北师大版七年级数学下册第4章第4节用尺规作三角形 (共35张PPT)

4.4用尺规作三角形
北师大版七年级数学下册
山东省滕州市洪绪中学
1.经历尺规作图实际操作过程，训练和提高学生的尺规作图的技能，能根据条件作出三角形.
2.能结合三角形全等条件与同伴交流作图过程和结果的合理性.
3.在学生利用尺规作图的过程中，培养学生的动手能力和探索精神.
1、尺规作图的工具是直尺和圆规
2、我们已经会用尺规作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角
已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使 ∠A′O′B′＝∠AOB
O
B
A
C
D
O′
B′
A′
D′
C′
（1）做射线O′B′

（2）以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于D点，交OB于C点。

（3）以O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′B′于C′点 。

（4）以C′为圆心，DC长为半径画弧，交前弧于D′点 。

（5）过D′做射线O′A′

则∠A′O′B′为所求作的角　
作法与提示：
作一个角等于已知角
如何利用尺规作出一个三角形与已知三角
全等？
A
B
C
1．已知三角形的两边及其夹角，求作这个三角形．
已知：线段a, c, .
求作：△ABC，使BC=a AB=c, ∠ABC= .
a
c
作法
示范
（1）作一条线段BC=a；
（2）以B为顶点，以BC为一边，作 ．
B
C
B
C
B
C
B
C
（3）在射线BD上截取线段BA=c；
（4）连接AC．△ABC就是所求作的三角形．
A
D
D
A
请按照给出的作法作出相应的图形．
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
两边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)
1. 已知三角形的两边及夹角，求作这个三角形。
回顾刚才作三角形的顺序
边
边
夹角
夹角
边
边
还有没有其他的作法？
已知：线段a， b， ∠α ，求作：△ABC，使BC＝a，AB＝ c， ∠ABC ＝∠α
a
b
a
B
M
D
E
D′
E′
N
(1)作∠MBN＝ ∠α
作法2
作法与示范
B
M
D′
E′
N
C
A
(2)在射线B M上截取BC＝a,
在射线B N上截取BA＝b，
作法2
作法与示范
a
b
B
M
D′
E′
N
C
A
(3)连接AC
则△ABC为所求作的三角形
作法2
作法与示范
a
b
2．已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．
已知： ， ，线段c．
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
已知： ， ，线段c．
c
求作：△ABC，使∠A= ，∠B= ，AB=c.
c
请按照给出的作法作出相应的图形．
作法
示范

