北师大版七年级数学下册 第四章三角形 4.5 利用全等测距离 (共32张PPT)

用三角形全等测距
第四章 三角形
教学目标
1．复习并归纳三角形全等的判定及性质；
2．能够根据三角形全等测定两点间的距离，并解
决实际问题．(重点，难点)　　
学习指南
?利用三角形全等测距离
测量距离?
两端均可到达的距离测量
只有一端可到达的距离测量
两端均不可到达的距离测量
构造全等三角形
构造全等三角形
构造全等三角形
SAS
AAS
ASA、AAS
借助辅助工具
知识管理
1.要证明两个三角形全等应有哪些必要条件？
（1）“SSS”：三边对应相等的两个三角形全等.
（2）“ASA”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
（3）“AAS”：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.
（4）“SAS”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
2.两个全等的三角形有哪些性质？
（1）全等三角形的对应边相等；
（2）全等三角形的对应角相等.
课前回顾
一位经历过战争的老人讲述过这样一个故事：在抗日战争期间，为了炸毁与我军阵地隔河相望的日本鬼子的碉堡，需要测出我军阵地到鬼子碉堡的距离.
由于没有任何测量工具，我八路军战士为此绞尽脑汁，这时一位
聪明的八路军战士想出了一个办法，为成功炸毁碉堡立了一功.
利用三角形全等测距离
故事导入
这位聪明的八路军战士的方法如下：
战士面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿势，这时，视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡的距离.
步测距离
碉堡距离
从战士的作法中你能发现哪些相等的量？
故事导入
A
C
B
D
你能用所学的数学知识说明BC=DC吗？
A
B
D
？
如何求未知线段？
途径：利用全等三角形的性质
关键：构造全等三角形
归类探究
　小强为了测量一幢高楼的高度AB,在旗杆CD与楼之间选定一点P.测得在P点观察旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC=36°,测得在P点观察楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB=54°,量得P到楼底的距离PB与旗杆的高度相等,均为10米,量得旗杆与楼之间的距离为DB=36米,如图：小强计算出了楼高,楼高AB是多少米?
分析　根据题意可得△CPD≌△PAB(ASA),进而利用AB=DP=DB-PB求出楼高.
解析　因为∠CPD=36°,∠APB=54°,∠CDP=∠ABP=90°,所以∠DCP=∠APB=54°.
在△CPD和△PAB中,
因为∠CDP=∠ABP,DC=PB,∠DCP=∠APB,
所以△CPD≌△PAB(ASA),
所以DP=AB.由DB=36米,PB=10米,
得AB=DP=36-10=26(米).
即楼高AB是26米.
归类探究
如图，A，B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A，B间的距离，但绳子不够长，你能帮小明设计一个方案，解决此问题吗？
1.说出你的设计方案；
2.你能用所学知识说明你设计方案的理由是什么吗？
归类探究
先在地上取一个可以直接到达点A和B的点C，连接AC并延长到D，使AC=CD，连接BC并延长到E，使CE=CB，连接DE并测量出它的长度，测得DE的长度就是A、B 间的距离.
C
D
E
·
·
·
B
A
·
·
归类探究
3.你能说明设计出方案的理由吗？
·
·
·
·
·
C
D
E
1.你能设计出其他的方案来吗？（构建全等三角形）
2.已知条件是什么？结论又是什么？
在△ABC与△DEC中，已知：AB⊥BE，DE⊥BE，BE=EC，结论：AB=DE.
归类探究
把等腰直角三角形ABC，按如图所示立在桌上，顶点A顶着桌面，若另两个顶点距离桌面5 cm和3 cm，则过另外两个顶点向桌面作垂线，则垂足之间的距离DE的长为( )
A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.求不出来
解析：选C.
因为∠CEA=∠ADB=∠CAB=90°，
所以∠ECA+∠EAC=∠EAC+∠DAB=∠DAB+∠DBA=90°，
∠ECA=∠DAB，∠EAC=∠DBA，
又AC=AB，所以△AEC ≌△BDA，
所以AE=BD，AD=CE，
所以DE=AE+AD=BD+CE=3+5=8 (cm).
