北师大版七年级下册数学：2.1 对顶角、余角和补角 课件(共26张PPT)

2.1
北师大版七年级下册
生活中不是缺少数学，而是缺少发现数学的眼睛！数学，就在我们身边！
观察下列图形，你能发现哪些数学现象和数学问题？
在同一平面内，两条直线的位置关系有相交和平行两种
在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。
生活中处处可见在大自然的杰作和人类的创造物中，蕴含着无数的相交线和平行线。我们知道：
在同一平面内，有一个公共点的两条直线叫相交线。
∠1和∠2的位置关系：
1.有公共顶点
2.两边互为反
向延长线。

问题1：观察你所画图形2.1—1,
∠1和∠2的位置有什么关系？小组合作交流，尝试用自己的语言描述。
3
2
1
4
2.1─1
A
B
C
D
第二环节
动手实践、探究新知
O
画直线AB、CD相交于O
归纳总结
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角
（1）下列各图中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
1
2
C
1
2
D
D
1
2
A
1
2
B
认一认
（2）如图所示，直AB、CD相交于O点，OE是射线，则∠1的对顶角是 ，∠4的对顶角是 .
∠AOD
∠3
O
2
1
3
4
E
B
A
C
D
找一找
∠1和∠2的大小关系：
。
相等？？？
问题2：再观察你所画图形2.1—1,
∠1和∠2的大小有何关系？为什么？小组合作交流，尝试用自己的语言描述。
3
2
1
4
2.1─1
A
B
C
D
第二环节
动手实践、探究新知
O
已知：如图，直线AB与CD交于O．
试说明：∠1=∠2
　　
推理探究对顶角的大小关系：
A
B
D
C
O
1（
）2
∵∠1 +∠AOC =180°（平角定义）
∠2 +∠AOC =180°（平角定义）
∴∠1 = ∠2
∴∠1 =180°-∠AOC
∴∠2 =180°-∠AOC
归纳总结
有公共顶点，两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角(vertical angles) 。
对顶角相等
3.如图所示，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个扇形零件的圆心角的度数吗？你能说出所量角的度数是多少吗？为什么？
应用举例
（4）如图，已知AB、CD、EF是相交于点O的直线，∠DOE=90°.如果∠AOC=70°，那么∠BOF等于多少度？为什么？
算一算
∵∠AOC=70°（已知）
∴∠BOD=70°（对顶角相等）
∵∠DOE=90°（已知）
∴∠DOF=90°（平角定义）
∴∠BOF=∠DOF-∠DOB
=90°- 70°=20°
（4）如图，已知AB、CD、EF是相交于点O的直线，∠DOE=90°.如果∠AOC=70°，还可以求出哪些角？
算一算
∠AOC=70°
∠BOD=70°
∠DOE=∠COF=90°
∠DOF=∠COE=90°
∠BOF=∠AOE=20°
∠BOC=∠AOD=110°
∠AOF=∠BOE=160°
（1）定义中的“互为”一词如何理解？
（3）互补、互余的两角是否一定有公共顶点或公共边？
（2）∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°，能说∠1 、∠2、 ∠3 互补吗？
三、余角和补角的定义
1、定义：
如果两个角的和等于90?，那么这两个角叫做互为余角.简称这两个角互余.
如果两个角的和等于180?，那么这两个角叫做互为补角.简称这两个角互补.
2、问题：
（4）如图，已知AB、CD、EF是相交于点O的直线，∠DOE=90°.如果∠AOC=70°，那么，你能找到互余的角、互补的角吗？
算一算
∠α的补角
5°
77°
62°23′
x °
练习1：
85°
13°
27°37′
90°-x °
175°
103°
117°37′
180°-x °
2.同一个锐角的补角比它的余角大多少？
=90°
（180-x）o
思考：
1.锐角是否都有余角和补角？钝角呢？
（90-x）o
-
∠α
∠α的余角
∠α
∠α的余角
∠α的补角
5°
77°
62°23′
x °
练习1：
85°
13°
27°37′
90°-x °
95°
145°
175°
103°
117°37′
180°-x °
85°
35°
不存在
不存在
同一个锐角的补角比它的余角大多少？
=90°
互余和互补是两个角的数量关系，与它们的位置无关.
(180o-xo)-（90o-xo）
练习2：
若一个角的补角等于它的余角的4倍，求这个角的度数.
解：设这个角是x°则它的补角是（180－x）°, 余角是（90－x）° ,根据题意得：
180－x = 4（90－x）
解得： x = 60
答：这个角的度数是60°.
如果∠1+∠3=90?
∠2+∠3=90?
那么∠1=
∠2=
所以：∠1=∠2
如果∠3= ∠4，并且：
∠1+∠3=90?
∠2+∠4=90?
那么∠1= 90?-∠3
∠2= 90?-∠4= 90?-∠3
所以 ∠1= ∠2
90?-∠3
90?-∠3
由此，你有什么收获？
同角 的余角相等
（等角）
同角 的补角相等
（等角 ）
如果把上面的90?改为180?，你又会发现什么？
1）若∠1与∠2互余， ∠2与∠3互余，则 ___________，根据___________.
2）若∠1与∠2互补， ∠2与∠3互补，则___________，根据___________.
∠1= ∠3
同角的余角相等
∠1= ∠3
同角的补角相等
巩固练习1
互补的角
∠2=∠4 , ∠AOC=∠BOC=∠DOE=90° ∠1=∠3
互余的角
相等的角
∠1与∠2、∠1与∠4；∠3与∠2、∠3与∠4；
∠AOE与∠4，∠AOE与∠2；
∠DOB与∠1、∠DOB与∠3；
C
A
O
B
D
E
）
）
（
）
4
3
1
2
如图A、O、 B在同一直线上,∠AOC= ∠DOE= 90°，找出图中：
巩固练习2
∠AOC、∠BOC、∠DOE两两互补
课堂总结：
反思本节课学到了什么？
你还有哪些疑问？
A
D
C
B
O
认真观察这幅图片，你能发现什么？
我们的幸福美好生活是亿万劳动者
撸起袖子加油干而努力奋斗出来的！
感谢他们！
如图1-2-3，已知∠AOC与∠BOD都是直角，∠BOC=60°．
（1）求∠AOB和∠DOC的度数；
（2）∠A OB与∠DOC有何大小关系；
（3）若不知道∠BOC的具体度数，其他条件不变，这种关系仍然成立吗？请说明理由.
作业与思考1.
（1）如图①，△ABC中，∠C=90°.则∠A是∠B的 。
（2）变式训练：在①的基础上，作∠CDA=900，如图②.
1.则∠A的余角有哪几个？为什么？
2.请找出图中相等的角，并说明理由.
作业与思考2.
C
A
B
C
A
B
D
图①
图②
2
1