（1）作 ．
A
F
（2）在射线AF上截取线段AB=c；
C
D
B
A
D
F
A
B
D
F
（3）以B为顶点，以BA为一边，作 ，BE交AD于点C．则△ABC就是所求作的三角形．
将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
两角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)
2. 已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形。
回顾刚才作三角形的顺序
角
角
夹边
夹边
角
角
还有没有其他的作法？
已知:∠α, ∠β, 线段c，
求作：△ＡＢＣ,使∠A＝∠α,∠Ｂ＝∠β，ＡＢ＝ c
β
c
作法示范
作法:(1)作线段 ＡＢ＝ c
A
M
A
M
B
(2)作∠NＡB＝∠α，
N
K
C
(3)作∠KＢA＝∠β
AN与BK相交于C,则△ABC为所求作的三角形
α
经过前面的实践，我们如何来分析作图题呢？
1. 假设所求作的图形已经作出，并在草稿纸上作出草图；
2. 在草图上标出已给的边、角的对应位置；
3. 从草图中首先找出基本图形，由此确定作图的起始步骤；
4. 在3的基础上逐步向所求图形扩展。
(1)作∠······=∠ ······ ；
(2)在······上截取，使······ = ······ ；
(3)以···为顶点，以······为一边，作∠ ······ =∠ ······ ；
(4)作一条线段······ = ······ ；
(5)连接······ ，或连接······交······于点······ ；
(6)分别以··· ， ···为圆心，以··· ， ···为半径画弧，两弧交于···点；
······ ······ ······ ······
你知道的常用作图语言有哪些呢？
3．已知三角形的三边，求作这个三角形．
已知：线段a，b，c．
a
c
b
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a．
（1）请写出作法并作出相应的图形．
（2）将你所作的三角形与同伴作出的三角形进行比较，它们全等吗？为什么？
3.已知三角形的三条边，求作这个三角形。
已知：线段 a，b，c。
求作：△ABC，使AB=c，AC=b，BC=a。
（1）作一条线段BC=a；
（2）分别以B，C为圆心，以c，b为半径画弧，两弧交于A点；
（3）连接AB,AC。
△ABC就是所求作的三角形。
a
b
c
B
C
A
作法：
1. 你能用尺规作一个直角三角形，使其两条直角边分别等于已知线段a，b吗？并写出作法。
a
b
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”，会发现是“已知两边及夹角求作三角形”，所以按照此方法作图。
2. 已知∠α和∠β，线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于∠α，另一个内角等于∠β ，且∠α的对边等于a。
α
a
提示：先作出一个角等于∠α+∠β，通过反向延长角的一边得到它的补角，即三角形中的第三个内角∠γ 。由此转换成已知∠β 和∠γ及其这两角的夹边a，求作这个三角形。
β
α
β
γ
β
γ
a
α
B
C
A
E
F
G
作法：1. 作∠α+∠β的补角∠γ
2. 作∠GBE=∠β
3. 在射线BE上截取BC=a
4. 以C为顶点，CB为一边作∠FCB=∠γ
5. 射线BG与射线CF相交于点A
△ABC就是所求作的三角形。
你所作的三角形与同伴所作的三角形比较，它们全等吗？为什么？
已知线段a，b和∠α，求作△ABC，使其有一个内角等于∠α，且∠α的对边等于a，另有一边等于b。
a
b
α
分析：先在草纸上画出一个假设的“已作出的三角形”；然后在草图上标出已给的边、角的对应位置；再找出边与角，确定作图的顺序。
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C'
1. 作∠MAN=∠α
2. 在射线AM上截取AB=b
3. 以B为圆心，以a为半径画弧，交AN于点C， C'
4. 连接BC，BC'
△ABC和△ABC'就是所求作的三角形。
同样是已知两边及一角，为什么会出现两个三角形呢？你从中可以感悟到什么？
作法：
感悟：已知三角形的两边及一角并不都能只确定一个三角形。当已知两边及夹角时可以确定一个三角形，因此可以用来判定两个三角形全等；而当已知两边及一边的对角时，会画出两个不同的三角形，因此不能用来作为判别两个三角形全等的条件。
α
b
a
a
A
B
M
N
C
C'
a
c
α
两边及夹角
两边及一边的对角
B
E
D
C
A
1.学会了用尺规作三角形
2.进一步验证了全等三角形的条件．
1．利用尺规不能唯一作出的三角形是（ ）
A．已知三边
B．已知两边及夹角
C．已知两角及夹边
D．已知两边及其中一边的对角
2．利用尺规不可作的直角三角形是（ ）
A．已知斜边及一条直角边
B．已知两条直角边
C．已知两锐角
D．已知一锐角及一直角边
D
C
3．以下列线段为边能作三角形的是（ ）
A．2厘米、3厘米、5厘米
B．4厘米、4厘米、9厘米
C．1厘米、2厘米、 3厘米
D．2厘米、3厘米、4厘米
D
4.下列作图中，只用无刻度的直尺就能够作出的是( ) A.连接A，B两点并延长
B.作∠MON等于已知角∠α
C.作线段AB等于已知线段
D.作已知角的2倍
【解析】选A.因为B，C，D三个选项都必须用直尺与圆规方能完成，二者缺一不可，A选项只用直尺即可.
5.已知三角形的两边及夹角，作三角形时，第一步应为（ ）A.作一条线段等于已知线段 B.作一个角等于已知角
C.作两条线段等于已知角的两边
D.作一条线段等于已知线段或作一个角等于已知角
【解析】选B.根据“SAS”，作三角形的第一步应作一个角等于已知角.
1.课本107页习题4.9
2.助学111页---113页