归类探究
如图要测量河两岸相对的两点A、B的距离，先在AB 的垂线BF上取两点C、D，使CD=BC，再定出BF的垂线DE，可以证明△EDC≌△ABC，得ED=AB，因此，测得ED的长就是AB的长.判定△EDC≌△ABC的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
B
A
●
●
D
C
E
F
当堂测评
2.山脚下有A、B两点，要测出A、B两点间的距离.在地上取一个可以直接到达A、B点的点O，连接AO并延长到C，使AO=CO；连接BO并延长到D，使BO=DO，连接CD.可以证△ABO≌△CDO，得CD=AB，因此，测得CD的长就是AB的长.判定△ABO≌△CDO的理由是( )
A.SSS B.ASA C.AAS D.SAS
D
当堂测评
3.如图所示小明设计了一种测工件内径AB的卡钳，问：在卡钳的设计中，AO、BO、CO、DO 应满足下列的哪个条件？（ ）
　　 A.AO=CO B.BO=DO C.AC=BD D.AO=CO且BO=DO
O
D
C
B
A
当堂测评
4.如图所示，已知AC=DB，AO=DO，CD=100 m，则A，B两点间的距离( )
A.大于100 m B.等于100 m
C.小于100 m D.无法确定
当堂测评
5.如图，公园里有一条“Z”字型道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段道路旁各有一只小石凳E，M，F，M恰为BC的中点，且E，M，F在同一直线上，在BE道路上停放着一排小汽车，从而无法直接测量B，E之间的距离，你能想出解决的方法吗？请说明其中的道理.
解：因为AB∥CD,所以∠B=∠C.
在△BME和△CMF中，
∠B=∠C，
BM=CM，
∠BME=∠CMF，
所以△BME≌△CMF(ASA)，所以BE=CF.
故只要测量CF即可得B，E之间的距离.
当堂测评
1.知识：
利用三角形全等测距离的目的：变不可测距离为可测距离.
依据：全等三角形的性质.
关键：构造全等三角形.
2.方法：
（1）延长法构造全等三角形；
（2）垂直法构造全等三角形.
3.数学思想：
树立用三角形全等构建数学模型解决实际问题的思想.
当堂小结
?(2018河南漯河)如图所示,已知一池塘宽为AB.请你运用所学的“三角形全等”的有关知识设计一种测量AB的方案,并说明理由.
拓展提升
如图，小明站在C处看甲、乙两楼楼顶上的点A和E.C、E、A三点在同一直线上,B、C相距20米,D、C相距40米,乙楼高BE为15米,小明的身高忽略不计,求甲楼高AD是多少米？
拓展提升
　 1805年,法军在拿破仑的率领下与德军在莱茵河畔展开激战,德军在莱茵河对岸Q处,如图所示,因不知河宽,法军的大炮很难准确射击对岸的德军兵营,聪明的拿破仑站在河岸的O点,调整了自己的帽子,使视线恰好擦过帽舌边缘看到对岸德军的兵营Q处,然后他保持姿势一步一步后退,一直退到自己的视线恰好落在他刚才站到的O点,让士兵测量他站在B点和O点之间的距离,并下令按这个距离开炮.这样法军能命中目标吗?为什么?
?
拓展提升
(2016甘肃)如图是一座大楼相邻的两面墙,现需测量外墙根部两点A、B之间的距离(人不能进入墙内测量).请你按以下要求设计一个测量A、B之间距离的方案.
(1)画出测量图案;
(2)写出方案步骤;
(3)说明理由.
?
拓展提升
（2019 辽宁大连）如图，点E，F在BC上，BE=CF，AB=DC,∠B＝∠C， 求证：AF=DE
拓展提升
如图,在△ABC和△DAE中，∠BAC＝∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE。求证：BD=CE.
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如图,点C为AB的中点，CD=BE，CD∥BE。试说明：△ACD≌△CBE
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如图,D、E、F、B在同一条直线上，AB=CD，∠B=∠D，BF=DE。试说明：
（1）AE=CF
（2）AE∥CF
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如图,AC=AE，∠1=∠2，AB=AD，试说明：BC=DE
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如图,C为BE上的一点，点A、D分别在BE两侧，AB∥ED，AB=CE，BC=ED。试说明：AC=CD
拓展提升
如图,已知点B、E、C、F在一条直线上，AB=DF，AC=DE，∠A=∠D。
（1）试说明：AC∥DE;
（2）若BF=13，EC=5，求BC的长。
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如图,在四边形ABCD中，AB=AD，BC=DC，E为线段AC上的一动点（不与点A重合），在点E的移动过程中，BE和DE是否相等？并说明理由。
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?(2017四川南充中考)如图,DE⊥AB,CF⊥AB,垂足分别是点E、F,DE=CF,AE=BF,
试说明:AC∥BD.
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