80
100
120
140
160
180
C
*
1.判断一个量是变量还是常量的方法：关键是看在变化过程中，该量的值是否发
生改变，或者说该量是否会取不同的数值；在变化过程中不变的量是常量，可以
取不同数值的量是变量．注意：在变化过程中的常量与变量的个数是不确定的．
2. 把自变量x的一系列取值和因变量的对应值列成一个表格来表示变量之间的关
系，这种表示变量之间关系的方法叫做表格法．
1
知识小结
*
2
易错小结
赵先生手中有一张记录他从出生到24岁期间的身高情况表(如下表所示)：
对于赵先生从出生到24岁期间身高情况下列说法错误的是(　　)
年龄x/岁
0
3
6
9
12
15
18
21
24
身高h/cm
48
100
130
140
150
158
165
170
170.4
D
(170.4－48)÷24＝5.1(cm)，从0岁到24岁平均每年增高7.1 cm是错误的．
易错点：易出现“以偏概全”的错误
A．赵先生的身高增长速度总体上先快后慢
B．赵先生的身高在21岁以后基本不长了
C．赵先生的身高从0岁到21岁平均每年约增高5.8 cm
D．赵先生的身高从0岁到24岁平均每年增高7.1 cm
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